楊 汝， 王燕芬， 馮錦澎

(廣州大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院， 廣東 廣州 510006)

基于符號動力學(xué)的倒鋸齒映射混沌檢測機(jī)理研究

楊 汝， 王燕芬， 馮錦澎

(廣州大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院， 廣東 廣州 510006)

以混沌系統(tǒng)的參數(shù)敏感性和初值敏感性為基礎(chǔ)，倒鋸齒映射為模型，按照符號動力學(xué)原理，建立符號序列空間，計(jì)算待測初值和零點(diǎn)的軌道空間距離求得待測值.令恒流源對電容進(jìn)行充放電，分析設(shè)計(jì)具體的混沌檢測電路，成功地將倒鋸齒映射應(yīng)用到混沌微弱信號檢測上.

倒鋸齒映射； 符號動力學(xué)； 微弱信號檢測

混沌研究已經(jīng)從純理論研究走向應(yīng)用研究，在氣象學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、電子學(xué)方面取得十分有實(shí)用價(jià)值的成果[1-3],例如,將確定性混沌技術(shù)應(yīng)用于風(fēng)速和風(fēng)力發(fā)電機(jī)的輸出功率預(yù)測，使預(yù)測時(shí)間從幾小時(shí)擴(kuò)展到24 h，給風(fēng)電運(yùn)營商管理和能源調(diào)度提供了決策依據(jù)；又如將混沌控制技術(shù)應(yīng)用于自發(fā)性癲癇的治療，有效地抑制它的發(fā)作頻率；再如混沌同步實(shí)現(xiàn)多個(gè)Boost變換器均流控制，也取得了初步的效果等.

初值敏感性是混沌的固有特性[4-6]，初值敏感性是指當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)穩(wěn)定時(shí)，微小的初值變化就會使其運(yùn)動軌跡之間呈現(xiàn)指數(shù)分離，反而言之，檢測運(yùn)動軌跡之間的差異，就能知道初值的細(xì)微變化量.從符號動力學(xué)看，初值與系統(tǒng)運(yùn)動軌跡在一定的時(shí)間內(nèi)是一一對應(yīng)的，初始值的細(xì)微變化量可以采用符號動力學(xué)分析方法高精度測量[7-9]，從而可以應(yīng)用于微弱信號的檢測.目前，基于混沌初值敏感性機(jī)理對微弱信號檢測研究，主要是以Duffing振子、Lorenz振子和倒鋸齒映射作為混沌動力學(xué)模型，以Duffing振子為模型的混沌檢測系統(tǒng)應(yīng)用在金屬探測器[10]，成功判斷金屬物質(zhì)的存在,達(dá)到檢出金屬雜質(zhì)的目的；在超聲波液位檢測中能提高檢測超聲波回波信號的精度[11]，為超聲波液位檢測準(zhǔn)確判斷液位高度提供了方便；在機(jī)械設(shè)備的齒輪故障檢測中能夠檢測出齒輪故障的幅值信[12].以Lorenz振子為模型的混沌檢測系統(tǒng)為檢測微弱正弦信號引出了另一條路[13]；對數(shù)值天氣轉(zhuǎn)折期預(yù)報(bào)與氣候突變檢測、預(yù)測給出一種新理論和新方法[14].以倒鋸齒映射為模型的混沌動力系統(tǒng)則可以用于微弱信號的直接數(shù)字化測量[15]，同時(shí)提高測量分辨率和靈敏度.

為此，本文以倒鋸齒映射為研究對象，基于符號動力學(xué)原理，建立符號序列空間，得到不同的初值下的運(yùn)動軌道和符號序列；根據(jù)待測初值和零點(diǎn)的軌道空間距離計(jì)算得到待測值.最后分析設(shè)計(jì)具體的混沌檢測電路，數(shù)值仿真和電路實(shí)驗(yàn)證明該方法應(yīng)用在微弱信號檢測上不僅電路簡單，而且具有靈敏度和分辨率高的特性.

