□范新林 朱國(guó)平

核心概念“面積”的前測(cè)研究*

□范新林 朱國(guó)平

面積是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域重要的概念。那么，學(xué)生在學(xué)習(xí)面積之前對(duì)它有何了解，學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)又在哪里？帶著這些問題，設(shè)計(jì)了本次前測(cè)。測(cè)試內(nèi)容有平面與曲面的認(rèn)知度、一維與二維的區(qū)別聯(lián)系、學(xué)生對(duì)面積的印象等方面，通過測(cè)試城鄉(xiāng)120名學(xué)生，做了數(shù)據(jù)分析，并提出了相應(yīng)的教學(xué)建議。

面積 核心概念 前測(cè) 圖形與幾何

一、面積的認(rèn)識(shí)

物體表面是一個(gè)二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小。對(duì)一個(gè)二維圖形的表面進(jìn)行度量之后，用一個(gè)“數(shù)”標(biāo)記它的大小，稱這個(gè)數(shù)為該圖形的面積。這里的“面”指有長(zhǎng)有寬而沒有厚度的一種“行跡”，而這種行跡并不一定必須是“平面”的，如球面。當(dāng)然，這種用“大小”“度量”“物體”“表面”等普通名詞，都是一種直觀的描述。嚴(yán)格的面積定義以及面積公理的發(fā)展（測(cè)度公理）基本想法是：既然圖形是一個(gè)集合，而相應(yīng)的圖形的面積是一個(gè)數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個(gè)函數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材將有關(guān)幾何圖形的面積的經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)，進(jìn)行數(shù)學(xué)描述。如：（1）“物體的表面或封閉（平面）圖形的大小，就是它們的面積”（人教版實(shí)驗(yàn)稿、北師大版等教材）；（2）“黑板表面的大小是黑板的面積”（蘇教版教材等）、“課桌表面的大小，就是課桌面的面積”（人教版修訂稿教材等）。不難發(fā)現(xiàn)，后一種描述方式比之前者，抽象概括的成分更少，“黑板”“課桌”這些實(shí)際物體的表面比之“物體的表面”更具體、直觀?？傊?，現(xiàn)行教材使用直觀描述的方式，便于學(xué)生領(lǐng)悟面積的實(shí)際意義。

二、學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的分析

現(xiàn)行教材都把面積這一內(nèi)容放在三年級(jí)下冊(cè)。從“形”的角度分析：在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)了立體圖形和平面圖形，知道了長(zhǎng)方形和正方形的一些簡(jiǎn)單特征（邊的長(zhǎng)短、四個(gè)內(nèi)角是直角）；從“長(zhǎng)度”的角度分析：學(xué)生已經(jīng)知道了長(zhǎng)度的概念，學(xué)習(xí)了常用的長(zhǎng)度單位（厘米、米、分米等），在三年級(jí)上冊(cè)還學(xué)習(xí)了周長(zhǎng)的概念及計(jì)算圖形周長(zhǎng)的方法。這些知識(shí)的儲(chǔ)備和相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為學(xué)習(xí)面積做好了準(zhǔn)備。那么，學(xué)生在學(xué)習(xí)面積之前，對(duì)它有哪些認(rèn)識(shí)呢？

（一）生活中關(guān)于面積經(jīng)驗(yàn)的積累

面積作為一種生活現(xiàn)象每天都遇到，并非難得一見。學(xué)生的成長(zhǎng)過程中遇到具有面積意義的活動(dòng)很多，學(xué)生感受了面積，但不知道這就是面積。下列生活場(chǎng)景具有面積的意義，學(xué)生能大概知曉面積是有大小的。

現(xiàn)象1：搬新家了，新家比老家大很多，從父母那里聽說了新家的面積是多少平方米。

現(xiàn)象2：課桌上可以擺很多東西，書本、鉛筆盒、練習(xí)本等，學(xué)生在整理課桌時(shí)，會(huì)把書本放底下，把面積較小的練習(xí)本放在書本的上面。

