陸峰峰，楊國來

(南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094)

考慮本身質(zhì)量的圓柱螺旋彈簧動態(tài)特性研究

陸峰峰，楊國來

(南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094)

摘要：從頻域與時域兩個角度，對考慮本身質(zhì)量的一端固定、一端受迫振動的圓柱螺旋彈簧在理想穩(wěn)定狀態(tài)下及在實際非穩(wěn)定狀態(tài)下的振動情況進行理論分析，得到頻域下的頻率方程及時域下的各圈位移方程。建立可模擬彈簧動態(tài)性能的彈簧離散模型并進行仿真分析，對比仿真與理論分析結(jié)果，驗證所推導的理論公式的正確性。

關(guān)鍵詞：圓柱螺旋彈簧，頻率方程，時域分析

Research on Spring Dynamic Characteristics with Consideration of Proper Inertia

LU Fengfeng, YANG Guolai

(School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Abstract:The dynamics of a fixed-free end helical spring are analyzed both at the frequency-domain and the time-domain. Analytical expressions for coils’ displacements are obtained under two different spring state conditions: the ideal stable state and the realistic state. As a discrete spring model represents well springs’ dynamic behaviors in multi-body dynamics simulation, this model’s simulation results are used to examine the correctness of the analytical expressions.

Keywords:helical springs; natural frequencies; time-domain analysis

0引言

圓柱螺旋彈簧作為基本機械元件，經(jīng)常作為減震或力輸出元件被用于機械系統(tǒng)中。在使用大質(zhì)量螺旋彈簧的場合，彈簧本身質(zhì)量將引起彈簧內(nèi)各圈振動不一致，呈現(xiàn)波動規(guī)律，導致動態(tài)大質(zhì)量螺旋彈簧并不符合虎克定律。

工程中通常把彈簧本身質(zhì)量的三分之一加入到與彈簧相連的系統(tǒng)中，以此來近似考慮彈簧本身質(zhì)量對其動態(tài)性能的影響[1]。然而該種近似僅能在頻域范圍內(nèi)表示彈簧振動特性，并不適用于時域內(nèi)的動態(tài)情況[2]。

圓柱螺旋彈簧的研究主要集中于軸向壓縮條件下頻域范圍內(nèi)的固有特性研究，而在時域范圍內(nèi)彈簧動態(tài)性能的研究卻很少。中南大學劉世清等把彈簧類比為一維彈性直桿來研究彈簧的固有頻率特性[3]。同濟大學虞愛民等推導了可計算“彎-扭-剪切”耦合的圓柱螺旋彈簧振型的顯式解析公式[4]。華中工學院趙廷仕采用能量法與單元質(zhì)點的牛頓運動定律推導了各種邊界條件下的彈簧固有頻率計算公式[5]。

現(xiàn)把彈簧類比為一維彈性桿，從頻域與時域兩個角度，研究一端固定、一端受迫振動彈簧在理想穩(wěn)定狀態(tài)下及在實際非穩(wěn)定狀態(tài)下的彈簧各圈振動特性。在AMESim多物理場仿真軟件中建立離散彈簧模型，與理論分析結(jié)果進行對比來驗證理論公式的正確性。

1彈簧固有頻率與振動形式的理論計算

在不考慮阻尼的情況下，可把彈簧等效為一具有等效彈性模量E、密度ρ的等質(zhì)量、等長度、等截面積的均勻一維縱向振動彈性桿[3]。

桿中各截面位移符合一維平面縱波波動方程[6]，其任一截面任一時刻的位移u(x,t)滿足；

u(x,t)一般表達式為：

彈簧剛度k=42830N/m，有效圈質(zhì)量M=4.278kg，長度(自由狀態(tài))l0=269.7mm，總?cè)?shù)n=10，有效圈數(shù)nu=8.5。

假設彈簧一端固定、一端在外載作用下作受迫振動，有如下兩種狀態(tài)。

a) 理想穩(wěn)定狀態(tài)

