劉亞麗

（南京理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京 210000）

測(cè)地流上的封閉周期軌道的漸近擴(kuò)張

劉亞麗

（南京理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京 210000）

黎曼流形上的雙曲流或Anosov流的閉軌道是一些常見的動(dòng)力系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)的像。例如測(cè)地流就是一種特殊的雙曲流，而閉測(cè)地線可以看作是測(cè)地流的閉軌道。得到了負(fù)曲率流形上的閉測(cè)地線的漸近形式．對(duì)于一對(duì)閉測(cè)地線，若它們的軌道長(zhǎng)度之差位于一個(gè)已知的區(qū)間內(nèi)，且它們的字長(zhǎng)都等于一個(gè)定值，而對(duì)于滿足這些條件的閉測(cè)地線的漸近問(wèn)題，是文章的主要研究?jī)?nèi)容。

測(cè)地線；傅里葉變換；測(cè)地流；符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)

0 引言

黎曼流形上的雙曲流或Anosov流的閉軌道是一些常見的動(dòng)力系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)的像．例如測(cè)地流就是一種特殊的雙曲流，而閉測(cè)地線可以看作是測(cè)地流的閉軌道．通過(guò)對(duì)封閉軌道及其分布的研究不僅可以更好地認(rèn)識(shí)流形的結(jié)構(gòu)，對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的便利性質(zhì)、漸近行為以及運(yùn)行狀況的了解更具有決定性的意義．研究雙曲黎曼面上的閉測(cè)地線的漸近問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題．1956年，Selberg發(fā)表了關(guān)于跡追蹤公式，之后，Huber論證了一個(gè)漸近公式，也即是素測(cè)地線定理．π（T）：＝＃｛γ ：l （γ）≤T｝～．1986年，Parry和Pollicott［6］討論了Anosov流的周期軌道在同調(diào)類中的分布．Sharp［5］得到了對(duì)于πβ2（T）：＝＃均可以轉(zhuǎn)化為～πα（T）＝～π（T，α＋［φ0T］來(lái)求解，即πβ2（T）

然而，很少有關(guān)于兩條測(cè)地線的長(zhǎng)度之差等于一個(gè)定值的漸近問(wèn)題的討論．通過(guò)理論研究，我們對(duì)于測(cè)地流上的周期軌道的結(jié)構(gòu)有了更進(jìn)一步的了解，對(duì)之后連通圖上周期軌道的研究有很大的幫助．符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)是動(dòng)力系統(tǒng)理論的一個(gè)重要分支，有關(guān)它的研究仍在繼續(xù)．我們已經(jīng)了解了它的眾多性質(zhì)，但它本身仍有很多特性有待揭示．本文就主要通過(guò)建立符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)，在測(cè)地流上周期軌道與有限型移位空間的周期點(diǎn)之間建立了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系．

1 問(wèn)題的提出

設(shè)V是一個(gè)截面曲率為負(fù)數(shù)的緊致光滑流形，且它有一個(gè)光滑黎曼度量。記P為流形V上的所有素閉測(cè)地線的集合．定義1 設(shè)函數(shù)n：p→Z，若存在常數(shù)0＜c1＜c2，對(duì)任意的γ∈P，有c1l（γ）≤n（γ）≤c2l（γ），則稱函數(shù)υ是l－可比較函數(shù)。若υ是l－可比較的，且存在ξ∈R，使得對(duì)任意的ε＞0，當(dāng)時(shí)N→∞，＃以指數(shù)形式趨近于零，那么就稱函數(shù)υ是強(qiáng)l－可比較的。那么對(duì)于任意一條閉測(cè)地線γ，n（γ）即為它的字長(zhǎng)．

記πn

定理1 設(shè)V是一個(gè)緊致光滑流形，它的截面曲率K∈［－h(huán)，h］，其中h＞0。那么存在一個(gè)強(qiáng)l－可比較函數(shù)υ∶P→Z，使得對(duì)任意的a＜b，有πn（［a，b］）～．其中λ＞1，

