□吳建芳

逐步遞進(jìn) 積累經(jīng)驗(yàn)
——以“乘法的意義”相關(guān)教學(xué)為例

□吳建芳

乘法是求若干個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算。乘法的意義是乘法知識(shí)結(jié)構(gòu)中最基本的概念，其知識(shí)的生長點(diǎn)是幾個(gè)相同加數(shù)的和。在解決“1+2+3+4+……+100”“89+90+91+88+92+99+81”類似加法問題中，是可以利用“乘法”來解決的?；诖?，教師就可以從“乘法的初步認(rèn)識(shí)”“乘法的意義練習(xí)”“等差數(shù)列求和”三個(gè)不同階段逐步遞進(jìn)，從而促進(jìn)學(xué)生思維經(jīng)驗(yàn)的積累。

乘法的意義 思維經(jīng)驗(yàn)

乘法的意義是乘法知識(shí)結(jié)構(gòu)中最基本的概念，其知識(shí)的生長點(diǎn)是幾個(gè)相同加數(shù)的和。學(xué)生要解決“1+2+3+4+……+100”“89+90+91+88+92+99+ 81”類似加法問題的時(shí)候，如果積累了足夠多的乘法思維經(jīng)驗(yàn)，解決問題就水到渠成了。因此，在有關(guān)“乘法的意義”的相關(guān)教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷乘法的形成過程，體會(huì)乘法與加法之間的相互轉(zhuǎn)化，積累相關(guān)的思維經(jīng)驗(yàn)是非常有價(jià)值的。

一、在豐富的數(shù)學(xué)背景中建立模型

【片段1】乘法的初步認(rèn)識(shí)

張奠宙教授認(rèn)為：“廣義地講，數(shù)學(xué)中的各種基本概念和基本算法，都可以叫作數(shù)學(xué)模型?！边@就是說，乘法也是一種模型，等量組的聚焦模型（幾個(gè)相同加數(shù)的和）是學(xué)生首次接觸乘法概念時(shí)所形成的關(guān)于乘法模型的基本認(rèn)識(shí)，這就需要激發(fā)學(xué)生對(duì)乘法模型的內(nèi)在認(rèn)知需求，親身經(jīng)歷將思維材料抽象成乘法模型的創(chuàng)造過程。

人教版二上教材呈現(xiàn)了“游樂園”的主題背景，由三則同質(zhì)材料引出了若干個(gè)相同加數(shù)相加的加法模型，進(jìn)而將加法模型轉(zhuǎn)化成乘法模型。素材是靜態(tài)的，結(jié)論是知之的，缺少了思維的辨析體驗(yàn)，這就需要教師改變材料的呈現(xiàn)方式，使學(xué)生經(jīng)歷乘法認(rèn)識(shí)“符號(hào)化”的過程，引導(dǎo)學(xué)生在不斷反思中逐漸提升對(duì)意義的感悟?qū)哟?，進(jìn)而積累思維經(jīng)驗(yàn)。

1.情境：游樂園小火車（1節(jié)），數(shù)一數(shù)1節(jié)小火車上坐了多少個(gè)小朋友。

2.提問：3節(jié)這樣的小火車上能坐多少個(gè)小朋友？得出加法算式，明確表示“3個(gè)6”。

3.拓展：20節(jié)這樣的小火車能坐多少個(gè)小朋友？怎樣列式？當(dāng)學(xué)生看到長長的算式時(shí)，自發(fā)提出“有沒有更簡便的寫法”，教師要求他們用自己的方法表示出“20個(gè)6”。

4.建模：

（1）呈現(xiàn)學(xué)生創(chuàng)造的不規(guī)范模型：6+6+6+……；6+6+……+6+6等。辨析，提出修改建議。

（3）呈現(xiàn)學(xué)生創(chuàng)造的簡潔模型：6☆20；……；6×20。由提出“6×20”的學(xué)生介紹乘號(hào)、乘法。

5.比較：

（1）根據(jù)游樂園的三幅主題圖分別列出加法算式與乘法算式。

（2）比較兩種算式，有什么相同的地方？有什么不同的地方？

從上述的教學(xué)過程可以看到，學(xué)生具有“化繁為簡”的思維愿景，當(dāng)他們面對(duì)相同加數(shù)個(gè)數(shù)較多的加法模型時(shí)，尋找一種簡潔的方式加以替代便成了驅(qū)動(dòng)思維的任務(wù)，從不規(guī)范到規(guī)范，從煩瑣到簡潔，思維價(jià)值的逐漸提升伴隨了乘法模型的逐漸完善?！靶』疖嚒钡乃季S材料讓學(xué)生首次感知了乘法的簡潔性，后續(xù)三則思維材料的比較，為學(xué)生揭示了加法、乘法兩種模型之間的關(guān)聯(lián)，即若干個(gè)相同加數(shù)相加，可以用相同的加數(shù)去乘個(gè)數(shù)，這就是等量組聚焦模型的本質(zhì)。學(xué)生在經(jīng)歷了上述“感知—完善—比較—抽象”的過程中，不僅初步感知了乘法的意義，而且在經(jīng)歷抽象歸納的活動(dòng)過程中積累了思維經(jīng)驗(yàn)。

二、在乘加的相互轉(zhuǎn)化中學(xué)會(huì)互譯

【片段2】乘法的意義練習(xí)

類似于“a+a+a+a=a×4”的形式，只是等量組聚焦模型中的基本類型，但是對(duì)于很多拓展類型進(jìn)行感知，既能深化對(duì)原有加法模型的理解，學(xué)會(huì)乘法加法的互譯，積累相關(guān)的思維經(jīng)驗(yàn)。所以有必要在后續(xù)的練習(xí)中安排拓展類型的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的思維經(jīng)歷由一般到特殊的過程，初步積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)。

