張　霓,范一心,何熊熊

(浙江工業(yè)大學 信息工程學院，浙江 杭州 310023)

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基于觀測器的多時變時滯系統(tǒng)H∞輸出跟蹤控制

張霓,范一心,何熊熊

(浙江工業(yè)大學 信息工程學院，浙江 杭州 310023)

摘要：針對一類具有多重時變時滯的離散時間系統(tǒng)，研究該系統(tǒng)基于狀態(tài)觀測器的H∞輸出跟蹤控制問題，其中參考信號由給定的參考模型生成.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，線性矩陣不等式分析技巧以及自由權矩陣等方法，給出了跟蹤誤差系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定并滿足H∞性能的充分條件，所得結果依賴系統(tǒng)時滯，具有較小的保守性.通過錐補線性化方法，將涉及狀態(tài)觀測器和反饋控制器設計的非線性問題，轉(zhuǎn)化為由線性矩陣不等式組約束的非線性規(guī)劃問題，數(shù)值仿真驗證了結論的有效性.

關鍵詞：離散系統(tǒng)；多時變時滯；輸出跟蹤控制；狀態(tài)觀測器；指數(shù)穩(wěn)定

時滯現(xiàn)象普遍存在于各種控制系統(tǒng)中，往往導致系統(tǒng)不穩(wěn)定或性能惡化，因此有關時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能分析得到了廣泛的關注[1-7].目前對時滯系統(tǒng)的研究多采用自由權矩陣等方法以獲取保守性更低的結論，文獻[3]研究了一類具有非線性擾動的時滯中立系統(tǒng)的跟蹤控制問題，基于自由權矩陣方法，給出了跟蹤誤差系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足H∞性能的時滯依賴充分性條件.輸出跟蹤控制是廣泛應用于工程實踐中的一類基本控制問題，例如機器人控制[8]和飛行器控制[9]等,其主要目標是抑制外部擾動對系統(tǒng)性能的影響和使系統(tǒng)輸出無靜差地跟蹤外部參考輸入[3-4,10-12].文獻[4]基于干擾觀測器，研究了一類具有時變時滯的離散時間切換系統(tǒng)的H∞輸出跟蹤控制問題，通過構造合適的干擾觀測器，得到干擾信號的估計值，并與反饋控制器一起組成復合控制器，抵消輸入信道的干擾信號的同時保證系統(tǒng)穩(wěn)定并得到理想的H∞性能指標.文獻[10]主要研究了一類不確定離散時滯系統(tǒng)的H2/H∞輸出跟蹤控制問題，給出了閉環(huán)系統(tǒng)在特定切換信號下魯棒漸近穩(wěn)定,并且滿足混合H2/H∞性能指標的充分條件，設計了狀態(tài)反饋跟蹤控制器，但是文獻[4,10]僅考慮了單時滯的情形.

由于系統(tǒng)狀態(tài)在工程實踐中難以直接測量，通常用受控系統(tǒng)的重構狀態(tài)代替真實狀態(tài)組成狀態(tài)反饋，因此基于狀態(tài)觀測器的控制問題顯得尤其重要[13-14].文獻[13]研究了基于觀測器的時滯切換系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題，通過引入符號系統(tǒng)簡化分析過程，利用常數(shù)變易公式引入自由權矩陣等方法，設計了基于量測輸出的概率切換控制律和基于平均駐留時間的控制器.文獻[14]研究了基于觀測器的離散時間網(wǎng)絡預測控制系統(tǒng)的跟蹤控制問題，其中前向通路和反饋回路的網(wǎng)絡誘導時延服從取值有限的馬爾科夫鏈隨機過程，并且概率轉(zhuǎn)移矩陣元素具有不確定性.綜觀現(xiàn)有的基于觀測器的時滯系統(tǒng)跟蹤控制問題，鮮有考慮被控對象含有多重時變狀態(tài)時滯的情況，以此為出發(fā)點，研究了具有多重時變時滯的離散時間系統(tǒng)基于狀態(tài)觀測器的H∞輸出跟蹤控制問題，其中參考信號由給定的參考模型生成，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，LMI分析技巧以及自由權矩陣等方法，給出了跟蹤誤差系統(tǒng)滿足指數(shù)穩(wěn)定和H∞性能的時滯依賴充分條件，通過錐補線性化方法，將非凸可行性問題轉(zhuǎn)化為由LMI組約束的非線性規(guī)劃問題，通過Matlab LMI工具箱求得狀態(tài)觀測器和反饋控制器，數(shù)值仿真驗證了結論的有效性.

