范曉明，羅詞金，*，徐學(xué)科，吳令奇，胡 晨

(1. 武漢理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430070;2. 中國科學(xué)院 上海光學(xué)精密機械研究所 強激光材料重點實驗室，上海 201800)

光學(xué)非球面三坐標測量中的像散補償

范曉明1，羅詞金1，2*，徐學(xué)科2，吳令奇2，胡 晨2

(1. 武漢理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430070;2. 中國科學(xué)院 上海光學(xué)精密機械研究所 強激光材料重點實驗室，上海 201800)

利用三坐標測量儀在光學(xué)非球面鏡研磨與粗拋階段進行面形檢測時，測量結(jié)果常由于補償程序不完善而出現(xiàn)像散誤差。本文分析了非球面三坐標測量得到的數(shù)據(jù)，指出測量結(jié)果中出現(xiàn)像散誤差是測頭半徑補償不準確所致。然后，提出了一種離線數(shù)據(jù)處理方法對測量數(shù)據(jù)進行補償來消除像散誤差。該方法通過計算網(wǎng)格排列的測頭中心點行和列方向的切向量得出曲面上每個點的法向矢量；根據(jù)測頭半徑計算出測頭球心到接觸點的偏移量，從而實現(xiàn)三坐標測量儀的三維測頭半徑補償。球面樣板實驗顯示這種方法可以將該樣板測量中的像散峰谷值(PV)由4.921 9 μm減小到0.065 2 μm，基本消除了測量結(jié)果中的像散誤差，提高了三坐標測量結(jié)果的準確度。實驗結(jié)果驗證了提出的三維測頭半徑補償程序的有效性。

非球面檢測；三坐標測量儀；測頭半徑補償；像散補償

1 引 言

光學(xué)非球面元件在國防、空間光學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，人們對非球面光學(xué)加工工藝和檢測技術(shù)也提出了更高的要求。非球面輪廓測量法是通過三坐標測量儀或輪廓儀等測量設(shè)備獲得工件表面各點坐標值，進而分析得到非球面面形誤差[1]。坐標測量法是研磨與粗拋光階段檢測面形的主要方法，也是保證研磨和拋光兩個階段順利銜接的加工與檢測的關(guān)鍵技術(shù)[2]。使用三坐標測量儀測量非球面能夠直接得到面形數(shù)據(jù)，操作簡便而且還能保持較高的檢測效率。三坐標測量儀測量曲線、曲面時，得到的是測頭球心的運動軌跡，由于測球具有一定的半徑，因此應(yīng)對測量數(shù)據(jù)進行測頭補償。目前的三坐標測量儀的測頭補償方法中最為常用的是二維自動補償法，即在測量過程中，只考慮測量點和測頭半徑的二維關(guān)系，同時將補償數(shù)據(jù)引入測量軟件中，在測量過程中實時完成測量數(shù)據(jù)的測頭補償。由于這種補償方法缺少了垂直于掃描平面方向上那一維的補償，對于非球面的曲面掃描測量，會引入沿掃描方向的誤差，使得測量結(jié)果中出現(xiàn)像散。目前國外的一些公司大都采用直接修正法進行修正，即測頭在探測過程中，能夠得到并返回測桿的三維變形量，通過計算變形量得出被測點的法向矢量。然而，這種方法在實際測量過程中不能滿足高精度要求。