現(xiàn)象3：下雪了，兒子和爸爸一起在雪地上走，爸爸留下的腳印大，兒子留下的腳印小。

上述現(xiàn)象都有面積的雛形，學(xué)生在成長(zhǎng)過程中能經(jīng)常遇到或發(fā)生與面積有關(guān)的事件，學(xué)生在不知不覺中積累了有關(guān)面積的直觀感知。

（二）幼兒園學(xué)習(xí)過程中積累的面積經(jīng)驗(yàn)

幼兒在幼兒園的學(xué)習(xí)生活中，也有可能接觸到有關(guān)面積的概念。湖州市藍(lán)天幼兒園的卞娟娟老師提供了這樣一個(gè)案例。

活動(dòng)名稱：臉有多大

活動(dòng)1：每個(gè)小朋友手上有一張正方形的“臉”，比比誰的“臉”大呢？

方法：目測(cè)、重疊比較等；結(jié)果：是一樣大。

活動(dòng)2：用三角形來幫幫忙，看看“臉”有多大？怎么量呢？

方法：將三角形拼在正方形“臉”上，不能留下空隙，要拼滿。結(jié)果：每張“臉”用了8個(gè)三角形，“臉”有8個(gè)三角形大。

活動(dòng)3：長(zhǎng)方形“臉”、三角形“臉”等也想出來和正方形“臉”比比，看看誰大誰小。

重點(diǎn)：怎樣才能用三角形這個(gè)測(cè)量工具把這些不同形狀的“臉”拼滿；鼓勵(lì)幼兒用剪刀剪，使一個(gè)圖形變形，再用與另一個(gè)圖形重疊的方法來比出“臉”的大小。

幼兒園都是綜合性課程，教材有自主選擇的余地，我們調(diào)查了城鄉(xiāng)諸多幼兒園的老師，發(fā)現(xiàn)幼兒園老師會(huì)在中班、大班教學(xué)中將面積的概念滲透在游戲中。

（三）小學(xué)學(xué)習(xí)過程中積累的面積經(jīng)驗(yàn)

幼兒進(jìn)入小學(xué)后，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中接觸有關(guān)面積概念的機(jī)會(huì)就更多了。如在一年級(jí)認(rèn)識(shí)平面圖形這一單元中，學(xué)生對(duì)于“面是有大小的”有了一定的感性認(rèn)識(shí)，以人教版修訂稿教材為例，教材編排了以下習(xí)題：

習(xí)題1：拼一拼，兩個(gè)同樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。

習(xí)題2：選擇七巧板中的幾塊拼三角形、長(zhǎng)方形等。

習(xí)題3：剪一剪，將一個(gè)正方形剪成兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形、三角形。

習(xí)題4：將一張長(zhǎng)方形紙剪成大小相等的兩塊。

學(xué)生通過本單元的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)平面圖形是有形狀區(qū)分的，并通過“拼”“剪”兩類操作活動(dòng)，學(xué)生感受到面是有大小的，面是可分割、可拼組的。

再如，在三上“長(zhǎng)方形和正方形”這一單元中，教材編排了以下習(xí)題：

習(xí)題1：在點(diǎn)子圖中畫四邊形、長(zhǎng)方形和正方形。

習(xí)題2：在方格紙中畫長(zhǎng)方形和正方形，畫規(guī)定長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形和正方形。

習(xí)題3：用長(zhǎng)方形紙剪一個(gè)最大的正方形。

習(xí)題4:用兩副三角板拼長(zhǎng)方形和正方形。

習(xí)題5:把正方形紙折成相同的兩部分。

不難發(fā)現(xiàn)，三上習(xí)題中有關(guān)“拼”“剪”的操作活動(dòng)依然延續(xù)，并增加了“畫”的操作活動(dòng)。在習(xí)題題干上出現(xiàn)了“大小”“相同”“最大”等詞語，其實(shí)已經(jīng)蘊(yùn)含了面積的意義。如此，相關(guān)教學(xué)內(nèi)容為學(xué)習(xí)面積積累了比較豐富的經(jīng)驗(yàn)。

