侯曉磊，張 璐

(山西工商學(xué)院，太原 030006)

對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法的進(jìn)一步討論

侯曉磊，張 璐

(山西工商學(xué)院，太原 030006)

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性對(duì)于求極限、導(dǎo)數(shù)等都有重要的意義，為了更好地理解和掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法，對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的幾種判別法進(jìn)行了分析、歸納和總結(jié)。首先引言部分列舉了大家熟知的幾種基本判別法，然后對(duì)基本判別法作了進(jìn)一步討論。

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；一致收斂；判別法

1 幾種判別法

對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，研究函數(shù)的解析性至關(guān)重要，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必須具有一致收斂性，可判斷函數(shù)項(xiàng)的一致收斂性往往是比較困難的，為了更好地理解判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種方法，我們先回顧一下我們熟知的幾種函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法。

定義1[1]設(shè){Sn}是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑an(x)的部分和函數(shù)列，若{Sn(x)}在數(shù)集I上一致收斂于S(x)。

毫無疑問，定義能夠判別一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，但是如果較難得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和，我們就應(yīng)該針對(duì)不同類型的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)應(yīng)用不同的判別方法，下面是除了定義以外還被我們熟知的幾種基本判別法。

定理1 (一致收斂的柯西準(zhǔn)則)[1]函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑an(x)在數(shù)集I上一致收斂的充要條件為：對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在某自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)對(duì)一切x∈I和一切自然數(shù)都有

|Sn+p(x)-Sn(x)|<ε。

定理2 (維爾斯特拉斯判別法)[2]設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑an(x)定義在數(shù)集I上，∑Mn為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切x∈I，有|an(x)|≤Mn，n=1，2…則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集I上一致收斂了。

這種方法對(duì)于判別正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來說很方便，下面要介紹的兩種方法對(duì)于項(xiàng)數(shù)是乘積形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來說很適合，并且兩種方法能夠相互推導(dǎo)。

定理3 (阿貝爾判別法)[1]設(shè)：1)，∑an(x)在區(qū)間I上一致收斂；2)，對(duì)于每一個(gè)x∈I,{bn(x)}是單調(diào)的；3)，{bn(x)}在I上一致有界，即對(duì)一切x∈I和自然數(shù)n，存在正數(shù)M，使得{bn(x)}

在很多情況下，我們很容易證明某個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，但是如何由收斂得出一致收斂呢，下面這個(gè)定理給出了一種由收斂推出一致收斂的方法。

定理5 (Dini定理)[3]若1)每個(gè)an(x)均在[a,b]上連續(xù)且非負(fù)；2)∑an(x)在[a,b]上收斂于連續(xù)函數(shù)S(x)，則∑an(x)在[a,b]上一致收斂于S(x)。

要解決實(shí)際問題，僅有上面的幾種方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因此我們需要進(jìn)一步探究函數(shù)一致性收斂的其他的方法。

2 對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂基本方法的進(jìn)一步討論

在正向級(jí)數(shù)中我們能用比式判別法和根式判別法對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性進(jìn)行判別，那么在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中是否也有類似的定理呢？下面我們就進(jìn)一步討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的基本方法。

這個(gè)定理為一致有界推出一致收斂提供了重要依據(jù)。

證明：因?yàn)閡n(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，un(x)在[a,b]上收斂于連續(xù)函數(shù)u(x)=0；對(duì)?x∈[a,b]，un(x)單調(diào)，所以由狄尼定理知un(x)在[a,b]上一致收斂于u(x)=0。

以上結(jié)論都是針對(duì)于一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都有的性質(zhì)，若∑un(x)是定義在數(shù)集D上的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，那么我們有以下的一些結(jié)論。

3 結(jié)語

以上方法解決了判斷一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否一致收斂的問題，需要指出的是判斷一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂的方法往往不是唯一的，深刻理解每種方法的優(yōu)點(diǎn)有利于我們更快更好地判斷一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，在這些方法中，柯西準(zhǔn)則判別法和魏爾斯特拉斯判別法是較為實(shí)用和方便的一致收斂判別法，一般要優(yōu)先考慮使用，這也是我們學(xué)習(xí)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必備的知識(shí)。

[1] 張亦霄,田黃佳.正項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的Raabe型判別法的推廣[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015(6)：61-66.

[2] 吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(四)[M].費(fèi)定暉,周學(xué)圣，譯.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1987.

[3] 王振乾,彭建奎,王立萍.關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判定的討論[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010(4)：111-113.

[4] 黃弋釗.關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性再探[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016(15)：145.

[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,1991:129-145.

[6] 金瑋,侯象乾,馬澤玲.(0,p(D))三角插值多項(xiàng)式對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的同時(shí)逼近[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,38(3):276-279.

[7] 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].2版.北京:高等教育出版社，1983：63-76.

[8] 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社，2001:260-307.

[9] 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(中冊(cè))[M].北京:人民教育出版社，1978:118-127.

[10] 黃石生.Dini定理在級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，8(3)：29-30.

[11] 陳傳璋.數(shù)學(xué)分析下冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，1984.

A Further Discussion on the Uniform Convergent Discrimination Method for Series Function

HOU Xiao-lei，et al.

(ShanxiTechnologyandBusinessCollege，Taiyuan030006，China)

The uniform convergence of series function is very important for the finding of limits and derivatives.In order to better understand and grasp the uniform convergence of series function，this article has made analysis，induction and summary to several discrimination methods on uniform convergence of series function.First，some well-known examples on basic discrimination have been listed in the introduction part，and then a further discussion has been made on these basic discrimination methods.

series function;uniform convergence;discrimination method

10.3969/j.issn.1009-8984.2016.04.032

2016-11-02

侯曉磊(1987-)，女(漢)，山西呂梁，助教，碩士 主要研究基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

O174

A

1009-8984(2016)04-0125-04