目前常用的三維補償方法有：微平面法，微球面法和曲面擬合法等[3]。中國航空精密機械研究所應(yīng)用微平面法修正測頭半徑，即在被測點附近測得若干個點，求出由這些點組成的平面的法向矢量，對被測點進行補償。深圳大學(xué)的全榮[4]等提出了一種用函數(shù)修正測頭半徑的方法。他們使用大撓度三次樣條函數(shù)連接每一個截面的測量點，用基樣條函數(shù)連接各個截面，得到由基樣條函數(shù)和大撓度三次樣條曲線組成的混合曲面，然后根據(jù)曲線曲面方程求出任一點的法向矢量，進行測頭補償。對于點列有序的大量數(shù)據(jù)點，Liang和Lin[5]使用兩列數(shù)據(jù)構(gòu)建三角網(wǎng)格，然后求解網(wǎng)格法向矢量，在此基礎(chǔ)上，提出了一種對三角形中的測量點沿法矢方向進行補償?shù)姆椒?。Mayer[6]等利用kriging插值法擬合測頭中心曲面，得到曲面相應(yīng)點的法線方向，然后計算出每個測點的偏移值，最后對偏移后的測點數(shù)據(jù)再次應(yīng)用kriging 插值法，得以到補償后的曲面。Lin和Sun[7]提出了網(wǎng)格平均矢量法。該方法首先在被測曲面上定義網(wǎng)格以獲得一系列規(guī)則有序的點集，然后將令補償點與其鄰近4點形成的向量分別叉乘，計算出4個法向量，再用4個向量加權(quán)計算得到平均法向量，以此向量方向作為測頭半徑的補償方向進行半徑補償。該方法適用于較為平坦的曲面，其數(shù)據(jù)處理過程中需要做多次向量運算，效率不夠高。

針對上述補償方法都無法有效減小非球面三坐標測量中產(chǎn)生的像散誤差的問題，本文基于相鄰網(wǎng)格點法結(jié)合微平面法思想，提出了一種三維補償方法。首先使用Matlab軟件對三坐標測量數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，再根據(jù)相鄰網(wǎng)格點數(shù)據(jù)計算各測量點法向矢量，最后根據(jù)曲面各個點的法向矢量和測頭半徑數(shù)值計算出偏移量，最終實現(xiàn)測頭半徑的三維補償，從而有效減少了像散誤差。

2 像散誤差的來源和分析

2.1 坐標測量方法

光學(xué)非球面的三坐標測量一般采用光柵式掃描測量方法[8]，即從工件的邊緣開始，首先取定X(或Y)坐標值并固定，測頭沿Y(或X)方向在YZ(或XZ)平面內(nèi)進行直線掃描，接下來在X(或Y)坐標值方向根據(jù)給定步長取定X(或Y)坐標值并固定，沿Y(或X)負方向在XZ平面內(nèi)進行同樣的直線取點，如此反復(fù)在光學(xué)非球面元件上進行光柵式測量。

2.2 像散誤差來源

二維在線自動補償方法，即在測量時，將測量點和測頭半徑的關(guān)系都視為測頭運動平面內(nèi)的二維情況，在垂直于運動平面的方向上并沒有進行補償。當測量截面與接觸點法向矢量處于同一平面時，測量點連線為平面曲線，二維補償可以有效減小測頭半徑誤差。然而當測量截面與接觸點的法向矢量不在同一個平面時，如圖1所示，測量點連線為空間曲線，其與接觸點軌跡不在同一平面內(nèi)，二維補償無法準確補償垂直于運動方向上的測頭誤差。在這種情況下，運用matlab軟件和非球面方程構(gòu)建理論非球面并模擬出測頭中心所在曲面，假如是沿y軸方向進行光柵式掃描測量的，若根據(jù)理論面法向矢量進行二維補償，則在曲面法向矢量的3個分量中x軸方向不存在補償，y和z方向上的補償矢量分布如圖2(彩圖見期刊電子版)所示。所以在非球面的三坐標測量過程中，由于機器自帶二維補償忽視了垂直于掃描方向上的補償，使得測量結(jié)果中出現(xiàn)了像散等誤差。

圖1 測頭軌跡與接觸點軌跡Fig.1 Tracks of probe and contact points

二維補償方法簡化了實際情況中復(fù)雜的三維補償計算，在不影響測量采點和掃描速度的情況下能夠?qū)崟r得出補償結(jié)果，在對一些規(guī)則形狀的表面測量非常簡便、精確[9]。但對于一些復(fù)雜曲面，由于測量方向和測量點的法向矢量不一致，用二維補償方法進行補償則會引入新的補償誤差，滿足不了當前工程的高精度要求。