三、前測(cè)的意圖及習(xí)題

從上述的分析來看，學(xué)生對(duì)于面積這個(gè)概念已經(jīng)有了比較豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。但是就每個(gè)個(gè)體而言，對(duì)面積的感知是否如上所說，他們當(dāng)中存在著怎樣的差異呢？為了更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)并建構(gòu)面積的概念及內(nèi)涵。我們?cè)噲D通過前測(cè)了解學(xué)生以下幾個(gè)方面的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，從而為教學(xué)提供有利的資源和借鑒。

1.學(xué)生對(duì)于“平面”與“曲面”的認(rèn)知度有多少？

2.學(xué)生能否辨識(shí)“線段”與“平面圖形”的區(qū)別與聯(lián)系？

3.畫在方格紙中的兩個(gè)長(zhǎng)方形，學(xué)生能否根據(jù)方格的數(shù)量比較它們的大??？

4.用一根繩子圍成不同的平面圖形，它們的面積是否相同？學(xué)生對(duì)于周長(zhǎng)與面積的區(qū)別有多少了解？

5.學(xué)生在學(xué)習(xí)前是否聽說過“面積”？能否用自己的話說一說什么是面積？

基于這樣的意圖，又為了便于操作，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下的前測(cè)題。

測(cè)試對(duì)象：三年級(jí)下學(xué)期學(xué)生，在學(xué)習(xí)面積之前。

四、測(cè)試要求和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

（一）測(cè)試的對(duì)象

三年級(jí)學(xué)生120人，在學(xué)習(xí)面積之前測(cè)試。

（二）測(cè)試的方法

統(tǒng)一采用面試。先做好測(cè)試題課件（包括錄音），逐一對(duì)學(xué)生進(jìn)行面試，有條件的可以錄像，但不要對(duì)學(xué)生產(chǎn)生影響。

（三）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

每個(gè)測(cè)試題需要統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)：

測(cè)試題1：對(duì)于桌面和球面的區(qū)別是從什么屬性進(jìn)行描述的，比率是多少？

測(cè)試題2：從什么角度區(qū)分線段和長(zhǎng)方形，比率是多少？

測(cè)試題3：用什么方法比較兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，方法合理、比較正確的比率是多少？

測(cè)試題4：一條繩子會(huì)圍成什么圖形，每種圖形的人數(shù)是多少？能否比較兩個(gè)圖形的大小，比率是多少？

測(cè)試題5：知道面積這個(gè)詞的學(xué)生比率是多少？能合理描述什么是面積，比率是多少？

測(cè)試題目 測(cè)試意圖 測(cè)試形式1.出示物體：口試（1）桌面與球面有什么不一樣？（2）像桌面一樣的面還在哪里看到過？檢測(cè)學(xué)生對(duì)曲面與平面的直觀理解2.它們有什么不一樣嗎？ 檢測(cè)學(xué)生對(duì)一維與二維感性認(rèn)識(shí)的程度口試3.下面哪個(gè)圖形大，大多少？檢測(cè)學(xué)生對(duì)圖形大小的原始辨別力口試4.給學(xué)生兩條一樣長(zhǎng)的繩子，讓學(xué)生分別圍成兩個(gè)不同的圖形。提問：圍成的那兩個(gè)圖形大小一樣嗎？檢測(cè)學(xué)生對(duì)圖形大小的理解與周長(zhǎng)關(guān)系的原有認(rèn)識(shí)口試5.你聽說過面積這個(gè)詞嗎？用自己的話說一說什么是面積檢測(cè)學(xué)生對(duì)面積一詞的知曉率和理解度口試

