高德寶，朱 煥

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 大慶 163319）

模糊參數(shù)軟集

高德寶，朱 煥

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 大慶 163319）

模糊參數(shù)軟集是利用模糊參數(shù)集研究模糊軟集的理論。它為處理模糊目標(biāo)提供了一個新的工具。本文引入模糊參數(shù)軟集的基本概念，給出模糊參數(shù)軟集的一些運(yùn)算并討論了與運(yùn)算有關(guān)的一些性質(zhì)。

模糊集；軟集；關(guān)系函數(shù)；模糊參數(shù)軟集；運(yùn)算

在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、環(huán)境與工程學(xué)、醫(yī)學(xué)等許多領(lǐng)域，有許多具有不確定性、模糊性和無法清晰定義目標(biāo)的復(fù)雜問題。有三種理論：概率論、區(qū)間數(shù)學(xué)和模糊數(shù)學(xué)被用來處理這樣的問題。Molodstov[1]指出這些理論都有他們自己本身的缺陷并引入了軟集理論來克服這些缺陷。2003年，Maji[2]等人在軟集中引入了一些代數(shù)運(yùn)算并對軟集做了更細(xì)致的研究。從此以后，許多學(xué)者[3-5]致力于軟集代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究。不過，文[6]的結(jié)果表明軟集運(yùn)算實(shí)際上就是布爾矩陣的運(yùn)算。Maji[7]等人基于軟集理論與模糊集理論提出了模糊軟集理論。他定義了模糊軟集的并、交和補(bǔ)的概念。Ahmad[8]等人修正了Maji的模糊軟集交的定義并更一步的研究了模糊軟集的運(yùn)算。近幾年，許多學(xué)者[9-12]致力于軟集運(yùn)算的研究。

在本文中，我們定義了模糊參數(shù)軟集及其運(yùn)算的基本定義，并用實(shí)例表明其實(shí)用性。本文的主要內(nèi)容可以說是模糊軟集理論的進(jìn)一步的研究。

1 預(yù)備知識

在這一節(jié)，我們主要回憶一些基本的概念，如模糊集、軟集和模糊軟集等。然后，我們修正模糊軟集的概念。在本文的全文中，U是指一個原始的事物集，E是事物集U的參數(shù)集，P(U)是U的冪集。

模糊集的概念在文[13]中是按如下方式給出的。

定義1集合U中的一個模糊集F是由它的隸屬函數(shù)F(u)所刻畫的。對于U中的任一點(diǎn)u，均有一實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，實(shí)數(shù)值F(u)代表著u在F中的隸屬程度。

一個集合U上的模糊集F可以按下面的方式表示：

注：集合U上的所有模糊集用F(U)來表示。

定義2[1]一對有序組合(G,E)被稱作集合U上的一個軟集當(dāng)且僅當(dāng)G是一個E到P(U)的一個映射。

一個集合U上的軟集(G,E)可以用下面的兩類有序?qū)Φ募蟻肀硎尽?/p>

定義3軟集(G,E)的關(guān)系函數(shù)RGE的定義如下：

容易知道軟集(G,E)與它的關(guān)系函數(shù)RGE具有一一對應(yīng)關(guān)系。因此，我用關(guān)系函數(shù)RGE來標(biāo)識軟集(G,E)。

例1設(shè)U={h1,h2,h3,h4,h5}是五個房子的集合。設(shè)參數(shù)集E={blackish, reddish, green, large}且軟集(G,A)可以寫作