1 倒鋸齒映射模型

倒鋸齒映射模型也稱反移位映射模型[16]，見圖1，其經(jīng)典的迭代關(guān)系為

(1)

如果把移位映射的變化范圍限制到[0,1],

(2)

特別當(dāng)參量k=2時(shí)，有

xn+1=1-2xn(mod1)

(3)

模運(yùn)算(mod 1)的意思是，只保留計(jì)算結(jié)果的小數(shù)部分.對于保存在計(jì)算機(jī)里的二進(jìn)制數(shù)，乘以2相當(dāng)于向右移位1次.這時(shí)字長最右端空出的一位補(bǔ)零，而從左端移進(jìn)去的(進(jìn)位)1舍棄不要，即實(shí)現(xiàn)模運(yùn)算(mod 1)，得到的二進(jìn)制取反加一產(chǎn)生補(bǔ)碼.這就是反移位映射的由來.

經(jīng)過n次迭代后，一維映射的Lyapunov指數(shù)λ的的計(jì)算公式為

(4)

把式(2)代入式(3)求得λ=lnk,當(dāng)k>1時(shí)，λ= lnk>0，此時(shí)該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).本系統(tǒng)工作于k=2，此時(shí)倒鋸齒映射系統(tǒng)為混沌動力系統(tǒng)，其具有對初值條件的敏感依賴性，可用于混沌微弱信號檢測.

圖1 倒鋸齒映射Fig.1 The inverted saw-tooth map

2 一維映射符號動力學(xué)

給定區(qū)間上一點(diǎn)x0，以x0點(diǎn)為初始點(diǎn)進(jìn)行迭代，可得到一條軌道：

x0,x1=f(x0),x2=f(x1),…xn=f(xn-1),…

(5)

從圖1可見，倒鋸齒映射模型有臨界點(diǎn)C.若xn落在臨界點(diǎn)C的右側(cè)，記為字母R，若落在臨界點(diǎn)C的左側(cè)，記為字母L.于是，由軌道(5)可得到一個(gè)符號序列[17]

s0s1s2…sn…

(6)

其中，

(7)

對應(yīng)的自然序L

符號序列的排序規(guī)則為[18]

EnL…

(8a)

OnL…>OnC…>OnR…

(8b)

其中,En和(On)分別代表含偶數(shù)和奇數(shù)個(gè)或R或L字母的一串字母.不難看出此排序規(guī)則下一切可能的符號序列中最大序列是(RL)∞，而最小序列是(LR)∞；由字母開頭的最靠近C的序列是R(RL)∞，而由字母L開頭的最靠近C的序列是L(LR)∞.

3 符號序列的軌道距離

規(guī)定符號si的指標(biāo)εi如下：

(9)

則迭代函數(shù)(2)可表作

(10)

當(dāng)k=2時(shí)，對上式求逆，可得

(11)

于是，如果x0的符號序列的s0s1s2…sn…不包含C，則上式給出實(shí)數(shù)x0的如下展開，

(12)

現(xiàn)假設(shè)x0∈[0,1]，y0∈[0,1]為相空間中2個(gè)不同初值，經(jīng)過式(2)迭代分別生成不同的2條軌道x1,x2,x3,…xn,…和y1,y2,y3,…yn,…,它們相對應(yīng)的符號分別為s0s1s2…sn…，λ0λ1λ2…λn…，定義它們的軌道距離為

(13)

當(dāng)y0=0即零點(diǎn)時(shí)，其符號序列λ0λ1λ2…λn…為010101…或(LR)∞，計(jì)算x0和零點(diǎn)之間的距離：

(14)

令k=2，將式(13)右邊展開后與等式(14)右側(cè)完全相等，因此，

d(x0,0)=

(15)

為了利用倒鋸齒映射進(jìn)行測量，在后面的混沌態(tài)電路實(shí)現(xiàn)中取k=2.這就是說，只要能得到初值x0相對應(yīng)的符號序列s0s1s2…sn…，就可按式(15)得到軌道距離，再得到x0的值，實(shí)現(xiàn)微弱信號的檢測.

4 倒鋸齒映射混沌檢測分析和實(shí)驗(yàn)

4.1 仿真分析

本實(shí)驗(yàn)采用倒鋸齒混沌檢測電路，見圖2，其工作原理：剛開始測量時(shí)，斷開開關(guān)K1、開關(guān)K2，閉合開關(guān)K3，待測電壓Us給電容充電，直到電容電壓uc=Us，斷開K3.當(dāng)有一個(gè)周期T的時(shí)鐘脈沖到達(dá)邏輯電路G時(shí)，G控制K2閉合，K1保持?jǐn)嚅_，電容以-I2的恒定電流開始放電.當(dāng)放電結(jié)束，即uc=0時(shí)，比較器翻轉(zhuǎn)，Up從高電平降到低電平，G接收到信號，控制開關(guān)K2斷開，K1閉合，電容以I1的恒定電流開始充電.當(dāng)下一個(gè)時(shí)鐘脈沖到來，邏輯電路G控制K1斷開，K2閉合，電容開始下一個(gè)過程的充電.如此重復(fù)，Uc的運(yùn)動軌跡可以得到一條運(yùn)動軌道.