五、測(cè)試結(jié)果分析和教學(xué)建議

（一）測(cè)試結(jié)果

我們選擇了城區(qū)中心小學(xué)和鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)3所共120名三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，其結(jié)果如下：

測(cè)試題一：

（1）桌面與球面有什么不一樣？

（2）像桌面一樣的面還在哪里看到過？

會(huì)舉例的學(xué)生有107人，占被測(cè)人數(shù)的百分比是89.2%；不會(huì)舉例的學(xué)生13人，占被測(cè)人數(shù)的百分比是10.8%。

描述的屬性桌面 球 人數(shù) 百分比外形 不是圓的、是方的 圓的 10 8.3%外形 平的、扁平的圓的 51 42.5%外形 長(zhǎng)方形 圓的 34 28.3%外形 平面的 立體的、球面 3 2.5%外形 平的 不平的、彎的、凸出的 8 6.7%角 有角 光滑無角 2 1.7%大小、長(zhǎng)短 大的、長(zhǎng)的 小的、短的 2 1.7%觸覺 光滑的 圓 2 1.7%運(yùn)動(dòng) 能滑動(dòng)、不能滾動(dòng) 可滾動(dòng) 6 5.0%邊緣 線是直的 線是圓的 1 0.8%不知道 1 0.8%

舉例的學(xué)生主要答案有：

凳子、書柜、電視機(jī)、墻、書、門、椅子、窗戶、報(bào)紙、硬幣、地板、瓷磚、木板、講臺(tái)、餐巾紙、電腦屏幕。

測(cè)試題二：

線段（圖）和長(zhǎng)方形（圖）有什么不同？

描述的屬性 線段 長(zhǎng)方形 人數(shù) 百分比外形 細(xì)、窄、薄、扁粗、寬、厚、高 71 59.2%大小小 大 7 5.8%線與面 一條線、線段長(zhǎng)方形、圖形、一個(gè)面29 24.2%位置 倒下來的、橫的 豎著的、正的 3 2.5%邊 一條條的、一條邊 一張張的、四條邊 2 1.7%體 不是立體的立體的 2 1.7%線 直的 由很多條線組成 1 0.8%位置 只能畫 可立起來擺放 1 0.8%顏色 淡的 濃的 2 1.7%不知道 2 1.7%

測(cè)試題三：

下面哪個(gè)圖形大，大多少？

比較方法 比較結(jié)論 正確性人數(shù) 百分比數(shù)格子 圖形1大 正確 46 38.3%數(shù)格子 圖形2大、一樣大 錯(cuò)誤 4 3.3%移動(dòng)格子、拉動(dòng) 一樣大 錯(cuò)誤 3 2.5%比較長(zhǎng)、行 圖形2大 錯(cuò)誤 14 29.2%比較寬、高、列 圖形1大 片面 21比較長(zhǎng)和寬、并抵消 一樣大 錯(cuò)誤 1 0.8%胖與瘦 圖形1大 片面 8 6.7%感覺、猜的 一樣大 錯(cuò)誤 21 17.5%感覺、猜的 圖形1大 正確 1 0.8%不知道 1 0.8%

測(cè)試題四：

給學(xué)生兩條一樣長(zhǎng)的繩子，讓學(xué)生分別圍成兩個(gè)不同的圖形，提問：圍成的那兩個(gè)圖形大小一樣嗎？

圍成的形狀 比較結(jié)論 人數(shù) 百分比不規(guī)則圖形（13人）、愛心（10人）、圓（93人）、橢圓（23人）、半圓（3人）、三角形（37人）、長(zhǎng)方形（16人）、正方形（45人）一樣大 44 36.7%不一樣大 76 63.3%

