張曉偉，段學(xué)超，冷國俊，保　宏

(1.西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安　710071；2.中國電子科技集團(tuán)公司第二十九研究所，四川成都　610036)

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一種面向低頻隔振的兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)

張曉偉1，段學(xué)超1，冷國俊2，保宏1

(1.西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710071；2.中國電子科技集團(tuán)公司第二十九研究所，四川成都610036)

摘要：針對(duì)兩轉(zhuǎn)動(dòng)自由度低頻隔振的需求，基于球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論提出了一種兩轉(zhuǎn)動(dòng)自由度球面并聯(lián)隔振裝置。從機(jī)構(gòu)學(xué)的角度對(duì)其進(jìn)行了工作原理分析和自由度計(jì)算，并完成了隔振平臺(tái)的虛擬樣機(jī)設(shè)計(jì)。采用連桿參數(shù)的D-H表示法，以連桿圓弧張角為約束條件建立了機(jī)構(gòu)的約束方程，實(shí)現(xiàn)了其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，并基于數(shù)值方法給出了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解過程及正逆解算例。分析和仿真結(jié)果表明：所設(shè)計(jì)的兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)可操控性強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型合理有效，能夠滿足隔振平臺(tái)所需的低頻隔振性能需求。

關(guān)鍵詞：機(jī)械原理與機(jī)構(gòu)學(xué)；隔振平臺(tái)；球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)；雅可比矩陣；運(yùn)動(dòng)學(xué)

張曉偉，段學(xué)超，冷國俊，等.一種面向低頻隔振的兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2016,37(1):13-19.

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主動(dòng)隔振技術(shù)作為振動(dòng)控制領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，具有自適應(yīng)性好、可對(duì)低頻振動(dòng)進(jìn)行隔離等優(yōu)點(diǎn)，因而成為隔振技術(shù)的研究熱點(diǎn)[1-2]。從隔振原理上講，主動(dòng)隔振是在被控系統(tǒng)中引入次級(jí)振源，并通過一定的控制方法調(diào)節(jié)次級(jí)振源的輸出，使其產(chǎn)生的振動(dòng)與主振源(干擾)的振動(dòng)相抵消,從而達(dá)到隔振的目的[1]。從系統(tǒng)的功能看，隔振穩(wěn)定平臺(tái)的機(jī)械機(jī)構(gòu)是主動(dòng)隔振系統(tǒng)的重要組成部分，合理的機(jī)械機(jī)構(gòu)是穩(wěn)定平臺(tái)實(shí)現(xiàn)其功能、提高穩(wěn)定精度的前提。穩(wěn)定平臺(tái)最初是串聯(lián)型機(jī)構(gòu)較多。1965年STEWART提出著名的六自由度并聯(lián)式平臺(tái)[3-4]，從此開始了基于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究，目前平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)6個(gè)自由度的穩(wěn)定。而對(duì)于常見的少自由度的穩(wěn)定平臺(tái)，按照機(jī)構(gòu)形式可以分為2類：一類是框架機(jī)構(gòu)[5-6]，另一類為多點(diǎn)支撐式結(jié)構(gòu)[7]。相對(duì)于這2種結(jié)構(gòu)形式，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有承載能力高、剛度大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單穩(wěn)定、精度高、易實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動(dòng)、求解運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解容易等優(yōu)點(diǎn)[8]，從而使平臺(tái)具備更好的穩(wěn)定性。

從機(jī)構(gòu)學(xué)的角度看，機(jī)器人可分為球面機(jī)器人、平面機(jī)器人和空間機(jī)器人[9]，其中球面機(jī)器人是一特殊類型的機(jī)構(gòu)，它是聯(lián)系平面機(jī)構(gòu)與空間機(jī)構(gòu)的橋梁。當(dāng)球面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其構(gòu)件上所有點(diǎn)在一個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)。除具有并聯(lián)機(jī)器人的一般特性外，球面機(jī)構(gòu)還具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作空間大、不易發(fā)生干涉、運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算簡(jiǎn)單、控制容易等優(yōu)點(diǎn)[10]。隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，各種形式的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)也引起了人們的研究興趣，并在工程中得到了成功應(yīng)用[11-13]。本文提出了一種應(yīng)用于移動(dòng)載體上的兩自由度主動(dòng)隔振平臺(tái)機(jī)構(gòu)模型，通過隔振可減小載體由于位姿變換、干擾振動(dòng)以及發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)等對(duì)所隔振設(shè)備的影響，使其具有一個(gè)高品質(zhì)的工作環(huán)境。

圖1　兩轉(zhuǎn)動(dòng)自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的原理圖Fig.1　Schematic of the two-degree-of-freedom spherical parallel mechanism

