王江榮，袁維紅，趙 睿，任泰明

(蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅蘭州730060)

B樣條函數(shù)在大壩變形數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用

王江榮，袁維紅，趙 睿，任泰明

(蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅蘭州730060)

用參數(shù)回歸模型分析處理大壩變形數(shù)據(jù)時(shí)存在著變量之間的函數(shù)關(guān)系需要預(yù)先設(shè)定的問題，而對于一些波動(dòng)性大、規(guī)律性和整體性較差的大壩變形數(shù)據(jù)，預(yù)選設(shè)定函數(shù)關(guān)系是困難的。為能較好地解決這類問題，建立了一種基于三次B樣條函數(shù)的非參數(shù)回歸模型。該模型是一種完全受觀測數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，具有建模簡單、適用強(qiáng)、精確度高和易于程序?qū)崿F(xiàn)的特點(diǎn)。對出現(xiàn)的模型的系數(shù)采用遺傳算法求解。實(shí)例分析表明，基于三次B樣條函數(shù)的非參數(shù)模型具有較高的擬合預(yù)測精度，能夠較好地解決實(shí)際問題。

變形數(shù)據(jù)；非參數(shù)模型 ；B樣條函數(shù)；遺傳算法；插值預(yù)測

0 引 言

大壩變形數(shù)據(jù)處理模型大多采用了參數(shù)回歸模型[1-4]，這類回歸模型存在著變量之間(變形值—時(shí)間)的函數(shù)關(guān)系需要預(yù)先設(shè)定的問題，如果設(shè)定的函數(shù)關(guān)系與實(shí)際情況吻合，則統(tǒng)計(jì)推斷精度會(huì)比較高；反之，模型的統(tǒng)計(jì)推斷就會(huì)出現(xiàn)較大偏差，擬合預(yù)測效果會(huì)非常差，甚至沒有什么實(shí)際意義。但在實(shí)際問題中，變形實(shí)測數(shù)據(jù)之間的變量關(guān)系往往難以確定，因此利用參數(shù)回歸模型處理這類數(shù)據(jù)難以取得理想效果。而非參數(shù)回歸模型是一種不依賴于總體樣本分布，僅受數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)以及不受變量分布約束的模型，和參數(shù)模型相比，這類模型是更符合實(shí)際問題的一種回歸模型。選擇什么樣的非參數(shù)模型是解決問題的關(guān)鍵。樣條函數(shù)，尤其是三次B樣條函數(shù)是一種非參數(shù)模型，具有良好的分段光滑性和全局逼近能力[5]。因此，本研究擬采用三次B樣條函數(shù)擬合變形數(shù)據(jù)，并采用外插值延拓方法對建模以外的變形數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。由于三次B樣條函數(shù)擬合存在著矩陣求逆的問題，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)越多時(shí)，矩陣的階就越高，求逆就越繁瑣。為了解決這個(gè)問題，本文采用遺傳算法( Genetic algorithms，GA )求解三次B樣條函數(shù)的擬合系數(shù)。

1 基于三次B樣條函數(shù)的非參數(shù)回歸模型

基于B樣條函數(shù)的非參數(shù)回歸模型是由B樣條基函數(shù)[6]通過線性組合而構(gòu)成的，它可以任意逼近連續(xù)函數(shù)[7]。為便于研究，本文采用均勻(任意相鄰節(jié)點(diǎn)間距離相等)三次B樣條基函數(shù)構(gòu)建非參數(shù)回歸模型。

1.1 均勻三次B樣條基函數(shù)

均勻三次B樣條基函數(shù)參考文獻(xiàn)[8]。即

(1)

式中，ti(i=0,1,2,…,n-1)為節(jié)點(diǎn)(它是時(shí)間t所屬區(qū)間的n等分點(diǎn))，常量h=ti+1-ti(i=0,1,2,…,n-1)。

由式(1)可知，Bi,3(t)的形狀僅與ti及h的選擇有關(guān)(形狀由節(jié)點(diǎn)和步長唯一確定)，而其他的B樣條Bj,3(t)可由Bi,3(t)平移變換得到，即Bj,3(t)=Bi,3(t-(j-i)h)。