倒鋸齒混沌檢測電路得到電容充放電的電壓軌道,見圖3.

圖2 倒鋸齒混沌檢測電路
Fig.2 The chaotic detection circuit

圖3 倒鋸齒映射的運(yùn)動軌道Fig.3 The motion track of inverted tooth map

根據(jù)倒鋸齒混沌檢測電路和圖3可計(jì)算出前后時(shí)鐘周期電容電壓xn→xn+1的迭代關(guān)系式為

(16)

這是一個(gè)倒鋸齒映射模型函數(shù).

倒鋸齒映射迭代多次后，根據(jù)軌道(2),符號序列(5),定義sn的符號為

(17)

把(17)式帶入(16)式得到：

(18)

(19)

假設(shè)初值x0，y0=0經(jīng)過倒鋸齒映射后生成的2條軌道對應(yīng)的符號序列為s0s1s2…sn…，λ0λ1λ2…λn…=010101…，其軌道距離d(x0,0)為

(20)

只要測得x0對應(yīng)的符號序列就可以求出檢測電路的待測初值Us為

(21)

當(dāng)取T=0.3 ms，C=2.2 uF，I2=-1.1 mA，I1=2.2 mA時(shí)，量程Um=0.3 V，xc=0.15 V，用matlab軟件編程對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真.可得到電容兩端的混沌態(tài)電路和符號序列測量結(jié)果如下：

電路參數(shù)保持不變，表1的待測初值信號Us與軌道距離d的線性關(guān)系，見圖4.

從圖4可見，待測初值與實(shí)測值是相同的，待測初值Us在區(qū)間[0，Um]內(nèi)，Us和符號距離d是接近線性關(guān)系，在這個(gè)區(qū)間測量倒鋸齒映射混沌檢測電路的線性度很高.取得位數(shù)越高，線性度越好.

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖5是倒鋸齒混沌檢測電路實(shí)驗(yàn)電路圖.

表1 Matlab仿真結(jié)果

圖4 待測初值信號Us與軌道距離的線性關(guān)系

Fig.4 The linear relationship between the initial valueUsand orbital distance

模擬開關(guān)采用高速的電子開關(guān)MAX333CPP，比較器采用LM393，電容C取2.2 uF，充電電流I1=2.2 mA，放電電流I2=-1.1 mA，脈沖采用單片機(jī)定時(shí)的方式設(shè)置時(shí)鐘周期T=0.3 ms，充放電的邏輯轉(zhuǎn)換用單片機(jī)STC89C51編程實(shí)現(xiàn).倒鋸齒映射的數(shù)值仿真軌道和實(shí)驗(yàn)軌道,見圖6～9.

從圖6～9可見，電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果高度接近，電路實(shí)驗(yàn)得到的符號序列和利用公式(21)計(jì)算得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2.對比表1和表2，實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到的測量值與仿真結(jié)果一樣，誤差低于0.1%，而且符號序列位數(shù)越高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確.此外，若取10位符號序列,即N=10，則測量時(shí)間t<2*N*T=3 ms, 因此具有一定的時(shí)效性.

從測量的結(jié)果看，倒鋸齒混沌檢測電路可以實(shí)現(xiàn)高精度測量信號初值電壓，同時(shí)測量符號序列位數(shù)越多，測量的精度越高.當(dāng)符號長度為10位時(shí)，實(shí)驗(yàn)誤差的計(jì)算公式如下：

δ=1/210<0.1%

(22)

由表2也可觀察實(shí)驗(yàn)的誤差在0.1%以內(nèi).

