趙晶晶

（滇西科技師范學院 后勤管理處，云南 臨滄 677000）

橢圓曲線y2= px(x2- 64)的整數(shù)點

趙晶晶

（滇西科技師范學院 后勤管理處，云南 臨滄 677000）

設p為奇素數(shù)，主要利用同余和奇偶數(shù)的性質(zhì)證明了橢圓曲線y2=px(x2-64)當p=17時有正整數(shù)點(x, y)=(9,51)，(17,255)；p≠17時至多有一組正整數(shù)點。

橢圓曲線；同余；正整數(shù)點

橢圓曲線的整數(shù)點是數(shù)論和算術代數(shù)幾何學中基本而又重要的問題。關于橢圓曲線y2=ax(x2-b)的整數(shù)點問題，目前主要結(jié)論為：2007年，文[1]對b=1的情形進行了研究；2008年，文[2]對b=1的情形進行了研究；2012年，文[3]對b=1的情形進行了研究；2015年，文[4]對b=4的情形進行了研究。關于b=64的情形目前還未有相關結(jié)果，本文利用初等方法對p為奇素數(shù)時橢圓曲線y2=px(x2-64)的正整數(shù)點的情況進行了研究，得出了如下結(jié)論：

定理如果p為奇素數(shù)，則橢圓曲線

當p=17時有正整數(shù)點（x,y)=（9,51)，（17,255)；p≠17時至多有一組正整數(shù)點。

1 相關引理

引理1[5]不定方程

分別有兩組正整數(shù)解

外，最多只有一組正整數(shù)解(x,y)，且滿足x2=x或11102x02-1，這里ε=x0+y0D 是Pell方程x2-Dy2=1的基本解。

引理2[6]設D1,D2是適合D1＞1的正整數(shù)，方程

至多有一組解。

證明設(x,y)，x,y∈Z+是橢圓曲線(2)的正整數(shù)點，因為p是奇素數(shù)，故由(1)知p|y，設y=pz，z∈Z+，將其代入(1)，得

2 定理證明

因為gcd(x,x2-64)=gcd(x,64)=1或2或4或8或16或32或64，故(2)可分解為以下7種可能的情形：解得pa2=2，c=0。這與“c∈Z+”矛盾，故該情形橢圓曲線(1)無正整數(shù)點。

2.4 情形IV的討論

2.4.1 當m=1，n=p時

由引理1知方程(11)至多有一組正整數(shù)解(a,c)，所以方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點。

2.4.2 當n=1，m=p時，

由引理2知方程(13)至多有一組正整數(shù)解(a,c)，因此方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點。

2.5 情形V的討論

2.5.1 當m=1，n=p時

由引理2知方程(15)至多有一組正整數(shù)解(a,c)，因此方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點。

2.5.2 當n=1，m=p時

由(17)式知c為奇數(shù)，所以c2≡1(mod8)。因為b為偶數(shù)，而gcd(a,b)=1，所以a為奇數(shù)，則a4≡1(mod8)。又p為奇素數(shù)，則p2≡1(mod8)，故4p2a4≡4(mod8)。所以(17)式為

顯然不成立，故該情形橢圓曲線(1)無正整數(shù)點。

2.6 情形VI的討論

2.6.1 當m=1，n=p時

(19)式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，則(19)式不成立，故該情形橢圓曲線(1)無正整數(shù)點。

2.6.2 當n=1，m=p時

由引理2知方程(21)至多有一組正整數(shù)解(a,c)，因此方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點。

2.7 情形VII的討論

2.7.1 當m=1，n=p時

由引理2知方程(22)至多有一組正整數(shù)解(a,b)，因此方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點。

2.7.2 當n=1，m=p時

這與“a，b∈Z+”矛盾，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點。

綜上定理得證。

[1] 祝輝林,陳建華.兩個丟番圖方程y2=nx(x2±1)[J].數(shù)學學報,2007,50(5):1071-1074.

[2] 樂茂華.橢圓曲線y2=px(x2±1)的正整數(shù)點[J].湛江師范學院學報,2008,29(3):1-2.

[3] 趙院娥.橢圓曲線y2=2px(x2-1)的正整數(shù)點的個數(shù)[J].西安石油大學學報,2012,27(2):106-107+110.

[4] 萬飛.橢圓曲線y2=nx(x2-4)的整數(shù)點[J].湖北民族學院學報:自然科學版,2015,33(3):271-272.

[5] 孫琦,袁平之.關于不定方程x4-Dy2=1的一個注記[J].四川大學學報(自然科學版),1997,34(3):265-267.

[6] Bennett M A, Walsh G. the Diophantine equations b2X4-dY2=1[J]. Proc Amer Math Soc, 1999, 127(12): 3481-3491.

（責任編輯、校對：趙光峰）

The Positive Integral Points on the Elliptic Curve y2=px(x2-64)

ZHAO Jing-jing
(Department of Logistics Management, Dianxi Science and Technology Normal University, Lincang 677000, China)

Letpbe odd prime. Using some properties of congruence, odd number and even number, it was proved that if p=17, then the elliptic curve in title has just one positive integer point (9,51), (17,255); if p≠17, then the elliptic curve in title has at most one pair positive integer point.

elliptic curve; congruence; positive integer point

O156.1

A

1009-9115(2016)02-0017-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.005

云南省教育廳科學研究項目（2014Y462）

2016-01-12

趙晶晶（1986-），女，彝族，云南臨滄人，碩士研究生，助教，研究方向為數(shù)論及計算機應用技術。