1.2 三次B樣條回歸模型

由式(1)可知，欲確定第i個(gè)三次(即4階)B樣條Bi,3(t)，需要用ti,ti+1,ti+2,ti+3,ti+4共5個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱區(qū)間[ti,ti+4]為Bi,3(t)的支撐區(qū)間。t0t1t2…tn+4為三次B樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)序列(即數(shù)據(jù)擬合中共需n+1個(gè)三次B樣條基函數(shù)Bi,3(t))。用三次B樣條函數(shù)可以將非參數(shù)模型m(t)(m(t)是未知回歸函數(shù))近似地表示為

(2)

式中，xi為觀測時(shí)間點(diǎn)；模型系數(shù)，Φ={θj|j=0,1,2,…,n}，采用遺傳算法求解。

2 工程實(shí)例

某大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)[9]見表1。在前32期數(shù)據(jù)中等間隔地取期數(shù)為3、7、11、15、19、23、27對應(yīng)的7個(gè)數(shù)據(jù)為測試數(shù)據(jù)，其余25個(gè)數(shù)據(jù)為建模數(shù)據(jù)，后4期即33、34、35、36對應(yīng)的數(shù)據(jù)用于外插預(yù)測檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。

前32期的觀測數(shù)據(jù)點(diǎn)如圖1所示。從圖1可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)波動(dòng)性較大，規(guī)律性和整體較差，故難以用參數(shù)模型(需事先選定)來擬合此類數(shù)據(jù)點(diǎn)，而選用基于B樣條函數(shù)的非參數(shù)模型能夠較好地解決此類問題。

表1 大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)

圖1 原始大壩切向位移監(jiān)測數(shù)據(jù)

3 三次B樣條擬合系數(shù)估算

按表1中1～32期觀測數(shù)據(jù)點(diǎn)設(shè)定均勻控制節(jié)點(diǎn)L=[0，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40]。按式(1)每5個(gè)節(jié)點(diǎn)確定一個(gè)三次B樣條基函數(shù)，共確定7個(gè)三次B樣條基函數(shù)，分別記作B0,3(t),B1,3(t)，…，B6,3(t)(具體表達(dá)式及圖形在此略去)，由此構(gòu)建的非參數(shù)回歸模型為

(3)

下面采用遺傳算法估算模型系數(shù)Φ=[m0,θ0,θ1,θ2,…,θ6]。定義目標(biāo)函數(shù)

(4)

在MATLAB工作窗口利用gatool命令打開遺傳算法的GUI，在Fitnessfunction窗口輸入@finess，在Numberofvariables窗口輸入待估參數(shù)個(gè)數(shù)8，在邊界約束Lower輸入-80*ones(1，8)，在Upper輸入 80*ones(1，8)，種群規(guī)模為50，迭代次設(shè)為1 000，其他參數(shù)選用缺省值，然后單擊Start按鈕執(zhí)行遺傳算法。迭代400次后輸出的最優(yōu)模型系數(shù)為：m0=51.387 9，θ0=-0.904 2，θ1=1.426 6，θ2=-0.145 9，θ3=-1.077 9，θ4=-1.698 4，θ5=-1.893 3，θ6=2.196 7。將這些估算值代入模型(3)，得

(5)

表2 模型預(yù)測值比較

表3 均勻三次B樣條函數(shù)外插預(yù)測值

圖2 均勻三次B樣條函數(shù)的擬合預(yù)測曲線

作為對比，采用傅里葉函數(shù)建模(參數(shù)模型)如下

y=51.93+1.18cos(0.133 5t)-1.21sin(0.133 5t)-
1.123cos(0.133 5t)-0.871 9sin(0.133 5t)

(6)

圖3 傅里葉函數(shù)擬合效果

從表2可以看出，基于三次B樣條的非參數(shù)模型具有較高的預(yù)測精度(最大絕對誤差不超過0.1849，相對誤差最大不超過0.33%)，預(yù)測效果好于Fourier函數(shù)模型，預(yù)測精度提高近一倍，預(yù)測結(jié)果值得信賴。由于三次B樣條曲線是連續(xù)變化的，所以可通過該模型得到觀測時(shí)間段內(nèi)任意時(shí)間點(diǎn)的大壩變形值，這對研究大壩變形規(guī)律是非常有益的。利用前32期的擬合預(yù)測值對表1中后4期的變形值進(jìn)行預(yù)測，計(jì)算過程采用MATLAB一維外插運(yùn)算函數(shù)[10]，即Y=interp1()，預(yù)測結(jié)果見表3。