圖2 二維補償中y軸和z軸的矢量分布Fig.2 Vector distributions of y-axis and z-axis in two-dimensional compensation

3 三維半徑補償算法

3.1 基本原理

為了提高非球面三坐標測量方法的精度，減少像散誤差，必須使用有效的測頭半徑補償方法替代原本的二維補償方法。而測頭半徑補償?shù)年P(guān)鍵是確定測頭與被測工件接觸點的法向矢量，然后根據(jù)每個點的法向矢量進行半徑補償[10]。在這一思路的指導(dǎo)下，本文提出了三維半徑補償方法。首先用Matlab對三坐標測量得到的未經(jīng)補償?shù)臄?shù)據(jù)進行預(yù)處理，去除重復(fù)無效點，并重新規(guī)劃排列數(shù)據(jù)，使得測量數(shù)據(jù)點呈四邊形網(wǎng)格分布，再利用柵格點法線算法計算出曲面上每個點的法向矢量，然后進行半徑補償，最后將所得結(jié)果與理論數(shù)據(jù)進行對比和誤差分析。

3.2 測點分布

在測點的分布上，需要調(diào)整設(shè)備參數(shù)使得點與點的距離適中，若測點間相距太遠，則將使所得平面偏離被測曲面，不能得到準確的補償半徑；若相距太近，則會使各點的測量誤差疊加較大，導(dǎo)致求出的法線方向誤差大。因此需根據(jù)被測曲面的工件尺寸、曲率半徑和測頭大小等因素確定相鄰點的間距。

3.3 柵格點法線算法

假設(shè)三坐標測量儀不經(jīng)過二維半徑補償?shù)玫降臏y頭中心坐標為(X0，Y0，Z0)，經(jīng)過上述matlab預(yù)處理程序之后將坐標數(shù)據(jù)點按空間位置重新排布成如圖3所示的行列對齊的四邊形網(wǎng)格。

圖3 數(shù)據(jù)點網(wǎng)格模型Fig.3 Grid model of data points

圖4 取點示意圖Fig.4 Schematic of extration points

柵格點法線算法步驟如下，為了確定網(wǎng)格中每個點的法線方向，首先構(gòu)造行和列兩個方向的濾波器st1=1/2[1 0 -1]，st2=1/2[-1；0；1]，然后取每個點所在行和列中相鄰的4個點如圖4所示；接著利用Matlab中的濾波函數(shù)filter2計算每行和每列前后兩個點在X、Y和Z方向上的平均差值，以此確定該點在行和列方向上的兩個切向量a和b，利用切向量叉乘得到曲面上該點的法向向量n，其中i，j和k分別是X,Y和Z方向上的單位向量。向量a，b，法向矢量n與單位法向矢量在x，y，z方向上的分量分別為ax，ay，az，bx，by，bz，nx，ny，nz，Nx，Ny，Nz。m為向量n的模，具體算法如下:

ax=filter2(st1,X0),bx=filter2(st2,X0),

(1)

ay=filter2(st1,Y0),by=filter2(st2,Y0),

(2)

az=filter2(st1,Z0),bz=filter2(st2,Z0),

(3)

a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),

(4)

(5)

n=nx·i+ny·j+nz·k,

(6)

對所得向量n進行單位化處理，得到被測點的單位法向矢量，經(jīng)過半徑補償即可得到表面被測點的坐標[11]。

(7)

(8)

X=X0±r·Nx,Y=Y0±r·Ny,Z=Z0±r·Nz,

(9)

(X0，Y0，Z0)為三坐標不經(jīng)過補償測得的測頭球心坐標，r為測頭半徑，(X，Y，Z)為經(jīng)過三維補償后得到的測量點坐標(當測頭位于被測曲面法向矢量一側(cè)時，取“-”號，反之取“+”號)[9]。然后將補償后的X，Y帶入非球面方程:

(10)

r2=x2+y2,k=-e2,c=1/r

式中:r為徑向位置，k為二次曲面偏心率e的函數(shù)，而k=-e2，c為近軸曲率，c=1/R0，R0為頂點曲率半徑。

由于三坐標測量儀得到的數(shù)據(jù)為被測面各點的x，y和z坐標，數(shù)控加工設(shè)備也能將三維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為更適合研拋加工的法向偏差數(shù)據(jù)，因此為了提高數(shù)據(jù)處理效率以及避免在轉(zhuǎn)換為法向偏差的過程中引入新的誤差，通過計算非球面的Z坐標與理論值Z'的差值，得到所測非球面在Z方向上的殘差RES。由X,Y和RES在Matlab中繪出三維殘差圖，進行誤差分析。

4 測量實驗與結(jié)果

4.1 實驗方案

為了驗證算法的有效性,同時確保實驗不受非球面曲率半徑變化的影響[12]，實驗使用愛德華公司的ML121510三坐標測量儀對光學(xué)標準球面樣板進行檢測。通過對口徑D=132 mm，半徑R=542 mm的球面樣板進行光柵式掃描測量(使用自帶二維補償與關(guān)閉補償各測量一次)，并將關(guān)閉補償所測數(shù)據(jù)帶入上述Matlab程序中進行三維補償，與自帶二維補償?shù)臍埐罱Y(jié)果進行比較，分析該程序半徑補償?shù)挠行浴?/p>

首先，使用美國ESDI公司生產(chǎn)的IntelliPhase TMZ100激光干涉儀對該球面樣板進行標定，取125.4mm的有效口徑，去除PST(piston)，TLT(tilt)和PWR(power)等不相關(guān)誤差后的檢測結(jié)果如圖5(a)(彩圖見期刊電子版)所示。該樣板的面形峰谷值(PV)為0.174λ，均方根值rms(Root-Mean-Square)為0.013 μm。圖5(b)(彩圖見期刊電子版)為去除像散后的面形，由此得出該樣板中像散的PV值為0.017λ，rms值為0.005 μm。上述結(jié)果說明樣板幾乎不存在像散。(λ=0.632 8 μm)

實驗參數(shù)設(shè)置如下：測頭半徑為r=1 mm；掃描速度為10 mm/s；掃描頻率為10點/s；采樣間隔為1 mm/點；線間間距為1 mm。

圖5 干涉儀測量結(jié)果Fig.5 Measurement results of interferometer

4.2 實驗結(jié)果對比

在相同的實驗參數(shù)下，第一組數(shù)據(jù)為三坐標測量儀關(guān)閉機器自帶補償功能，將測量所得數(shù)據(jù)導(dǎo)入上述三維補償算法后得到的三維補償數(shù)據(jù)；第二組數(shù)據(jù)為使用機器自帶補償功能得到的二維補償數(shù)據(jù)。

將兩組數(shù)據(jù)分別導(dǎo)入Matlab殘差分析程序，得到三維補償和二維補償?shù)臍埐钊鐖D6(彩圖見期刊電子版)所示。由程序擬合結(jié)果可以得出，三維補償?shù)臍埐罘植几泳鶆蚝侠?，較符合實際情況，而二維補償?shù)臍埐罘植贾谐霈F(xiàn)了明顯的像散。由于標準球面樣板是沒有像散的，因此二維補償中出現(xiàn)的像散來源于測頭半徑補償?shù)牟粶蚀_性。

為進一步分析兩組數(shù)據(jù)中的像散大小，將兩組數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為xyz格式文件導(dǎo)入ZYGO干涉儀軟件MetroPro進行分析，取95%的有效口徑，去除PST(piston)，TLT (tilt)和PWR (power)等不相關(guān)誤差后，分別比較三維補償和二維補償去除像散誤差A(yù)ST前后的PV、rms等參數(shù)，結(jié)果如圖7(彩圖見期刊電子版)所示。

