張現(xiàn)強(qiáng)

摘要：本文通過對利用泰勒公式求解兩道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題的分析，總結(jié)概括了泰勒公式在證明導(dǎo)數(shù)相關(guān)結(jié)論時(shí)的思考方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)掌握泰勒公式提供了一種有效幫助.

關(guān)鍵詞：泰勒公式;導(dǎo)數(shù);證明

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）05-0170-02

一、引言

在高等數(shù)學(xué)中，泰勒公式作為微分中值定理的一種推廣，有著重要的應(yīng)用，它提供了一種用導(dǎo)數(shù)值多項(xiàng)式近似表示一般函數(shù)的方法。泰勒展開為解決一些求解極限、判定級數(shù)斂散性、證明導(dǎo)數(shù)相關(guān)結(jié)論等問題提供了一種非常有效的方法。但是在學(xué)習(xí)過程中，很多同學(xué)覺得泰勒公式在證明等式和不等式中的運(yùn)用比較難懂，特別是感覺技巧性太強(qiáng)，根本不會去聯(lián)想到答案中的方法，總感覺有些方法是空穴來風(fēng)。一般來說，泰勒公式的證明是有一定難度的，證明確實(shí)是有一定技巧性的，但這種技巧也并不是無跡可尋的，大部分的證明題所要證的結(jié)論和題干中的信息還是很具有暗示性的，如果能敏銳地觀察到這些暗示信息，可能你就會找到突破口在哪里，焦點(diǎn)就在于這個泰勒公式展開到底在什么點(diǎn)展開，展開到幾階的問題。本文通過兩道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題分析泰勒公式在證明一些導(dǎo)數(shù)相關(guān)結(jié)論時(shí)的應(yīng)用，為學(xué)生學(xué)習(xí)掌握泰勒公式提供一種幫助。

二、泰勒公式進(jìn)行函數(shù)展開的定理

定理1 設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x ?的某個鄰域內(nèi)有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對此鄰域內(nèi)任意點(diǎn)x均有

f（x）=f（x ?）+f ′（x ?）（x-x ?）+ ?（x-x ?） ?+…+ ?（x-x ?） ?+R ?（x） （1）

且 R ?（x）= ?（x-x ?） ? （ξ介于x ?與x之間） ?（2）

（1）式稱為函數(shù)f（x）在x=x ?處的泰勒公式或泰勒展開式，（2）式稱為f（x）在x=x ?處的拉格朗日余項(xiàng)。也可記R ?（x）=o（x-x ?） ?，稱之為f（x）在x ?處的皮阿諾余項(xiàng)。

特別地，在（1）式中令x ?=0則得到

f（x）=f（0）+f ′（0）x+ ?x ?+…+ ?x ?+R ?（x）

R ?（x）= ?x ? （ξ介于0與x之間）

稱之為f（x）的麥克勞林（Maclaurin）展開式。

應(yīng)用上面的定理可以將函數(shù)f（x）在一個合適的點(diǎn)x ?展開，從而完成關(guān)于一些導(dǎo)數(shù)結(jié)論的證明。下面從兩道競賽題來看。

三、兩道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題

例1（第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽）設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且f（-1）=0，f（1）=1，f ′（0）=0，求證在開區(qū)間（-1，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x ?，使得f ？蓯（x ? ?）=3.

分析 結(jié)論是關(guān)于存在性的證明，并且是關(guān)于三階導(dǎo)數(shù)，從而可以想到是應(yīng)用泰勒公式，而且最好展開最高階導(dǎo)數(shù)到三階.題目條件中給出了函數(shù)在0點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值，從而我們可以考慮將函數(shù)在0點(diǎn)展開，即考慮函數(shù)f（x）的麥克勞林展開式。結(jié)論中只出現(xiàn)了三階導(dǎo)數(shù)，從而展開式中的前三項(xiàng)肯定經(jīng)過適當(dāng)處理化簡掉。若注意到條件f（-1）=0，f（1）=1應(yīng)該就不難想到是將點(diǎn)-1，1帶入展開式中，兩式相減即可。詳細(xì)證明如下：

證 將函數(shù)f（x）應(yīng)用麥克勞林公式展開，得

f （x）=f （0）+f ′（0）x+ ?x ?+ ?x ?，ξ介于0與x之間，x∈[-1，1]

在上式中分別取x=1和x=-1，再由f ′（0）=0得

1=f（1）=f（0）+ ?f ″（0）+ ?f ？蓯（ξ ?），0<ξ ?<1

0=f（-1）=f（0）+ ?f ″（0）+ ?f ？蓯（ξ ?），-1<ξ ?<0

上面兩式相減，得

f ？蓯（ξ ?）+f ？蓯（ξ ?）=6

由于f ？蓯（x）在閉區(qū)間[-1，1]上連續(xù)，因此f ？蓯（x）在閉區(qū)間[ξ ?，ξ ?]上有最大值M和最小值m，從而

m≤ ?（f ？蓯（ξ ?）+f ？蓯（ξ ?））≤M

再由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，至少存在一點(diǎn)x ?∈[ξ ?，ξ ?]？奐（-1，1），使得