從表3可看出，三次B樣條函數(shù)模型的預(yù)測精度高于傅里葉函數(shù)模型，最大絕對誤差不超過0.379 2，相對誤差最大不超過0.43%，能夠滿足工程需要。但是，需要指出的是，不管用哪種插值方法，當(dāng)插值點(diǎn)位于已知數(shù)據(jù)集合外時(shí)，插值運(yùn)算對該處函數(shù)值的估計(jì)都很可能與實(shí)際函數(shù)值相比會(huì)有較大的偏差，從這點(diǎn)上講，本文得出的預(yù)測結(jié)果是令人滿意的。

4 結(jié) 論

(1)當(dāng)變形數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出波動(dòng)性大、整體性差且無規(guī)律狀態(tài)時(shí)，就難以選擇合適的參數(shù)模型作數(shù)據(jù)擬合預(yù)測，選擇不當(dāng)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)較大誤差。而非參數(shù)模型是一種僅受數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的模型，更適合實(shí)際問題的解決。B樣條函數(shù)能夠任意逼近連續(xù)函數(shù)(大壩變形是連續(xù)變化的)，利用B樣條函數(shù)構(gòu)建的非參數(shù)模型具有較高的精確度，適合波動(dòng)大、無規(guī)律數(shù)據(jù)建模。

(2)基于B樣條函數(shù)的非參數(shù)模型非常適合內(nèi)插值預(yù)測，這對研究時(shí)間區(qū)間內(nèi)的大壩變形規(guī)律具有重要的意義。其缺點(diǎn)是其外插預(yù)測能力較差，這是今后需要改進(jìn)的地方。另外，B樣條函數(shù)擬合存在著矩陣求逆的問題，觀測數(shù)據(jù)越多，矩陣的階就越高，求逆就越繁瑣。為了解決這個(gè)問題，可采用遺傳算法求解B樣條擬合系數(shù)。

(3) B樣條基函數(shù)形狀僅與討論域(區(qū)間)上的節(jié)點(diǎn)(控制節(jié)點(diǎn))有關(guān)，這些基函數(shù)的線性組合構(gòu)成了的非參數(shù)回歸模型，該模型具有良好性的適用性、通用性，且容易通過程序?qū)崿F(xiàn)，為解決大壩變形問題提供了一種新思路、新方法。

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(責(zé)任編輯 焦雪梅)

Application of B-Spline Function in Dam Deformation Data Analysis

WANG Jiangrong, YUAN Weihong, ZHAO Rui, REN Taiming

(Lanzhou Petrochemical College of Vocational Technology, Lanzhou 730060, Gansu, China)

There is a problem that the functional relationship between variables is necessary to be pre-set when processing dam deformation data by using parameter regression analysis. For the dam deformation data with large fluctuation, poor regularity and poor integrity, the pre-set of function relationship is difficult. In order to better solve this kind of problem, a nonparametric regression model based on Cubic B-spline function is established. The model is a mathematical model of complete observation data driven with the features of simple modeling, strong application, high accuracy and easy programming. The coefficient of model is solved by genetic algorithm. The empirical analysis shows that the new model has high prediction accuracy and can better solve practical problem.

deformation data; nonparametric model; B-Spline function; genetic algorithm; interpolation prediction

2016-03-17

蘭州市科學(xué)技術(shù)局計(jì)劃項(xiàng)目(蘭財(cái)建發(fā)[2015]85號)；蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院科技資助項(xiàng)目(院發(fā)〔2015〕69號)；甘肅省科技廳計(jì)劃項(xiàng)目(1204GKCA004)；甘肅省財(cái)政廳專項(xiàng)資金立項(xiàng)資助(甘財(cái)教[2013]116號)

王江榮(1966—)，男，甘肅靜寧人，教授，碩士，主要從事數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)值分析、控制理論與應(yīng)用方面的研究.

TV698.1

A

0559-9342(2016)12-0115-04