2 測(cè)地流和周期軌道

設(shè)M＝SV是流形V的單位切叢，即M＝｛（x，υ）∈TV∶‖υ‖x＝1｝，其中‖·‖x是TxV上的范數(shù)。對(duì)于任意的（x，υ）∈M，都存在唯一的測(cè)地線γ∶R→V，使得γ（0）＝x，˙γ（0）＝υ．那么就定義測(cè)地流φt∶M→M，φt（x，υ）＝（γ（t），˙γ（t））．

易知測(cè)地流φt上的周期軌道和V上的閉測(cè)地線有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，且流上的最小周期長(zhǎng)度與閉測(cè)地線的長(zhǎng)度相等．那么在這里對(duì)這兩者不作區(qū)分．

3 Markov截面和擴(kuò)張映射

為了對(duì)測(cè)地流進(jìn)行詳細(xì)的分析，定義局部強(qiáng)穩(wěn)定流形Wssε（x）和局部強(qiáng)不穩(wěn)定流形Wsuε（x）．即對(duì)任意的x∈M和ε＞0，

選擇任意小的局部截面Г＝｛T1，…，Tk｝，橫向截?cái)郙上的測(cè)地流，使得每條軌道都與Цki＝1Ti有無(wú)限次相交．而且Г中的元素在Poincare映射∶（Markov性質(zhì)）的作用下具有很好的性質(zhì)．即

定義一個(gè)C1函數(shù)r∶Цik＝1Ti→R＋，它表示每條軌道與兩個(gè)截面相交的次數(shù)，

對(duì)每個(gè)Ti，令Si（x）＝W（x）∩Ti，那么這樣的Si是葉狀的，并且包含一個(gè)局部不穩(wěn)定流形Ui．沿著穩(wěn)定流形折疊，映射誘導(dǎo)了一個(gè)Markov映射τ∶。而且黎曼度量上的－收縮條件使得Si（x）僅僅依賴于x，所以映射τ是C1的．在這里，為了避免記號(hào)的濫用，定義r∶

下面定義一個(gè)有限型移位空間．

首先定義一個(gè)只有0和1的k×k矩陣A，

其中0＜θ0＜1，0＜θ1＜1．

根據(jù)上面的討論容易知道φt∶M→M上的每一條周期軌道γ都與τ∶上的周期軌道對(duì)應(yīng)（可能不唯一）．這里的不唯一是由于軌道通過(guò)截面的邊界引起的．如果與γ對(duì)應(yīng)的｝是唯一的，記n（γ）＝n，也就是x的周期．如果不唯一，那么就記n（γ）等于所有這些與γ的軌道的最小周期．而且還有l(wèi)（γ）＝rn（x）∶＝r（x）＋r（τx）＋…＋r（τn－1x），其中是與γ對(duì)應(yīng)的任意一條τ－軌道．

引理1 存在0＜θ2＜1，使得

引理2 函數(shù)n∶P→Z是強(qiáng)l－可比較的．

證明：顯然函數(shù)r是有界的，那么n的l－可比較性是明顯的。特別地，當(dāng)n（γ）＝n，l（γ）＝rn（x）時(shí)，我

定義轉(zhuǎn)移算子，有L－sr∶

引理3［1］存在0＜θ3＜1，使得對(duì)任意的x0有∈＝1Ui，有

“當(dāng)務(wù)之急是加強(qiáng)規(guī)章制度建設(shè)，使‘糧食銀行’在統(tǒng)一制度和規(guī)則下運(yùn)行?！弊＼S華認(rèn)為，應(yīng)從國(guó)家層面總結(jié)各地經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)“糧食銀行”存在的風(fēng)險(xiǎn)漏洞，建立健全規(guī)章制度，使其有章可循、規(guī)范運(yùn)作、健康發(fā)展。多位受訪者認(rèn)為，“糧食銀行”經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)涉及千家萬(wàn)戶，遭遇糧食市場(chǎng)低迷行情，運(yùn)行暴露出的多重風(fēng)險(xiǎn)值得關(guān)注，亟待出臺(tái)政策引導(dǎo)和規(guī)范。