1問題描述

考慮如下具有多重時變時滯的離散系統(tǒng)(S)：

B1u(k)+B2w(k)

(1)

y(k)=Cx(k)+Du(k)

(2)

(3)

考慮如下形式的狀態(tài)觀測器：

(4)

(5)

di(k))+B2w(k)

(6)

參考信號yr(k)由以下系統(tǒng)(Sr)生成：

xr(k)=Arxr(k)+Brr(k)

(7)

yr(k)=Crxr(k)

(8)

式中：xr(k)為參考狀態(tài)；r(k)∈L2[0,∞)為參考輸入；Ar為適維Hurwitz矩陣；Br，Cr為適維常矩陣.

(9)

式中K1和K2為反饋控制器增益.

x(k+1)=(A0+B1(K1+K2))x(k)+

B1K2xr(k)+B2w(k)

(10)

y(k)=(A+D(Κ1+K2)x(k)-D(K1+

K2)e(k)-DK2xr(k)

(11)

記系統(tǒng)(S)輸出跟蹤誤差為er(k)=y(k)-yr(k)，則

er(k)=(C+D(K1+K2))x(k)-D(K1+K2)e(k)-

(DK2+Cr)xr(k)

(12)

整理式(6，7，10)可得跟蹤誤差系統(tǒng)(Sacl)：

(13)

(14)

因此，控制器式(9)可以改寫成

u(k)=(K1Hk1+K2Hk2)ξ(k)

(15)

定義1[13]給定常數(shù)r>1，γ>0，如果以下兩個條件成立：

1) 當v(k)=0時,對任意初始狀態(tài)(k0,φ)∈Z+×Cm,不等式

(16)

2) 在零初始狀態(tài)ξ(k0)=0下，對于非零擾動v(k)∈L2[0,∞)，不等式

(17)

成立，其中γ>0為H∞性能界，則稱閉環(huán)系統(tǒng)(Sacl)指數(shù)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標.

2基于狀態(tài)觀測器的H∞輸出跟蹤性能分析

定理1給定參數(shù)r>1，γ>0，如果存在對稱正定矩陣P，Q1i，Q2i，Q3i，R1i，R2i，存在適維矩陣M1i，M2i，N1i，N2i，T1i，T2i(i=1,…,n)以及存在L，K1，K2，使得以下不等式成立：

(18)

則閉環(huán)系統(tǒng)(Sacl)在基于觀測器的狀態(tài)反饋控制器式(15)作用下指數(shù)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標.

證明選取Lyapunov函數(shù)為

(19)

式中：V1(ξ(k))=ξT(k)Pξ(k)； V2(ξ(k))=

沿系統(tǒng)軌跡依次對Vi(ξ(k))作前向差分，并結合如下的Newton-Leibniz公式：

經(jīng)過簡單計算，可得

(r-1-1)V(ξ(k))

(20)

由式(20)進一步可知：

所以有

(21)

由式(18)以及舒爾補定理[15]易知不等式(21)等價于

(22)

當v(k)=0時,由式(22)可得

r-(k-k0)V(ξ(k0))

(23)

記β1=λmin(P)

由式(19)可知：

進一步結合式(23)有

因此可得

在零初始狀態(tài)ξ(k0)=0下,對于非零擾動v(k)∈L2[0,∞),由(22)可知：

r-(k-k0)V(ξ(k0))-V(ξ(k))

又因為rj-k+1>0,所以當k→∞時：

綜上所述，由定義1可知：系統(tǒng)(Sacl)指數(shù)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標，定理1得證.