圖6 殘差圖Fig.6 Residual plots

圖7 實驗結(jié)果對比圖Fig.7 Contrast diagrams of experiment

通過對比可以發(fā)現(xiàn)，三維補償中的像散PV=0.103λ(0.065 μm)，rms=0.016 μm，二維補償中的像散PV=7.778λ(4.922 μm)，rms=0.968 μm。實驗結(jié)果對比表明，三坐標測量儀中的二維補償程序在高精度光學(xué)曲面測量中引入了像散誤差，而本文提出的三維測頭半徑補償程序可以對未經(jīng)補償?shù)臄?shù)據(jù)進行更加準確的補償，明顯消除數(shù)據(jù)中的像散誤差。而且三維補償后的數(shù)據(jù)更接近干涉儀的測量結(jié)果，因此可以認為本文方法有效減少了二維補償中出現(xiàn)的像散誤差(λ=0.632 8 μm)。

5 結(jié) 論

對于非球面坐標測量過程中出現(xiàn)的像散誤差，其實質(zhì)是測頭半徑補償?shù)牟粶蚀_產(chǎn)生的誤差。本文通過分析非球面三坐標測量數(shù)據(jù)，找出了測量結(jié)果中出現(xiàn)像散誤差的原因，據(jù)此提出了三坐標測量儀測頭半徑補償?shù)腗atlab算法模型，該模型將實驗樣板中像散PV值減小了98.7%，其可以有效減少測量結(jié)果中出現(xiàn)的像散誤差。由于采樣間隔無法完全保持一致使得所求法向矢量與實際情況仍存在微小誤差，但與三坐標測量精度相比，該誤差可以忽略，故該三維半徑補償程序可以有效提高非球面的三坐標測量精度。

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導(dǎo)師簡介:

范曉明(1963-)，男，湖北洪湖人，博士，副教授，主要研究方向為鑄造合金與工藝，E-mail：fanxm@whut.edu.cn

Compensation of astigmatism in coordinate measurement for optical aspheric elements

FAN Xiao-ming1, LUO Ci-jin1,2*, XU Xue-ke2, WU Ling-qi2, HU Chen2

(1.SchoolofMaterialScienceandEngineering,WuhanUniversityofTechnologyWuhan430070,China; 2.KeyLaboratoryofMaterialsforHighPowerLaser,ShanghaiInstituteofOpticsandFineMechanics,ChineseAcademyofSciences,Shanghai201800,China) *Correspondingauthor,E-mail:luocij@qq.com

When a three Coordinate Measurement Machine is used to test the surface shape of an aspheric element in grinding and polishing, obtained result often shows astigmatism errors due to an imperfect compensation programming. This paper analyzes these measurement data, and points out that the astigmatism errors comes from the imprecise compensation programming for the radius of three-dimensional probe in the CMM. Then, It presents an off-line data processing method to compensate the measurement data and to eliminate the astigmatism. By calculation of the tangent vectors of row and column at the meshed central point, the normal vector of each point on the surface is obtained. By calculation of the offsets between the centers of probe and the contact points, the radius of the tree-dimensional probe in the CMM is compensated. The experiment of a standard sphere show that this method decreases the astigmatism PV(Peak-to-Valley) of the measurement result from 4.921 9 μm to 0.065 2 μm, eliminating basically the astigmatism errors and improving the accuracy of the coordinate measurement. Obtained results verify the effectiveness of the proposed compensation programming for the radius of tree-dimensional probe in the CMM.

aspheric element testing; Three Coordinate Measuring Machine(CMM); compensation for radius of probe; astigmatism compensation

2016-10-13；

2016-11-17.

1004-924X(2016)12-3012-08

TH703；TH721

:Adoi:10.3788/OPE.20162412.3012

羅詞金(1993-)，男，江西上饒人，碩士研究生，主要從事非球面加工與檢測方面的研究，E-mail：luocij@qq.com