引理4［3］給定一個(gè)ε＞0，存在C＞0，0＜θ4＜1，使得對(duì)任意的（其中p≥1），

4 定理1的證明

為了問(wèn)題的研究，這里需要介紹一個(gè)直積動(dòng)力系統(tǒng)．

引理5［4］記ρ（s）＝P（sR），則有

引理6［4］存在ε＞0，使得

（ii）對(duì)t∈（－ε，ε），存在一個(gè)光滑的坐標(biāo)變換υ＝υ（t），使得ep（it）＝λ2（1－υ2）．記

引理7 存在0＜θ5＜1，使得對(duì)任意的t ＜ε，有

引理8 存在0＜θ＜1，α≥1，使得對(duì)任意的t＜ε，有

證明：由引理2和引理3，

令

根據(jù)傅里葉反變公式，引理5，引理6，引理7，可得

證明：根據(jù)伽馬函數(shù)的性質(zhì)，

令χ＝χ［a，b］，即用［a，b］上的指示函數(shù)χ［a，b］來(lái)替代χ．則對(duì)任意的ε＞0，選擇緊支撐函數(shù)χ－≤χ［a，b］≤χ＋，使得

綜上，πn

4 結(jié)束語(yǔ)

遍歷論和動(dòng)力系統(tǒng)是20世紀(jì)以來(lái)最富有成就數(shù)學(xué)分支之一，其中一個(gè)主要的研究方向就是討論流形上雙曲流或測(cè)地流的周期軌道分布以及各種軌道平均的漸近行為，測(cè)地流是一種特殊的雙曲流．本文主要討論的是測(cè)地流上周期軌道的漸近問(wèn)題．

本文只對(duì)測(cè)地流上周期軌道的漸進(jìn)問(wèn)題進(jìn)行了理論研究，而對(duì)于該問(wèn)題在其他方面的應(yīng)用還沒完全解決，如：設(shè)G是一個(gè)各個(gè)結(jié)點(diǎn)度數(shù)都不小于3的連通圖，Sharp［1］已經(jīng)得到N（T）＝，而本文得出的結(jié)論，對(duì)于G這樣的連通圖是否成立，以及如果不成立，還需要哪些條件等有關(guān)問(wèn)題都還有待后續(xù)討論．

［1］Sharp R．Comparing length functions on free groups，in“Spectrum and Dynamics”［J］，CRM Conference Proceedings ＆Lecture Notes，2010，52：185～207．

［2］Morten S，Risager，Richard Sharp．Pairs of periodic orbits with fixed homology difference［J］，Dynamical Systems，2008，30：15～17．

［3］Bowen R．Symbolic dynamics for hyperbolic flows［J］．Amer J Math，1973，95：429～600．

［4］Pollicott M，Sharp R．Correlations of length spectra for negatively curved manifolds［J］．Invent math，2013，319：1 ～16．

［5］Pollicott M，Sharp R．Correlations for pairs of closed geodesics［J］．Invent math，2006，163：1～24．

［6］Ruelle D．An extension of the theory of Fredholm determinants［J］．Publ Math（IHES），1990，72：175～193．

［7］Dolgopyat D．On decay of correlations in Anosov flows［J］．Ann of Math，1998，147：357～390．

Asymptotic expansion for closed orbits of geodesic flows

LIU Ya－li

（Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 21000，China）

The closed orbits of hyperbolic or Anosov flows on Riemann manifolds are the images of the periodic motion of some common dynamical systems．For example，the geodesic flow is a special double flow，and closed geodesics can be regarded as a closed orbit of the geodesic flows．In this paper we obtain asymptotic estimates for pairs of closed geodesics on negatively curved manifolds．For a pair of closed geodesics，the differences of whose lengths lie in a prescribed shrinking intervals and their length are equal to a constant value．And researching the asymptotic question for which pairs of geodesics meeting these aboving conditions is the main content of this article．

geodesics；Fourier transform；geodesic flows；symbolic dynamical systems

O19

：A

：1009－2714（2016）04－0022－06

10．3969／j．issn．1009－2714．2016．04．006

2016—05—08

劉亞麗（1992— ），女，河南泌陽(yáng)人，碩士生．