在高考中，對二項(xiàng)式定理考查往往既著眼于小處，又注重二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.基于此復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理，我們必須抓住其基本題型，并領(lǐng)會(huì)解題過程中體現(xiàn)的思想方法.

一、基本題型

基本題型1求二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)

例1已知在（3x-123x）n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

（1）求n;

（2）求含x2的項(xiàng)的系數(shù);

（3）求展開式中所有的有理項(xiàng).

解析：（1）通項(xiàng)公式為

Tr+1=Crnxn-r3（-12）rx-r3

=Crn（-12）rxn-2r3，

因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r=5時(shí)，有n-2r3=0，即n=10.

（2）令n-2r3=2，得r=12（n-6）=12×（10-6）=2，∴所求的系數(shù)為C210（-12）2=454.

（3）根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得10-2r3∈Z，

0≤r≤10，

r∈Z.

令10-2r3=k（k∈Z），則10-2r=3k，即r=5-32k，

∵r∈Z，∴k應(yīng)為偶數(shù).∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8.

所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為C210（-12）2x2，C510（-12）5，C810（-12）8x-2.

點(diǎn)評：①解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r）;第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng);②求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)，一般是根據(jù)通項(xiàng)公式所得到的項(xiàng)，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這種類型的問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.若求二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，則其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)的方式一致.

基本題型2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

例2二項(xiàng)式（2x-3y）9展開式中，求

（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和;

（2）各項(xiàng)系數(shù)之和;

（3）所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和;

（4）系數(shù)絕對值的和.

解析：設(shè)（2x-3y）9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.

（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和為：C09+C19+C29+…+C99=29.

（2）各項(xiàng)系數(shù)之和為：a0+a1+a2+…+a9.

令x=1，y=1，得a0+a1+a2+…+a9=（2-3）9=-1.

（3）由（2）知a0+a1+a2+…+a9=-1.①

令x=1，y=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=（2+3）9=59.②

①+②得a0+a2+a4+a6+a8=59-12，即為所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和.

（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…+a8-a9=59.

點(diǎn)評：二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式，對于a，b的一切值均成立.因此，可將a，b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時(shí)，令a，b等于多少，應(yīng)視具體情況而定，一般取“1，-1，0”，有時(shí)也取其他值.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則f（x）展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為f（1），奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為f（1）+f（-1）2，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為f（1）-f（-1）2.

基本題型3二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

例3（1）試判斷7777-1能否被19整除.

（2）證明：32n+2-8n-9是64的倍數(shù).

解析：（1）由于76是19的倍數(shù)，可將7777轉(zhuǎn)化為（76+1）77用二項(xiàng)式定理展開.

7777-1=（76+1）77-1

=7677+C177·7676+C277·7675+…+C7677·76+C7777-1

=76（7676+C1777675+C2777674+…+C7677）.

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除.

（2）∵32n+2-8n-9

=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9

=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82+Cnn+1·8+1-8n-9

=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82+8（n+1）+1-8n-9

=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82

=（8n-1+C1n+1·8n-2+…+Cn-1n+1）·64，

∴32n+2-8n-9是64的倍數(shù).

點(diǎn)評：利用二項(xiàng)式定理解決整除性問題時(shí)，關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.因此，一般將被除式化為含有相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開，此時(shí)常采用“配湊法”、“消去法”配合整除的有關(guān)知識(shí)來處理.

二、思想方法

1.函數(shù)與方程思想

例4已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，

若a1+a2+…+an-1=29-n，求n.

分析：二項(xiàng)式系數(shù)求和問題可用賦值法.

解析：a0=1+1+…+1=n，an=1.令x=1，

則2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an，

∴a1+a2+…+an-1=2（1-2n）1-2-a0-an

=2（2n-1）-n-1=2n+1-n-3，

∴2n+1-n-3=29-n，∴n=4.

點(diǎn)評：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，求系數(shù)的取值總是列出方程，通過賦值求解，把二項(xiàng)展開式看作x的函數(shù)f（x），其系數(shù)問題與函數(shù)值f（1）的展開式相聯(lián)系.

2.構(gòu)造思想

例5已知（3x+x2）2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比（3x-1）n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求在（2x-1x）2n的展開式中，

（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);

（2）系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng).

分析：首先根據(jù)題設(shè)條件解出n的值，再根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行求解.

解：由題意22n-2n=992，解得n=5.

（1）（2x-1x）10的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T6=T5+1=C510（2x）5（-1x）5=-8064.

（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，則Tr+1=Cr10（2x）10-r（-1x）r=（-1）rCr10210-rx10-2r，

在此，就需構(gòu)造如下不等式組，以獲得系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)對應(yīng)的r值.

∴Cr10210-r≥Cr-110210-r+1

Cr10210-r≥Cr+110210-r-1，得Cr10≥2Cr-110

2Cr10≥Cr+110，

即11-r≥2r

2（r+1）≥10-r，

∴83≤r≤113，∴r=3，故系數(shù)的絕對值最大的是第4項(xiàng).

點(diǎn)評：在運(yùn)用二項(xiàng)式定理時(shí)不能忽視展開式中系數(shù)的正負(fù)，當(dāng)然還需考慮二項(xiàng)式系數(shù)與展開式某項(xiàng)的系數(shù)之間的差異：二項(xiàng)式系數(shù)只與二項(xiàng)式的指數(shù)和項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而項(xiàng)的系數(shù)不僅與二項(xiàng)式的指數(shù)和項(xiàng)數(shù)有關(guān)，還與二項(xiàng)式有關(guān).

3.轉(zhuǎn)化思想

例6若（x+1x-2）n的展開式的常數(shù)項(xiàng)為-20，求n.

分析：本題中x≠0.當(dāng)x>0時(shí)，把三項(xiàng)式（x+1x-2）n，轉(zhuǎn)化為（x+1x-2）n=（x-1x）2n，當(dāng)x<0時(shí)，同理（x+1x-2）n=（-1）n（-x+1-x）2n，然后運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，令含x的冪指數(shù)為零即可.

解：當(dāng)x>0時(shí)（x+1x-2）n=（x-1x）2n，其通項(xiàng)為

Tr+1=Cr2n（x）2n-r（-1x）r=（-1）rCr2n

（x）2n-2r，

令2n-2r=0得n=r，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為（-1）nCn2n;

當(dāng)x<0時(shí)（x+1x-2）n=（-x+1-x）2n，同理可知，展開式的常數(shù)項(xiàng)為（-1）nCn2n.

無論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為（-1）nCn2n.

令（-1）nCn2n=-20，以n=1，2，3，…逐個(gè)代入，得n=3.

點(diǎn)評：這種把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為兩項(xiàng)式然后利用二項(xiàng)式定理把二項(xiàng)式展開求值的思路，在二項(xiàng)式問題中是一種常見處理方法，也包括把四項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為兩項(xiàng)式.這就是說當(dāng)我們遇到三項(xiàng)式或四項(xiàng)式時(shí)就要先試一試是不是能轉(zhuǎn)換為兩項(xiàng)式，然后再用二項(xiàng)式定理解決問題.

（作者：孫建國，江蘇省太倉高級(jí)中學(xué)）