測(cè)試題五：

聽說過面積這個(gè)詞嗎？用自己的話說一說什么是面積？

百分比不知道 無 22 18.3%知道，不能說是否知道面積對(duì)面積的描述 人數(shù)無48 40.0%說知道，其實(shí)不知道就是長(zhǎng)度、物品的大小、整體有多大、一個(gè)東西有多大8 6.7%知道，能說（1）表示圖形有多大；（2）表示圖形、物體的大??；（3）平面圖形的大??；（4）指大??；（5）多少平方；（6）一個(gè)地方的大??；（7）面積代表你有多大；（8）桌子面的大??；（9）一個(gè)物體的面的大小；（10）表面誰大；（11）表面的大??；（12）國(guó)旗有大有小42 35.0%

（二）測(cè)試結(jié)果分析

第一，桌面與球面的區(qū)別，有85%的學(xué)生是從面的外形作區(qū)分的。在描述桌面時(shí)，學(xué)生用到了“平的”“平面的”“長(zhǎng)方形”“方的”等詞匯，對(duì)于長(zhǎng)方形“形”的特征有了基本的感知。描述球面時(shí)，用到了“圓”，對(duì)于圓和球的區(qū)別還是模糊不清的。

第二，在線段與長(zhǎng)方形的辨析中，學(xué)生對(duì)于一維和二維的認(rèn)知度還是比較低的，能區(qū)分線和平面屬性的學(xué)生只占到被測(cè)學(xué)生總數(shù)的24.2%。學(xué)生在描述線段時(shí)用到了“細(xì)、窄、薄、扁”等詞匯，描述長(zhǎng)方形時(shí)用到了“粗、寬、厚、高”等詞匯，占被測(cè)學(xué)生總數(shù)的59.2%，學(xué)生不知道線是沒有寬度的。

第三，在測(cè)試兩個(gè)長(zhǎng)方形的大小比較時(shí)，有44.2%的學(xué)生想到了用數(shù)格子的方法進(jìn)行比較，比較正確的占被測(cè)學(xué)生總數(shù)的38.3%，這些學(xué)生對(duì)于長(zhǎng)方形的面積會(huì)從整體去思考，并借助方格完成比較；有29.2%的學(xué)生只比較了長(zhǎng)或?qū)?，這些學(xué)生已經(jīng)意識(shí)到長(zhǎng)方形的大小與長(zhǎng)和寬有關(guān)，雖片面，仍具有合理性。我們關(guān)注到有25%的學(xué)生沒有從長(zhǎng)和寬考慮，依靠直覺判斷，兩個(gè)圖形的面積分別是35和32，回答一樣大的占17.5%，雖然錯(cuò)誤，直覺還是比較準(zhǔn)的。

第四，在繩子圍成圖形比較大小的測(cè)試中，測(cè)試結(jié)果出乎我們的預(yù)料。只有36.7%的學(xué)生認(rèn)為兩個(gè)圖形是一樣大的，理由也幾乎相同，即因?yàn)槔K子一樣長(zhǎng)，這些學(xué)生是從周長(zhǎng)的角度去思考圖形的大小，他們認(rèn)為周長(zhǎng)相等即大小相等，而跟圖形的形狀無關(guān)，雖片面，仍具有一定的合理性；此外，圍成圓（橢圓）的學(xué)生特別多，原因是圓比較容易圍，在圍成圓后，第二個(gè)圖形有長(zhǎng)方形、正方形、三角形等，他們往往認(rèn)為圓比較大（占此類比較的66.4%），學(xué)生對(duì)于大小的直覺還是比較準(zhǔn)確的。

第五，在對(duì)于“面積”這個(gè)詞的知曉度上，有81.7%的學(xué)生從不同場(chǎng)合聽說過，這也符合測(cè)試前我們的預(yù)測(cè)。我們還驚奇地發(fā)現(xiàn)，有35%的學(xué)生能從“物體表面”“平面圖形”“圖形的大小”“平方”等詞匯描述面積的概念，這已經(jīng)非常接近教材對(duì)面積的描述。

第六，城區(qū)學(xué)校和鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校學(xué)生之間沒有明顯的差異；男生和女生的差異比較明顯，最典型的例子是對(duì)于面積這個(gè)概念能合理描述的42人中，男生有31人，占73.8%，男生在空間圖形領(lǐng)域的認(rèn)知度發(fā)展高于女生。