f（x ?）= ?（f ？蓯（ξ ?）+f ？蓯（ξ ?））=3

例2（第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽）設(shè)f∈C ?（-∞，∞），

f（x+h）=f（x）+f ′（x）h+ ?f ″（x+θh）h

其中θ是與x，h無關(guān)的常數(shù)，證明f是不超過三次的多項(xiàng)式。

分析 結(jié)論表面看起來與導(dǎo)數(shù)無關(guān)，但是證明f是不超過三次的多項(xiàng)式，我們很容易想到只要說明f的四階導(dǎo)數(shù)等于零即可。另外條件已經(jīng)出現(xiàn)了f（x+h）的泰勒公式，我們自然也就會沿著這一思路進(jìn)行分析。但是條件只是展開到二階導(dǎo)數(shù)，而證明我們的結(jié)論需要四階導(dǎo)數(shù)，從而我們可以重新對函數(shù)f（x+h）進(jìn)行四階泰勒展開.之后想法說明f的四階導(dǎo)數(shù)等于零。詳細(xì)證明如下：

證 將f（x+h）在x點(diǎn)處泰勒展開

f（x+h）=f（x）+f ′（x）h+ ?f ″（x）h ?+ ?f ？蓯（x）h ?+ ?f ?（ξ）h ? ①

其中ξ介于x與x+h之間。

再將f ″（x+θh）在x點(diǎn)處泰勒展開

f ″（x+θh）=f ″（x）+f ？蓯（x）θh+ ?f ?（η）θ ?h ?②

其中η介于x與x+θh之間。

由上面①②式及已知條件f（x+h）=f（x）+f ′（x）h+

f ″（x+θh）h ?可得

4（1-3θ）f ？蓯（x）=[6f ?（η）θ ?-f ?（ξ）]h

當(dāng)θ≠ ?時(shí)，令h→0得f ？蓯（x）=0，此時(shí)f是不超過二次的多項(xiàng)式;

當(dāng)θ= ?時(shí)，有 ?f ?（η）=f ?（ξ），令h→0，此時(shí)ξ→x，η→x，有f ?（x）=0

從而f是不超過三次的多項(xiàng)式。

四、應(yīng)用舉例

關(guān)于導(dǎo)數(shù)結(jié)論的證明的題目一般分為關(guān)于存在性和關(guān)于任意性的證明兩類。由上面兩道競賽題來看，使用泰勒公式時(shí)關(guān)鍵是確定出對哪個函數(shù)在哪一點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開，展開到幾階導(dǎo)數(shù)。一般來講，題目中有若有關(guān)于某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的信息，或者哪個點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值比較好確定，就將函數(shù)在這一點(diǎn)展開，若有給定點(diǎn)的函數(shù)值，就將這點(diǎn)代入展開式。下面我們再通過兩道例題進(jìn)行分析。

例3 設(shè)f（x）在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0， ?f（x）=-1，證明：存在η∈（0，1）使得f ″（η）≥8.

分析 結(jié)論仍然是關(guān)于存在性的證明，并且是關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)，所以可以考慮將函數(shù)泰勒展開到二階導(dǎo)數(shù)。給出了最小值，且可確定該點(diǎn)是內(nèi)點(diǎn)，那么該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)必然為0，自然考慮將函數(shù)在該點(diǎn)展開，然后代人0，1點(diǎn)的值進(jìn)行分析。詳細(xì)證明如下：

證 由條件知存在x ?∈（0，1）使得f（x ?）=-1為f（x）在[0，1]上的最小值，且f ′（x ?）=0

將f（x）在點(diǎn)x ?處泰勒展開

f（x）=f（x ?）+f ′（x ?）（x-x ?）+ ?（x-x ?） ? （ξ介于x ?與x之間）

再由f（0）=f（1）=0可得

0=f（0）=-1+ ?x ? ? （ξ ?介于x ?與0之間）

0=f（1）=-1+ ?（1-x ?） ?（ξ ?介于x ?與1之間）

所以，f ″（ξ ?）= ?，f ″（ξ ?）=

又因?yàn)閤 ?∈（0，1），所以

f ″（η）=max ?， ?≥ ?=8 η∈（0，1）

五、結(jié)束語

作為高等數(shù)學(xué)中一個非常重要的知識點(diǎn)，泰勒公式是一些學(xué)歷考試及競賽的重點(diǎn)及難點(diǎn)。關(guān)于泰勒公式在極限求解、級數(shù)斂散性的判定及近似計(jì)算方面的應(yīng)用已有非常多的介紹，本文重點(diǎn)分析介紹了其在關(guān)于導(dǎo)數(shù)證明方面的應(yīng)用，歸納出了在證明此類問題時(shí)的分析思路，為學(xué)生學(xué)習(xí)掌握泰勒展開這一工具方法提供了一種非常有效的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]尹遜波，楊果俅.全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)教程[M].2版.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013：201-206.

[2]陳兆斗，鄭連存，王輝，等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽習(xí)題精講[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010：124-126.

[3]趙坤銀，王國政.微積分I[M].成都：西南財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2013：192-194.