胡磊

幾何概型是一個重要的概率模型，由幾何概型的概率公式可以知道，確定幾何區(qū)域的測度是至關(guān)重要的.因此，我們要掌握幾種常見測度的幾何概型，舉一反三，做到真正地掌握幾何概型的概率求法.下面我們就介紹幾種常見測度的幾何概型.

一、長度型幾何概型

例1已知函數(shù)f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一個實數(shù)x0，則不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是.

解析：區(qū)間[1，8]的長度為7，滿足不等式1≤f（x0）≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答2≤x0≤4，對應(yīng)區(qū)間[2，4]長度為2，由幾何概型公式可得使不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是27.

點評：本題考查了幾何概型問題，其與線段上的區(qū)間長度及函數(shù)被不等式的解法問題相交匯，使此類問題具有一定的靈活性，關(guān)鍵是明確集合測度，本題利用區(qū)間長度的比求幾何概型的概率.

例2在區(qū)間[-3，5]上隨機取一個數(shù)a，則使函數(shù)f（x）=x2+2ax+4無零點的概率是.

解析：由已知區(qū)間[-3，5]長度為8，使函數(shù)f（x）=x2+2ax+4無零點即判別式Δ=4a2-16<0，解得-2

點評：本題屬于幾何概型，只要求出區(qū)間長度以及滿足條件的區(qū)間長度，由幾何概型公式解答.

二、面積型幾何概型

例3已知1≤a≤3，2≤b≤5，則方程x2-bx+a2=0有實數(shù)解的概率是.

分析：根據(jù)已知條件需要明確本題涉及是古典概型還是幾何概型，由于任取一個實數(shù)，事件個數(shù)是無數(shù)多個，所以滿足幾何概型.剩下的是解決本題需要建立正確模型，關(guān)鍵構(gòu)造滿足條件的幾何圖形，結(jié)合面積計算方法求解.

解析：x2-bx+a2=0有實數(shù)解的充要條件是Δ=b2-4a2≥0.

即b+2a≥0

b-2a≥0或b+2a≤0

b-2a≤0.如下圖所示，區(qū)域1≤a≤3，2≤b≤5的面積為6，

在1≤a≤3，2≤b≤5前提下，區(qū)域不等式組表示的區(qū)域面積為12×3×（52-1）=94，

由幾何概型等式可得方程x2-bx+a2=0有實數(shù)解的概率是：946=38.

點評：本題考查幾何概型公式的運用;幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān).

例4在區(qū)間[-1，1]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f（x）=x2+2ax-b2+1有零點的概率為.

解析：設(shè)區(qū)間[-1，1]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為（a，b），則對應(yīng)區(qū)域面積為2×2=4，

使得函數(shù)f（x）=x2+2ax-b2+1有零點a，b范圍為4a2+4b2-4≥0，即a2+b2≥1，對應(yīng)區(qū)域面積為4-π，由幾何概型的概率公式得到使得函數(shù)f（x）=x2+2ax-b2+1有零點的概率為：4-π4=1-π4;故答案為：1-π4.

點評：設(shè)區(qū)間[-1，1]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為（a，b），對應(yīng)區(qū)域為邊長為2的正方形，而使得函數(shù)f（x）=x2+2ax-b2+1有零點的a，b范圍是判別式Δ≥0，求出a，b滿足范圍，利用面積比求概率.本題是面積型幾何概型，注意與例2的區(qū)別，從表面上看兩題沒有差別，實際上一個是長度型另一個是面積型.

三、體積型幾何概型

例5在棱長為3的正方體內(nèi)任取一點P，則點P到該正方體的六個面的距離的最小值不大于1的概率為.

解析：由題意，符合點P到該正方體的六個面的距離的最小值不大于1的區(qū)域是以正方體的中心為中心棱長為1的正方體外部，根據(jù)幾何概型公式可得點P到該正方體的六個面的距離的最小值不大于1的概率為1-1333=2627.

點評：本題主要考查幾何概型中的體積類型，基本方法是：分別求得構(gòu)成事件A的區(qū)域體積和試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積，兩者求比值，即為概率.由題意，符合點P到該正方體的六個面的距離的最小值不大于1的區(qū)域是以正方體的中心為中心棱長為1的正方體外部，根據(jù)幾何概型公式可得.