（三）教學(xué)建議

根據(jù)前測(cè)數(shù)據(jù)分析，我們對(duì)面積一課的教學(xué)提出如下幾條建議：

1.充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。

學(xué)生的空間知識(shí)來自豐富的現(xiàn)實(shí)原型，與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)系非常緊密，這是他們理解和發(fā)展空間觀念的寶貴資源。讓學(xué)生在“教室里”“校園內(nèi)”“家中”等熟悉的情境中學(xué)習(xí)有關(guān)“面積”的內(nèi)容，不僅可以激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，而且有利于更好地認(rèn)識(shí)空間，發(fā)展空間觀念。

2.加強(qiáng)動(dòng)手操作活動(dòng)，豐富學(xué)生對(duì)面積的表象。

教材對(duì)面積的描述為“課桌表面的大小，就是課桌面的面積”等借助實(shí)物表面描述的方式。這里其實(shí)提到兩個(gè)事情，一是哪里有面積，二是面積是有大小的。教學(xué)中可以讓學(xué)生找物體的表面，并摸一摸表面，感受表面的大??；用小面積度量大面積的方法（如用書本測(cè)量桌面）積累測(cè)量面積的經(jīng)驗(yàn)，并能用語言描述測(cè)量的結(jié)果（如桌面的大小大約是4本數(shù)學(xué)書封面的大小）。加強(qiáng)動(dòng)手操作活動(dòng)的目的是讓學(xué)生通過手、口、眼、耳多種感官的協(xié)同活動(dòng)，特別是通過動(dòng)手操作，在做中學(xué)，有利于豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，有效地提高知識(shí)攝取的效果。

3.加強(qiáng)直觀教學(xué)，豐富學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)。

從比較書的封面的大小和比較平面封閉圖形的大小入手，由直接比較到間接比較，這里的“比較”一是觀察比較，二是重疊比較。一般來說，當(dāng)物體表面或平面圖形大小差異明顯時(shí)，可以采用觀察比較；當(dāng)大小相差不大難以觀察得出結(jié)論，而物體又便于疊合時(shí)，則可以采用重疊的方法比較大小。此外，還有間接比較的方法，即用某種統(tǒng)一的圖形作為標(biāo)準(zhǔn)，在被比較的平面部分內(nèi)進(jìn)行拼擺，數(shù)一數(shù)，各有幾個(gè)這樣的圖形。學(xué)生通過多種比較活動(dòng)，在獲得多種感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，抽象出面積的概念。在引入面積概念的描述后，讓學(xué)生用“面積”說一說上面的比較結(jié)果。在空間與圖形的教學(xué)中，提供直觀往往是認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)，學(xué)習(xí)的開端。用好直觀手段，加強(qiáng)直觀教學(xué)，對(duì)于掌握空間與圖形的知識(shí)具有重要意義。

4.辨析一維長(zhǎng)度與二維面積，區(qū)分面積與周長(zhǎng)。

周長(zhǎng)和面積兩個(gè)測(cè)量的量中，周長(zhǎng)是學(xué)生最難感知的，也是學(xué)生最難理解的。因?yàn)橹荛L(zhǎng)和面積同處于一個(gè)平面內(nèi)，平時(shí)我們?cè)谟^察圖形時(shí)首先關(guān)注的一定是面積，所以學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的感知會(huì)差一些，在解決周長(zhǎng)和面積的問題時(shí)也易發(fā)生混淆。

教學(xué)時(shí)，可以在方格紙中設(shè)計(jì)周長(zhǎng)相等面積不等的圖形及周長(zhǎng)不等面積相等的圖形讓學(xué)生辨析。

（浙江省湖州市湖師附小教育集團(tuán) 313000）

浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)課題：小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)前概念診斷與教學(xué)干預(yù)研究（13NDJC007Z）