圖2　兩轉(zhuǎn)動(dòng)自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)Fig.2　Virtual prototype of the two-degree-of-freedom spherical parallel mechanism

1機(jī)構(gòu)組成與運(yùn)動(dòng)原理

1.1　機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介

所設(shè)計(jì)的兩轉(zhuǎn)動(dòng)自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的原理圖見圖1，機(jī)構(gòu)分為上平臺(tái)①和基座②，上平臺(tái)作為設(shè)備的承載體具有兩轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。上平臺(tái)與基座間由2個(gè)支鏈和1個(gè)支柱④連接，支鏈所有運(yùn)動(dòng)副都為轉(zhuǎn)動(dòng)副。支柱下端與基座固連，上端通過虎克鉸③與上平臺(tái)相連。機(jī)構(gòu)符合球面機(jī)構(gòu)的一般特性[14-15]，在運(yùn)動(dòng)過程中支鏈連桿上的所有點(diǎn)均在以某一定點(diǎn)為球心的球面上運(yùn)動(dòng)，并且所有轉(zhuǎn)動(dòng)副及電機(jī)軸軸線皆交匯于該定點(diǎn)，該定點(diǎn)叫做機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)中心。

根據(jù)所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的特性，選擇虎克鉸中心旋轉(zhuǎn)體的型心作為機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心。根據(jù)機(jī)構(gòu)原理，結(jié)合機(jī)械設(shè)計(jì)相關(guān)知識(shí)，該機(jī)構(gòu)的實(shí)際設(shè)計(jì)虛擬樣機(jī)如圖2所示。

1.2　自由度計(jì)算

由機(jī)構(gòu)學(xué)知識(shí)可知，修正后的Kutzbach-Grubler自由度計(jì)算公式為[16]

(1)

式中：M為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目；n為機(jī)構(gòu)中構(gòu)件的數(shù)目；g為機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)；d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)；v為機(jī)構(gòu)中冗余約束的數(shù)目；ζ為機(jī)構(gòu)中局部自由度的數(shù)目。

因?yàn)槠矫鏅C(jī)構(gòu)或球面機(jī)構(gòu)的公共約束為3[17]，則該機(jī)構(gòu)作為球面機(jī)構(gòu)具有3個(gè)公共約束[6]，即d=3，其他參數(shù)n=6，g=7。由于與支鏈相關(guān)的運(yùn)動(dòng)副都為單自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)副，所以對(duì)于這些運(yùn)動(dòng)副都有fi=1(i=1，2，…，6)。由于支柱與上平臺(tái)是由虎克鉸連接，故有2個(gè)自由度，所以有f7=2。從機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)形式可以看出，機(jī)構(gòu)冗余數(shù)目v=0，機(jī)構(gòu)局部自由度數(shù)目ζ=0。將上述參數(shù)代入式(1)有

M=3×(6-7-1)+6×1+2-0=2 。

所以該球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目為M=2，并且通過分析可知機(jī)構(gòu)具有沿2個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度。驅(qū)動(dòng)位置選在支鏈與下平臺(tái)連接的轉(zhuǎn)動(dòng)副處，這樣在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中兩驅(qū)動(dòng)電機(jī)帶動(dòng)支鏈運(yùn)動(dòng)，支鏈就可以帶動(dòng)上平臺(tái)在自由度方向上完成位姿的變換。

2機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1　坐標(biāo)系的建立

按照連桿參數(shù)的D-H表示法建立坐標(biāo)系：O-X0Y0Z0，O-XYZ和O-XijYijZij(ij表示第i個(gè)分支的第j個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，以下i，j的取值都為1或2)，如圖3所示。由于兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)各個(gè)連桿系都是繞著球心轉(zhuǎn)動(dòng)，因此選取球心O作為各坐標(biāo)系的原點(diǎn)；支柱軸線作為固定坐標(biāo)系的Z0軸，指向上平臺(tái)的方向?yàn)檎较?；各連桿坐標(biāo)系的Zij分別為第i個(gè)分支的第j個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線方向，方向指向球外；固定坐標(biāo)系的X0軸是Z0軸和Z11軸所張成平面的法線；連桿坐標(biāo)系的Xij軸分別為Zij與Zi，j+1所張成平面的法線方向；將過球心O且垂直于上平臺(tái)的垂線作為動(dòng)坐標(biāo)系的Z軸；X軸的方向?yàn)閆13與Z軸所張成平面的法線方向(與X13軸重合)；各坐標(biāo)系的Y軸分別由右手定則確定。

圖3　各坐標(biāo)系的建立Fig.3　Coordinates of the system

該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有α1，α2，β，η1i，η2i。其中η1i(i=1,2)分別為各分支的Zi1在基座的投影與第一分支的Z11投影所成的角度；η2i(i=1,2)分別為各分支的Zi3在上平臺(tái)的投影與第一分支的Z13投影所成的角度。

