一、填空題

1.某中學(xué)高中一年級(jí)有400人，高中二年級(jí)有320人，高中三年級(jí)有280人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為200人的樣本，則高中二年級(jí)被抽取的人數(shù)為.

2.利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a-1>0”發(fā)生的概率為.

3.某單位有200名職工，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1～200編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為40組（1～5號(hào)，6～10號(hào)，…，196～200號(hào)）.若第5組抽出的號(hào)碼為23，則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)是.

4.某算法的偽代碼如圖所示，若輸出y的值為3，則輸入x的值為.

Read x

Ifx≤0Then

y←x+2

Else

y←log2x

End If

Print y

5.抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán)），結(jié)果如下：

運(yùn)動(dòng)員第一次第二次第三次第四次第五次

甲8791908993

乙8990918892

則成績(jī)較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為.

6.已知一個(gè)算法如圖，則輸出結(jié)果為.

a←1

b←1

For n From 3 To 10

m←b

b←a+b

a←m

End For

Print b

7.從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是.

8.若執(zhí)行圖中的流程圖，輸入N=13，則輸出的S等于.

9.甲、乙兩人玩數(shù)字游戲，先由甲心中任想一數(shù)字記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且a，b∈{3，4，5，6}，若|a-b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為.

10.已知實(shí)數(shù)x∈[1，9]，執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為.

11.高三年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參加社會(huì)實(shí)踐，但去何工廠可自由選擇，甲工廠必須有班級(jí)要去，則不同的分配方案有種.

12.圖（1）是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來的數(shù)學(xué)考試成績(jī)莖葉圖，第1次到第14次的考試成績(jī)依次記為A1，A2，…，A14.圖（2）是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績(jī)?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)考試次數(shù)的一個(gè)算法流程圖.那么算法流程圖輸出的結(jié)果是.

13.設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生一次的概率為6364，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為 .

14.航空母艦“遼寧艦”將進(jìn)行一次編隊(duì)配置科學(xué)試驗(yàn)，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為.

二、解答題

15.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2+2cosθ，

y=2sinθ（θ為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin（θ+π4）=22.

（1）求曲線C在極坐標(biāo)系中的方程;

（2）求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).

16.一次數(shù)學(xué)模擬考試，共12道選擇題，每題5分，共計(jì)60分，每道題有四個(gè)可供選擇的答案，僅有一個(gè)是正確的.學(xué)生小張只能確定其中10道題的正確答案，其余2道題完全靠猜測(cè)回答.小張所在班級(jí)共有40人，此次考試選擇題得分情況統(tǒng)計(jì)表如下：

得分（分）4045505560

百分率15%10%25%40%10%

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從此班抽取20人的試卷進(jìn)行選擇題質(zhì)量分析.

（1）應(yīng)抽取多少張選擇題得60分的試卷？

（2）若小張選擇題得60分，求他的試卷被抽到的概率.

17.已知向量e1=1

1是二階矩陣M=a1

0b的屬于特征值λ1=2的一個(gè)特征向量.

（1）求矩陣M;

（2）若a=2

1，求M10a.

18.（本小題滿分16分）某學(xué)校為準(zhǔn)備參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)，對(duì)本校甲、乙兩個(gè)田徑隊(duì)中30名跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了測(cè)試，并采用莖葉圖表示本次測(cè)試30人的跳高成績(jī)（單位：cm），跳高成績(jī)?cè)?75cm以上（包括175cm）定義為“合格”，跳高成績(jī)?cè)?75cm以下（不包括175cm）定義為“不合格”.

（1）如果用分層抽樣的方法從甲、乙兩隊(duì)所有的運(yùn)動(dòng)員中共抽取5人，則5人中“合格”與“不合格”的人數(shù)各為多少？

（2）若從甲隊(duì)178cm（包括178cm）以上的6人中抽取2人，則至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率為多少？

19.某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）.

（1）求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率;

（2）設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.（本小題滿分16分）一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖.如圖所示.

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.

（1）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;

（2）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E（X）及方差V（X）.

參考答案

1.解析：由題意，應(yīng)采用分層抽樣，則高中二年級(jí)被抽取的人數(shù)為320×200400+320+280=64.

2.解析：因?yàn)?≤a≤1，由3a-1>0得13<a≤1，由幾何概型的概率公式得，事件“3a-1>0”發(fā)生的概率為1-131=23.

3.解析：由題意易知系統(tǒng)抽樣的間隔為5，設(shè)第一段中抽取的起始的個(gè)體編號(hào)為x，由第5組抽出的號(hào)碼為23得x+4×5=23，所以x=3，故第8組抽出的號(hào)碼是3+7×5=38.

4.解析：所給算法偽代碼的意義是求函數(shù)y=x+2，x≤0，

log2x，x>0的值，當(dāng)輸出y的值為3，若輸入的x≤0，則x+2=3，解得x=1，不合題意，舍去;若輸入的x>0，則log2x=3，解得x=8.綜上所述，輸入x的值為8.

5.解析：對(duì)于甲，平均成績(jī)?yōu)閤=90，

所以方差為s2=15×[（87-90）2+（91-90）2+（90-90）2+（89-90）2+（93-90）2]=4;

對(duì)于乙，平均成績(jī)?yōu)閤=90，

方差為s2=15×[（89-90）2+（90-90）2+（91-90）2+（88-90）2+（92-90）2]=2.

由于2<4，所以乙的平均成績(jī)較為穩(wěn)定.