與AD轉(zhuǎn)換相比，若在取相同數(shù)字信號位數(shù)N的前提下，倒鋸齒混沌檢測電路可具有更高的分辨率.設(shè)定倒鋸齒混沌檢測電路各個(gè)參數(shù)使檢測滿量程為0.3 V時(shí)，倒鋸齒混沌檢測電路的分辨率為0.3 V×(1/28)≈1.17 mV，而AD轉(zhuǎn)換芯片量程都是5 V.因此,AD轉(zhuǎn)換芯片的分辨率為5 V×(1/28)≈19.5 mV.倒鋸齒混沌

圖5 實(shí)驗(yàn)電路圖Fig.5 The experimental circuit diagram

圖6 混沌軌道仿真圖Fig.6 Simulation chaos orbits

圖7 混沌軌道實(shí)驗(yàn)圖Fig.7 Experimental chaos orbits

圖8 初始值為Us4=135.42 mV時(shí)的混沌軌道仿真圖Fig.8 Simulation chaos orbits at Us4=135.42 mV

圖9 初始值為Us4=135.42 mV時(shí)的混沌軌道實(shí)驗(yàn)圖Fig.9 Experimental chaos orbits at Us4=135.42 mV

UsUs/mVε0ε1ε2…ε9實(shí)驗(yàn)結(jié)果/mVUsUs/mVε0ε1ε2…ε19實(shí)驗(yàn)結(jié)果/mVUs117．10010110111116．9921Us266．66011011011066．5039Us3183．721100100110183．6914Us4266．411011011000266．3086Us5135．420010011011135．3516Us5135．4200100110110110111010135．4199

檢測電路的分辨率由取的符號序列位數(shù)跟量程共同確定；AD轉(zhuǎn)換的分辨率只能通過選取不同數(shù)字信號位數(shù)的芯片來改變其分辨率.根據(jù)式(15)，倒鋸齒混沌檢測電路可以通過改變放電電流I2、時(shí)鐘脈沖周期T和電容大小C來改變測量量程的大??；倒鋸齒混沌檢測電路可以通過取不同位數(shù)的符號序列來改變測量分辨率，如取7位、10位或20位等，而AD轉(zhuǎn)換卻不能，AD轉(zhuǎn)換只可以選定芯片固定的8的位數(shù)的數(shù)字信號，如8位和16位等，可以說在選定AD轉(zhuǎn)換芯片時(shí)，其分辨率已經(jīng)是確定的.因此，倒鋸齒混沌檢測在輸出的數(shù)字信號位數(shù)相同時(shí)，不僅比AD轉(zhuǎn)換的分辨率要高很多，而且可以更靈活的使用，可根據(jù)測量信號的要求改變測量分辨率.尤其在用于檢測微弱信號時(shí)，比傳統(tǒng)AD轉(zhuǎn)換的檢測精度高，倒鋸齒混沌檢測的不足之處是轉(zhuǎn)換速度沒有AD快.因此，倒鋸齒混沌檢測電路主要用于微弱信號檢測.

5 結(jié) 論

本文基于符號動力學(xué)的內(nèi)容，對倒鋸齒映射混沌檢測機(jī)理進(jìn)行分析，揭示了倒鋸齒映射模型應(yīng)用在微弱信號檢測的本質(zhì).數(shù)值仿真證明倒鋸齒映射模型在混沌微弱信號檢測中能實(shí)現(xiàn)高精度的測量，實(shí)驗(yàn)證明了倒鋸齒映射模型在混沌微弱信號檢測的可行性.符號動力學(xué)的優(yōu)越性，與傳統(tǒng)AD轉(zhuǎn)換相比位數(shù)更多，有更高、更靈活的測量分辨率.

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【責(zé)任編輯： 陳 鋼】

The chaos detection mechanism of inverted sawtooth map based on symbolic dynamics

YANG Ru, WANG Yan-fen, FENG Jin-peng

(School of Physics and Electronic Engineering, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

Based on the sensibility of the parameter and the initial value of chaotic system, the proposed method begins from inverted saw-tooth map and builds the symbolic sequence space according to symbolic dynamics. The measured value can be calculated by the space distance of two tracks including the initial value and the zero point. The constant current source is used to charge and discharge the capacitor, and the analysis and design of the chaotic detection circuit is applied to detect the weak signal.

inverted saw-tooth map; symbolic dynamics; weak signal detection

2016-07-18;

2016-09-28

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51277035)；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014A030313528)

楊 汝(1971-),女,教授,博士.E-mail:yangru@gzhu.edu.cn

1671- 4229(2016)06-0039-08

TN 911.23