在江蘇新課標高考中，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用向量的坐標運算證明線線、線面、面面的平行與垂直，以及空間角（線線角、線面角、面面角）與距離的求解問題，歷來是附加題命題的熱點，難度中等.那么立體幾何中的空間向量法主要涉及哪些問題呢？

一、利用向量證明平行與垂直

例1如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，點M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角.

（1）求證：CM∥平面PAD;

（2）求證：平面PAB⊥平面PAD.

分析：（1）建立空間直角坐標系，證明向量CM與平面PAD的法向量垂直.（2）取AP的中點E，利用向量證明BE⊥平面PAD即可.

證明：以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，

∴∠PBC=30°.

∵PC=2，∴BC=23，PB=4.

∴D（0，1，0），B（23，0，0），A（23，4，0），P（0，0，2），M（32，0，32），

∴DP=（0，-1，2），DA=（23，3，0），CM=（32，0，32），

（1）令n=（x，y，z）為平面PAD的一個法向量，則DP·n=0，

DA·n=0，

即-y+2z=0，

23x+3y=0，∴z=12y，

x=-32y，

令y=2，得n=（-3，2，1）.

∵n·CM=-3×32+2×0+1×32=0，

∴n⊥CM，

又CM平面PAD，∴CM∥平面PAD.

（2）取AP的中點E，并連接BE，則E（3，2，1），BE=（-3，2，1），

∵PB=AB，∴BE⊥PA.

又BE·DA=（-3，2，1）·（23，3，0）=0，

∴BE⊥DA，則BE⊥DA.

∵PA∩DA=A.∴BE⊥平面PAD，

又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.

評注：（1）證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證明直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，然后說明直線在平面外即可.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明.

二、利用空間向量求線線角、線面角

例2如圖，已知點P在正方體ABCDA′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°.

（1）求DP與CC′所成角的大小;

（2）求DP與平面AA′D′D所成角的大小.

分析：由正方體的幾何特征，易于建立空間坐標系，關(guān)鍵在于求直線DP的一個方向向量，可延長DP交D′B′于點H，可轉(zhuǎn)化為向量DH的坐標.

解：如圖，以D為原點，DA所在直線為x軸，建立空間直角坐標系Dxyz，

設正方體棱長為1，則DA=（1，0，0），CC1=（0，0，1）.連接BD，B′D′，在平面BB′D′D中，延長DP交B′D′于H.

設DH=（m，m，1）（m>0），由已知〈DH，DA〉=60°，

由DA·DH=|DA||DH|cos〈DH，DA〉，可得2m=2m2+1.

解得m=22，所以DH=（22，22，1）.

（1）因為cos〈DH，CC′〉=22×0+22×0+1×11×2=22，

所以〈DH，CC′〉=45°.即DP與CC′所成的角為45°.

（2）平面AA′D′D的一個法向量是DC=（0，1，0）.

因為cos〈DH，DC〉=22×0+22×1+1×01×2=12，所以〈DH，DC〉=60°.

可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.

評注：1.用向量法求線線角，線面角的一般步驟為：①建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;②求出相關(guān)點坐標，寫出相關(guān)向量坐標;③結(jié)合公式進行計算.解本題的關(guān)鍵在于求向量DH的坐標，根據(jù)向量平行，求向量DH，簡化了解題過程.

2.（1）異面直線所成角θ（0°<θ≤90°），設a，b分別為異面直線a，b的方向向量，則cosθ=|cos〈a，b〉|=|a·b||a|·|b|.（2）線面角θ（0°≤θ≤90°）.設a是直線l的方向向量，n是平面的法向量，則sinθ=|cos〈a，n〉|=|a·n||a|·|n|.

三、利用向量求二面角

例3如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點.

（1）證明B1C1⊥CE;

（2）求二面角B1CEC1的正弦值;

（3）設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為26，求線段AM的長.

分析：由條件特征，易建立空間坐標系，方便運用向量求解.（1）利用向量證明B1C1·CE=0;（2）求平面B1CE與平面CEC1的法向量，進而求二面角的正弦值;（3）設出EM=λEC1，根據(jù)線面角求λ，進一步求出AM的長.