6.解析：初始值a=1，b=1，n=3.第一次循環(huán)：b=2，a=1，n=4;第二次循環(huán)：b=3，a=2，n=5;第三次循環(huán)：b=5，a=3，n=6;第四次循環(huán)：b=8，a=5，n=7;第五次循環(huán)：b=13，a=8，n=8;第六次循環(huán)：b=21，a=13，n=9;第七次循環(huán)：b=34，a=21，n=10;第八次循環(huán)：b=55，a=34，退出循環(huán)，輸出b的值為55.

7.解析：從{1，2，3，4，5}中選取一個(gè)數(shù)a有5種取法，從{1，2，3}中選取一個(gè)數(shù)b有3種取法.所以選取兩個(gè)數(shù)a，b共有5×3=15個(gè)基本事件.滿足b>a的基本事件共有3個(gè).因此b>a的概率P=315=15.

8.解析：由題意知，輸出的S=11×2+12×3+…+112×13=（1-12）+（12-13）+…+（112-113）=1-113=1213.

9.解析：甲、乙兩人猜想的數(shù)字記為（a，b），共有16個(gè)不同的結(jié)果，分別為（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），其中滿足|a-b|≤1的共有10個(gè)不同結(jié)果：（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），故甲、乙兩人“心有靈犀”的概率為P=1016=58.

10.解析：n=1，3≤2x+1≤19;

n=2，7≤2x+1≤39;

n=3，15≤2x+1≤79，∴輸出x∈[15，79]，

所以55≤x≤79的概率為P=79-5579-15=2464=38.

11.解析：三個(gè)班去四個(gè)工廠不同的分配方案共43種，甲工廠沒有班級(jí)去的分配方案共33種，因此滿足條件的不同的分配方案共有43-33=37種.

12.解析：從算法流程圖可知，該圖是統(tǒng)計(jì)成績(jī)大于或等于90分的考試次數(shù).從莖葉圖可知輸出的結(jié)果為10.

13.解析：假設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生說明試驗(yàn)成功，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B（3，p），則有1-（1-p）3=6364，得p=34，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C13×34×（1-34）2=964.

14.解析：核潛艇排列數(shù)為A22，6艘艦艇任意排列的排列數(shù)為A66，同側(cè)均是同種艦艇的排列數(shù)為A33A33×2，則艦艇分配方案的方法數(shù)為A22（A66-A33A33×2）=1296.

15.解：（1）由已知得，曲線C的普通方程為（x-2）2+y2=4，

即x2+y2-4x=0，化為極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ.

（2）由題意知，直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0，

由x2+y2-4x=0，

x+y=4，得直線l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），（4，0），所以所求弦長(zhǎng)為22.

16.解：（1）得60分的人數(shù)為40×10%=4.

設(shè)抽取x張選擇題得60分的試卷，則2040=x4，

則x=2，故應(yīng)抽取2張選擇題得60分的試卷.

（2）設(shè)小張的試卷為a1，另三名得60分的同學(xué)的試卷為a2，a3，a4，所有抽取60分試卷的方法為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），共6種，其中小張的試卷被抽到的抽法共有3種，故小張的試卷被抽到的概率為P=36=12.

17.解：（1）依題意，Me1=λ1e1，

即a1

0b1

1=21

1，

∴a+1=2，

b=2，∴a=1，b=2.

∴M=11

02.

（2）由（1）知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-1）（λ-2），

∴矩陣M的另一個(gè)特征值為λ2=1.

設(shè)e2=x

y是矩陣M屬于特征值λ2=1的一個(gè)特征向量，則11

02x

y=x

y，∴x+y=x，

2y=y，取x=1，得e2=1

0，

∴a=e1+e2，∴M10a=M10e1+M10e2=λ101e1+λ102e2=2101

1+1101

0=1025

1024.

18.解：（1）根據(jù)莖葉圖可知，30人中有12人“合格”，有18人“不合格”.用分層抽樣的方法，則5人中“合格”與“不合格”的人數(shù)分別為2人、3人.

（2）甲隊(duì)178cm（包括178cm）以上的6人中抽取2人的基本事件為（178，181），（178，182），（178，184），（178，186），（178，191），（181，182），（181，184），（181，186），（181，191），（182，184），（182，186），（182，191），（184，186），（184，191），（186，191），共15個(gè).

其中都不在186cm以上的基本事件為（178，181），（178，182），（178，184），（181，182），（181，184），（182，184），共6個(gè).

所以都不在186cm以上的概率P=615=25，由對(duì)立事件的概率公式得，至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率為1-P=1-25=35.

19.解：（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P（A）=C13·C27+C03·C37C310=4960.

所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為4960.

（2）隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2，3.

P（X=k）=Ck4·C3-k6C310（k=0，1，2，3）.

所以，隨機(jī)變量X的分布列是

X0123

P1612310130

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

E（X）=0×16+1×12+2×310+3×130=65.

20.解：（1）設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”，因此

P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，

P（A2）=0.003×50=0.15，

P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

（2）X可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為

P（X=0）=C03·（1-0.6）3=0.064，

P（X=1）=C13·0.6（1-0.6）2=0.288，

P（X=2）=C23·0.62（1-0.6）=0.432，

P（X=3）=C33·0.63=0.216.

X的分布列為

X0123

P0.0640.2880.4320.216

因?yàn)閄～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=18，方差V（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72.

（作者：殷高榮，如皋市教育局教研室）