2.2　運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的推導(dǎo)

應(yīng)用連桿參數(shù)的D-H表示法[18]及球面解析理論[19]都可以進(jìn)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的推導(dǎo)，此處以連桿參數(shù)的D-H表示法為例進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解推導(dǎo)。由于機(jī)構(gòu)的上平臺(tái)只有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，記上平臺(tái)位姿為橫滾角φx、俯仰角φy，則上平臺(tái)位姿可表示為

(2)

式中：c表示cos函數(shù)運(yùn)算，s表示sin函數(shù)運(yùn)算，下同。

2.2.1矢量ui，wi和vi的方向余弦

定義如下各單位向量：ui沿Zi1方向，wi沿Zi2方向，vi沿Zi3方向，以上i=1,2。

通過連桿參數(shù)的D-H表示法進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換可得固定坐標(biāo)系O-X0Y0Z0和O-Xi2Yi2Zi2之間的轉(zhuǎn)換矩陣為

其中

(3)

因此，可得

(4)

式中：

a11=cθi2cη1icθi1+cθi2sη1icβsθi1-cα1sθi2cη1isθi1+cα1sθi2sη1icβcθi1-sη1isβsα1sθi2,

a12=-sθi2cη1icθi1-sθi2sη1icβsθi1-cα1cθi2cη1isθi1+cα1cθi2sη1icβcθi1-sη1isβsα1cθi2,

a13=-sα1cη1isθi1+sα1sη1icβcθi1+sη1isβcα1,

a21=cθi2sη1icθi1-cθi2cη1icβsθi1-cα1sθi2sη1isθi1-cα1sθi2cη1icβcθi1+cη1isβsα1sθi2,

a22=-sθi2sη1icθi1+sθi2cη1icβsθi1-cα1cθi2sη1isθi1-cα1cθi2cη1icβcθi1+cη1isβsα1cθi2,

a23=-sα1sη1isθi1-sα1cη1icβcθi1-cα1cη1isβ,

a31=sβsθi1cθi2+sβcθi1cα1sθi2+cβsα1sθi2，

a32=-sβsθi1sθi2+sβcθi1cα1cθi2+cβsα1cθi2,

a33=sβcθi1sα1-cβcα1。

ui=[sη1isβ-cη1isβ-cβ]T，

(5)

同理，根據(jù)上平臺(tái)位姿矩陣(2)，結(jié)合坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換可得到vi的表達(dá)式：

(6)

2.2.2由機(jī)構(gòu)約束條件導(dǎo)出位姿逆解

各分支中間轉(zhuǎn)動(dòng)副wi與相應(yīng)上平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)副vi以上連桿α2相連，就有約束方程

wi·vi=cα2,i=1,2。

(7)

將式(5)和式(6)代入式(7)并整理可得

Aisθi1+Bicθi1+Ci=0,i=1,2，

式中：

Ai=-sα1cη1ivix-sα1sη1iviy,

Bi=sα1sη1icβvix-sα1cη1icβviy+sβsα1viz,

Ci=sη1isβcα1vix-cη1isβcα1viy-cβcα1viz-cα2。

解得

(8)

式(8)表明，已知?jiǎng)悠脚_(tái)的位姿，便可求輸入角θ11和θ21，并且由式(8)可以看出，每個(gè)輸出位姿對(duì)應(yīng)2組輸入解，根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性易確定符合約束關(guān)系的合理解。

2.2.3逆解算例

球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各設(shè)計(jì)參數(shù)分別為α1=25°,α2=30°,β=53.13°,η11=0°,η12=90°,η21=0°,η22=90°。規(guī)劃動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡為與動(dòng)平臺(tái)固連的動(dòng)坐標(biāo)系Z軸繞固定坐標(biāo)系的Z0軸做錐角為30°的圓錐面勻速運(yùn)動(dòng)，如圖4所示。圖中圓形軌跡為動(dòng)平臺(tái)單位法線(與Z軸重合)端點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中所走過的軌跡，該點(diǎn)也作為動(dòng)平臺(tái)的標(biāo)記點(diǎn)。

圖4　圓錐面軌跡規(guī)劃Fig.4　Motion planning of the cone trajectory

根據(jù)以上所述的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解過程，對(duì)所規(guī)劃的姿態(tài)軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解。圖5所示為通過逆解算法得到的2個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的角位移輸入曲線。

圖5　圓錐面軌跡規(guī)劃輸入曲線Fig.5　Input angle curves for the cone trajectory

2.3　運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的推導(dǎo)