利用關(guān)系函數(shù)RGE，我們也可以用表格與矩陣來表示軟集(G,A)。

Maji[7]對模糊軟集的定義如下：

定義4一對組合(f,A)(A?E)被稱為U上的模糊軟集當(dāng)且僅當(dāng)f:A→F(U)是一個從A到F(U)的映射。

這里，對于任意的e∈A，f(e)必然是一個模糊集合，其隸屬函數(shù)記為fe，為表示的方便性，我們將f(e)也記為fe。

例2假設(shè)一個模糊軟集(f,A)描述了五件待售襯衫U={x1,x2,x3,x4,x5}對顧客的吸引力。描述襯衫特征的集合是

在上例中，很容易知道模糊集f(e5)=φ。它意味著因此，我們可以按如下的方式修正模糊軟集。

定義5一對組合(f,E)被稱為U上的模糊軟集當(dāng)且僅當(dāng)f:E→F(U)是一個從E到F(U)的映射。

一個U上的模糊軟集可以用下面的有序?qū)肀硎荆?/p>

這里，fe(u)是u屬于fe的程度或者是函數(shù)fe在集合U上的隸屬函數(shù)值，fe(u)被稱為e和u的模糊關(guān)聯(lián)度。

2 模糊參數(shù)軟集

為引入本文的核心定義，我們考慮下面一個案例的數(shù)學(xué)描述。

例3假設(shè)某一公司想要補(bǔ)充某一工作崗位。有5名候選人填表申請?jiān)搷徫?。設(shè)候選集

是一個參數(shù)集。參數(shù)ei( i=1,2,L,6)分別代表“有經(jīng)驗(yàn)”、“電腦知識豐富”、“受過訓(xùn)練”、“年輕”、“高學(xué)歷”和“身體健康”。人力資源經(jīng)理給集合E中的每個元素一個權(quán)。可以說，這個經(jīng)理構(gòu)建了一個E上的模糊集

來自執(zhí)行董事會的決策者根據(jù)參數(shù)集U上的元素對候選人建立如下的模糊軟集：

為了更全面的表述F與(f,E)之間的關(guān)系，我們給出如下的定義：

定義6設(shè)U={u1,u2,Λ,um}是一個原始的事物集，E={e1,e2,Λ,en}是一個參數(shù)集，F(xiàn)是集合E上的一個模糊集，(f,E)是集合U上的一個模糊軟集。那么集合E與U上的一個模糊參數(shù)軟集Ff定義如下：

Ff={(e,F(e),fe(u))|(e,u)∈E×U}。

這里，F(xiàn) (e)·fe(u)是(e,u)屬于Ff的隸屬程度或模糊軟參數(shù)軟集Ff的隸屬函數(shù)。本文把集合E和U上所有模糊參數(shù)軟集記為FPS(E,U)。

根據(jù)定義3很容易證明下面結(jié)論的正確性。

性質(zhì)1設(shè)Ff∈FPS (E,U)，那么?(e,u )∈E×U，有0≤F( e)·fe( u )≤1。

定義7設(shè)Ff∈FPS(E,U)，如果對于任意的(e,u)∈E×U ，有F(e)=0且fe(u)=0，那么稱Ff是一個空模糊參數(shù)軟集，記作Φ。如果對于任意的(e,u)∈E ×U，有F(e)·fe(u)=1，那么稱Ff是一個全

類似地，對于任意的

從而有結(jié)論（1）成立，同樣的方式結(jié)論（2）成立。定義16設(shè)

“Ff且Gg”是一個模糊參數(shù)軟集，記作Ff∧Gg，這里

“Ff與Gg”是一個模糊參數(shù)軟集，記作Ff∨Gg，這里

下面的一些結(jié)論根據(jù)定義16是很容易證明，故這里我們不給予證明，僅給出結(jié)論。

證明（1）與（2）的證明類似，這里僅證明（1）。設(shè)Ff∧Gg=Hh 。則有

3 結(jié)論

本文給出了模糊參數(shù)軟集的概念。它可以看作是基于模糊軟集而推廣的模糊集。文中定義了模糊參數(shù)軟集的一些運(yùn)算，并用對他們進(jìn)行了解釋。這些運(yùn)算還具有一些代數(shù)性質(zhì)，我們也挖掘了一部分，相信還會有一些比較有用的性質(zhì)有待探索。

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（責(zé)任編輯、校對：趙光峰）

Soft Set with Fuzzy Parameter

GAO De-bao, ZHU Huan
(College of Sciences, Heilongjiang Bayi Agricultural University, Daqing 163319, China)

The fuzzy parameter soft set is the theory of fuzzy soft sets with fuzzy parameters set and offers a new mathematical tool for dealing with fuzzy objects. The main purpose of this paper is to introduce the basic notions of the fuzzy parameter soft set, to present some operations of the sets, and to discuss some properties associated with the fuzzy parameter soft set operation.

Fuzzy set; Soft set; Relation function; Fuzzy parameter soft set; Operation

O159

A

1009-9115(2016)02-0005-06

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.002

大慶市科技計劃項(xiàng)目（szdfy-2015-47）

2015-12-13

高德寶（1975-），男，黑龍江大慶人，碩士，講師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)分析、運(yùn)籌與決策。