1.算式“5+5+5+5”還可以改寫成怎樣的形式？

2.在算式后面添加上1個(gè)10，即“5+5+5+5+ 10”。

（1）用其他的方法把這道算式記錄下來。

（2）呈現(xiàn)學(xué)生的記錄形式：5×6，10×3，交流意義。

3.3+3+3+3+5能直接改成一道乘法算式嗎？為什么不行？

反饋：3×5+2或3×6-1用畫圖表示你的想法。

4.下面的算式中，有哪些算式能改寫成一道乘法算式？具體怎樣改？

3×2+3+3+3 3+4+5+6+7

上面的過程沒有依附于具體情境，通過思維材料中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、呈現(xiàn)方式的更改，讓學(xué)生在頭腦中進(jìn)行判斷與推理，進(jìn)而引導(dǎo)思維逐漸趨于理性。前面三則材料的呈現(xiàn)，使學(xué)生首次感知了“乘加”形式，完善了運(yùn)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)，也使他們經(jīng)歷了一次合情推理，即乘加算式是不能改寫成一步計(jì)算的乘法算式，這是一種合情的猜想，材料4承載著驗(yàn)證與質(zhì)疑的功效，幫助學(xué)生積累了更多的感性材料，不僅有利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S活動(dòng)習(xí)慣，更在探究過程中留下了理性思維的痕跡，積累了理性思維的經(jīng)驗(yàn)。

三、在數(shù)列的求和運(yùn)算中提升經(jīng)驗(yàn)

【片段3】等差數(shù)列求和片段

在加法模型中，有一類特殊的等差數(shù)列求和的模型，如1+2+3+……+n，這是小學(xué)階段較為常見的求和模式，該加法模型可以通過兩兩配對(duì)、移多補(bǔ)少的形式轉(zhuǎn)化成乘法的等量組聚焦模型。教材中并沒有專門編排此類模型的教學(xué)，但常以拓展練習(xí)的形式出現(xiàn)在作業(yè)中，可見其思維訓(xùn)練的價(jià)值所在。筆者以為，可以借助數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學(xué)生順利地實(shí)現(xiàn)此種加法模型與乘法模型的轉(zhuǎn)換，以進(jìn)一步完善加法、乘法的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，獲得新的思維體驗(yàn)。

1.研究：一共用了多少個(gè)這樣的小正方形？

（1）結(jié)合圖形計(jì)算：1+2+3+ 4+5+6。

（2）反饋方法：

①首尾配對(duì)

②顛倒配對(duì)

（3）梳理對(duì)比：你喜歡哪種方法？為什么？

歸納相同點(diǎn)：實(shí)質(zhì)上是把求一串有規(guī)律的數(shù)的和的連加問題變?yōu)槌朔ā?/p>

2.練習(xí)：計(jì)算1+2+3+4+5+6+7（在前兩種方法的基礎(chǔ)上重點(diǎn)研究“移多補(bǔ)少”的方法）。

3.應(yīng)用：

（1）下面三道計(jì)算題是不是也像剛才兩題那樣有規(guī)律？運(yùn)用規(guī)律計(jì)算下面各題。

①4+5+6+7+8+9+10+11

②3+6+9+12+15+18+21+24+27

③1+2+3+……+17+18+19

小結(jié)：具體用的方法需要根據(jù)不同的題目特點(diǎn)靈活選擇運(yùn)用。

（2）有一堆圓木，擺成下圖形狀，該怎樣計(jì)算圓木的根數(shù)？

要求這堆圓木一共多少根，就是求3+4+5+6+…+11+12是多少。

3+4+5+6+…+11+12=（3+12）×10÷2=15×5=75（根）

在上述教學(xué)中，注重了思維過程的展開。首先通過觀察、比較，學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)了算式中數(shù)據(jù)的排列規(guī)律，結(jié)合圖形掌握了處理數(shù)據(jù)的方法，積累了觀察活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)；然后通過增加數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的方式，認(rèn)識(shí)了“移多補(bǔ)少”這樣的更為一般化的處理方法；接著通過一系列相同規(guī)律算式的運(yùn)用，順利地完成了兩種模型的對(duì)接?？梢钥闯觯瑢W(xué)生的思維活動(dòng)由“點(diǎn)”到“面”，通過對(duì)兩道算式運(yùn)算規(guī)律的不完全歸納，進(jìn)而推廣到對(duì)一類算式運(yùn)算規(guī)律的概括歸納，學(xué)生經(jīng)歷了完整的“演繹—?dú)w納”的推理過程，這種思維層面經(jīng)驗(yàn)的積淀，將為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中研究有關(guān)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律打下良好的基礎(chǔ)。

綜上，數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)的生長，需要教師設(shè)計(jì)豐富的思維心智操作活動(dòng)，把活動(dòng)的思維起點(diǎn)定位在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生在經(jīng)歷心智操作提升經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，讓思維經(jīng)驗(yàn)保留在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；鑒于思維經(jīng)驗(yàn)內(nèi)隱的特點(diǎn)，可以將外顯的生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生經(jīng)歷將生活原型抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行推廣應(yīng)用的全過程；要重視學(xué)生反思意識(shí)的培養(yǎng)，學(xué)生在思辨中進(jìn)一步提升問題意識(shí)與探究意識(shí)，以促進(jìn)思維經(jīng)驗(yàn)的有效積累。

（浙江省湖州市湖師附小教育集團(tuán) 313000）