當彈簧振動處于穩(wěn)態(tài)時，u(x,t)為連續(xù)函數(shù)，式(1)的邊界條件為：

從中解得彈簧固有角頻率wn及位移u(x,t)：

(1)

(2)

式(1)與Becker在文獻[7]中得到的固有頻率方程相同。前三階固有頻率數(shù)值如表1。

表1　所測彈簧固有角頻率　rad/s

彈簧自由端在外載荷作用下作簡諧振動：

利用式(2)求得理想穩(wěn)定狀態(tài)下所測彈簧的振動形式，如圖1。圖1中從下到上10條曲線分別代表彈簧固定端到自由端各有效圈。

圖1　理想穩(wěn)定態(tài)彈簧各有效圈振動形式

b) 實際非穩(wěn)定狀態(tài)

在實際彈簧中，由于波的傳遞速度不可能無限大，從彈簧自由端振動開始，彈簧各圈之間必然有一個相位差。波在自由端于固定端間傳遞與反射，形成不同于理想穩(wěn)定態(tài)的實際振動形式。

波在彈簧中的傳遞及反射過程如圖2所示，橫軸正向表示為彈簧固定端到自由端的長度方向。虛線代表彈簧振動波。

圖2　波的傳遞過程

2)t0

3) (2i-1)t0≤t<2it0時，其中i≥2的整數(shù)，第一列波從彈簧固定端反射回自由端u(x,t)：

4) 2it0

當彈簧自由端的振動形式與穩(wěn)定態(tài)時的相同，則實際彈簧的振動形式如圖3。圖3中從下到上10條曲線分別代表彈簧固定端到自由端各有效圈的振動形式。

圖3　彈簧實際振動形式

2彈簧離散模型

根據(jù)文獻[8]在多物理場仿真軟件AMESim中建立無阻尼彈簧離散模型，如圖4。利用該模型計算值可檢驗之前推導的理論公式。

圖4　AMESim彈簧離散模型

2.1彈簧離散模型固有頻率計算

單元數(shù)分別為9，17及136的離散彈簧模型前三階固有角頻率如表2。

表2　彈簧固有角頻率理論值與仿真值　rad/s

當n=17時離散彈簧模型的固有角頻率與理論計算值間的誤差在3%之內(nèi)。

2.2彈簧離散模型各有效圈振動形式

彈簧在非穩(wěn)定狀態(tài)下的振動形態(tài)理論值與單元數(shù)為17的離散模型的對比如圖5。

圖5　離散模型與理論振型比較(虛線：離散模型；實線：理論值)

從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，離散彈簧模型中各有效圈的振動幅值和相位與理論計算值十分相近。若提高離散模型的單元數(shù)，其仿真結(jié)果也就越趨近理論振動形態(tài)。彈簧離散模型與理論計算公式都很好地描述實際情況下波在彈簧的傳遞、反射及疊加過程。這也從側(cè)面證明了文中推導的時域內(nèi)彈簧動態(tài)公式的正確性。

3結(jié)語

把彈簧類比為一維彈性桿，在頻域及時域內(nèi)推導了彈簧的固有頻率公式及彈簧各圈的振動位移公式。通過與彈簧離散模型的仿真值對比，驗證了所推導公式的正確性。

從彈簧振動的時域分析可知，由于波傳遞速度的限制，彈簧各圈的振動必然具有相位差。彈簧內(nèi)前進波與反射波相互疊加，形成了不同于彈簧穩(wěn)定態(tài)的振動形式，直觀地反映了彈簧各圈是否會出現(xiàn)碰撞現(xiàn)象。在時域內(nèi)對彈簧的研究有助于更好地理解彈簧的振動特性，同時也是對可應用于多體動力學仿真的彈簧離散模型準確性的進一步驗證。

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收稿日期：2014-01-21

中圖分類號：TH135+.1

文獻標志碼：A

文章編號：1671-5276(2015)04-0027-03

作者簡介：陸峰峰(1988-)，男，江蘇蘇州人，碩士研究生，主要研究方向為機械設計。