3狀態(tài)觀測器和H∞輸出跟蹤控制器的求解

(24)

(25)

下面給出求解該最小化問題的算法：

1) 求得滿足式(24，25)的一組可行解：

(P,X,Q1i,Q2i,Q3i,R1i,R2i,Y1i,Y2i,M1i,M2i,

N1i,N2i,T1i,T2i,L,K1,K2)0

驗證所得最優(yōu)解是否滿足式(18)，若滿足，則得解；若不滿足，令k=0執(zhí)行步驟2).

2) 求解以下具有LMI組約束的最小化問題：

使得式(24，25)成立.

3) 驗證所得最優(yōu)解是否滿足式(18)，若滿足，則得解；若不滿足；檢查k是否達到規(guī)定的迭代次數(shù)，如果達到，則無解；否則，令k=k+1，令求出的最優(yōu)解為

(P,X,Q1i,Q2i,Q3i,R1i,R2i,Y1i,Y2i,M1i,M2i,N1i,

N2i,T1i,T2i,L,K1,K2)k+1

繼續(xù)執(zhí)行步驟2).

4仿真實例

考慮如式(1，2，3)具有多時變時滯的離散系統(tǒng)(S)，系統(tǒng)參數(shù)如下：

考慮如式(7，8)參考模型系統(tǒng)(Sr)：

L=[20.085 5-11.150 7]T，K1=[26.019 423.949 6]，K2=[-24.699 5-24.699 5].

圖1　系統(tǒng)(S)真實狀態(tài)和觀測系統(tǒng)狀態(tài)誤差曲線Fig.1　Error curves between real state and estimated state of the system(S)

下面分別用參考輸入信號r(k)為正弦信號和階躍信號兩種情況說明跟蹤效果.

1) 當參考輸入信號為正弦信號時：

(26)

系統(tǒng)輸出軌跡y(k)和參考輸出軌跡yr(k)如圖2所示.

圖2　輸入式(26)下的系統(tǒng)輸出軌跡和參考輸出軌跡Fig.2　Trajectories of system output and reference output for input (26)

2) 當參考輸入信號為階躍信號時：

(27)

系統(tǒng)輸出軌跡y(k)和參考輸出軌跡yr(k)如圖3所示.

圖3　輸入式(27)下的系統(tǒng)輸出和參考輸出的軌跡Fig.3　Trajectories of system output and reference output for input (27)

5結論

主要研究了具有多重時變時滯的離散時間系統(tǒng)基于狀態(tài)觀測器的H∞輸出跟蹤控制問題，其中參考信號由給定的參考模型生成，通過構造分段Lyapunov函數(shù)，結合Newton-Leibniz公式引入自由權矩陣并利用線性矩陣不等式分析技巧，得到跟蹤誤差系統(tǒng)滿足指數(shù)穩(wěn)定和H∞性能的一個時滯依賴的充分條件，并利用錐補線性化思想將非凸可行性問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃的求解問題，通過MatlabLMI工具箱求得狀態(tài)觀測器和跟蹤控制器.數(shù)值仿真驗證了結論的有效性.

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(責任編輯：陳石平)

Observer basedH∞output tracking control for discrete

time systems with multiple time varying delays

ZHANG Ni, FAN Yixin, HE Xiongxiong

(College of Information Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract:In this paper, observer based H∞output tracking control is investigated for discrete time systems with multiple time varying delays. The reference signal is generated by the reference model. Based on stability of Lyapunov, linear matrix inequality (LMI) technique and free-weighting matrices method, the delay dependent sufficient condition is derived for guaranteeing the exponentially asymptotic stability and H∞output tracking performance of discrete time systems with multiple time varying delays. The results are dependent on system delay with a less conservative. The nonlinear matrix inequality involved in the state observer and feedback controller design is transformed into nonlinear programming problem constrained by LMIs using the cone complementarity linearization algorithm. Finally, the simulation results are given to demonstrate the effectiveness of the proposed methods.

Keywords:discrete time systems; multiple time varying delays; output tracking control; state observer; exponentially stability

文章編號：1006-4303(2015)04-0438-07

中圖分類號：TP271+.9

文獻標志碼：A

作者簡介：張霓(1970—)，女，浙江杭州人，副教授，碩士生導師，研究方向為時滯切換系統(tǒng)魯棒控制、移動機器人，E-mail：zn@zjut.edu.cn.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61473262)

收稿日期：2015-01-28