解：（1）證明：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）.

（1）易得B1C1=（1，0，-1），CE=（-1，1，-1），

于是B1C1·CE=0，所以B1C1⊥CE.

（2）B1C=（1，-2，-1）.設平面B1CE的法向量m=（x，y，z），

則m·B1C=0，

m·CE=0，即x-2y-z=0，

-x+y-z=0.消去x，得y+2z=0，

不妨令z=1，可得一個法向量為m=（-3，-2，1）.

由（1）知，B1C1⊥CE，

又CC1⊥B1C1，從而B1C1⊥平面CEC1.

故B1C1=（1，0，-1）為平面CEC1的一個法向量.

于是cos〈m，B1C1〉=m·B1C1|m|·|B1C1|=-414×2=-277，從而sin〈m，B1C1〉=217，

所以二面角B1CEC1的正弦值為217.

（3）AE=（0，1，0），EC1=（1，1，1），設EM=λEC1=（λ，λ，λ），0≤λ≤1，有AM=AE+EM=（λ，λ+1，λ）.可取AB=（0，0，2）為平面ADD1A1的一個法向量.

設θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，

則sinθ=|cos〈AM，AB〉|=|AM·AB||AM|·|AB|=2λλ2+（λ+1）2+λ2×2=λ3λ2+2λ+1，

于是λ3λ2+2λ+1=26，解得λ=13，

∴AM=（13，43，13），故AM=2.

評注：1.（1）求解本題要注意兩點：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②直線的方向向量與平面法向量夾角不是線面角.（2）利用方程思想進行向量運算時，要細心注意運算的準確性.2.求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.其計算公式為：設m，n分別為平面α，β的法向量，則θ與〈m，n〉互補或相等，|cosθ|=|cos〈m，n〉|=|m·n||m||n|.

四、利用空間向量求解開放性問題

例4如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2.

（1）求證：A1C⊥平面BCDE;

（2）若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小;

（3）線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由.

分析：（1）通過證明DE⊥平面A1CD來證明DE⊥A1C.（2）以點C為坐標原點建立空間直角坐標系，求平面A1BE的法向量，用向量法求解.（3）假設點P存在，設出其坐標，然后求出平面A1DP的法向量，利用兩個平面的法向量垂直求解.

解：（1）證明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC.

∴DE⊥A1D，DE⊥CD，

∴DE⊥平面A1DC，從而DE⊥A1C.

又∵A1C⊥CD，CD∩DE=D，

CD平面BCDE，DE平面BCDE，

∴A1C⊥平面BCDE.

（2）如圖所示，以C為坐標原點，建立空間直角坐標系Cxyz，則A1（0，0，23），D（0，2，0），M（0，1，3），B（3，0，0），E（2，2，0）.

設平面A1BE的法向量為n=（x，y，z），則n·A1B=0，n·BE=0.

又A1B=（3，0，-23），BE=（-1，2，0），

∴3x-23z=0，

-x+2y=0.

令y=1，則x=2，z=3.∴n=（2，1，3）.

設CM與平面A1BE所成的角為θ.

∵CM=（0，1，3），∴sinθ=|cos〈n，CM〉|=n·CM|n|·|CM|=48×4=22.

∴CM與平面A1BE所成角的大小為π4.

（3）線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直，理由如下：

假設這樣的點P存在，設其坐標為（p，0，0），其中p∈[0，3].

設平面A1DP的法向量為m=（x′，y′，z′），則m·A1D=0，m·DP=0.

又A1D=（0，2，-23），DP=（p，-2，0），

∴2y′-23z′=0，

px′-2y′=0.

令x′=2，則y′=p，z′=p3.∴m=（2，p，p3）.

平面A1DP⊥平面A1BE，當且僅當m·n=0，則4+p+p=0.解得p=-2，與p∈[0，3]矛盾.

∴線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直.

評注：立體幾何開放性問題求解，（1）根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論.（2）假設所求的點或線存在，設定參數(shù)表達已知條件，并把要成立的結(jié)論作為條件進行運算，求出參數(shù).

（作者：孫偉，江蘇省如皋中學）