2.3.1雅克比矩陣求解

將運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿反解的約束方程(7)中的輸入角和輸出角位移均看成時(shí)間t的函數(shù)，等式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得：

(9)

用矢量形式將式(9)表示為

Aθ′+Bφ′=0 ，

(10)

對(duì)式(10)進(jìn)行整理得

φ′=Jθ′,

(11)

其中

J=-B-1A,

(12)

則J即為輸入角速度矢量θ′向輸出角轉(zhuǎn)速矢量φ′線性變換的雅克比矩陣。

2.3.2由數(shù)值形式給出機(jī)構(gòu)位姿正解

并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿正解是機(jī)構(gòu)學(xué)研究的一個(gè)重要課題，是研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)和軌跡控制等方面的基礎(chǔ)。與串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)反解容易，但正解需要求解一組非線性方程組，難度較大。國內(nèi)外學(xué)者采用不同的方法對(duì)正解進(jìn)行了研究[20-22]，本文用一種常用的最速下降法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置正解求解。

由于動(dòng)平臺(tái)在其工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，假定它從任一已知的初始位姿P0經(jīng)過控制作用后，達(dá)到當(dāng)前位姿Pd，此時(shí)各分支輸入角位置矢量為θd。在實(shí)際過程中P0靠標(biāo)定來確定，θd則是由分支伺服電機(jī)的編碼器讀數(shù)值換算得出。位姿正解算法的根本任務(wù)是根據(jù)P0，θd求解出上平臺(tái)位姿Pd。

位姿正解的迭代算法如下：

1)已知上平臺(tái)初始位姿P0，分支輸入角位置矢量θd，給定算法的收斂精度ε>0，令k=0；

2)通過運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解體系計(jì)算初始位姿下輸入角位置狀態(tài)：θk=InvKin(Pk)，得Δθk=θd-θk；

3)計(jì)算Sk=-J-1(θk)Δθk，若‖Sk‖≤ε，則停，Pd=Pk，否則轉(zhuǎn)4)；

4)Pk+1=Pk+Sk，k=k+1，轉(zhuǎn)2)。

由上述數(shù)值迭代過程即可獲得機(jī)構(gòu)的位置正解。

2.3.3正解算例

應(yīng)用2.2.3中的機(jī)構(gòu)參數(shù)和位姿逆解結(jié)果，將逆解所得的驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸入數(shù)據(jù)做機(jī)構(gòu)位姿的正向求解。圖6所示為所述位姿正解算法所得的動(dòng)平臺(tái)橫滾角(Rollx)和俯仰角(Pitchy)的輸出曲線；圖7表示由正解輸出數(shù)據(jù)得到的動(dòng)平臺(tái)標(biāo)記點(diǎn)所走的軌跡與原規(guī)劃軌跡的對(duì)比圖。虛線表示上節(jié)中規(guī)劃的動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡，星號(hào)點(diǎn)線代表通過正解算法獲得的動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡，2組軌跡完全吻合，驗(yàn)證了本文提出機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解算法的正確性和有效性。

圖6　正解輸出曲線Fig.6　Output curve of the forward kinematics

圖7　正解輸出軌跡與原規(guī)劃軌跡的對(duì)比圖Fig.7　Comparison between the solutions of forward kinematics and original planned trajectory

3結(jié)語

本文分析了兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作原理，進(jìn)行了自由度分析和虛擬樣機(jī)的設(shè)計(jì)。分別以解析形式和數(shù)值形式給出了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正、逆解結(jié)果，并且通過仿真驗(yàn)證了所提出正、逆解算法的一致性。分析表明：本機(jī)構(gòu)可操控性強(qiáng)，所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型合理有效，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行合理的控制，本機(jī)構(gòu)可以在基體與設(shè)備中間實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抵消、補(bǔ)償?shù)淖饔?，達(dá)到主動(dòng)隔振的目的。此外，根據(jù)不同的工程應(yīng)用背景，可以針對(duì)本文所提出的兩自由度球面并聯(lián)平臺(tái)進(jìn)行不同的參數(shù)設(shè)定，以滿足不同場(chǎng)合的應(yīng)用需求。

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A two-degree-of-freedom spherical parallel mechanism with low-frequency vibration isolation

ZHANG Xiaowei1, DUAN Xuechao1, LENG Guojun2, BAO Hong1

(1. Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design of Ministry of Education, Xidian University, Xi’an, Shaanxi 710071, China; 2. Southwest China Research Institute of Electronic Equipment, Chengdu, Sichuan 610036, China)

Abstract:Aiming at the requirements of the vibration isolation with two rotational degrees of freedom under specific conditions, a spherical 2-DOF parallel vibration isolation platform is proposed based on the theory of spherical parallel mechanism. From the view point of theory of mechanism, the operating principle is analyzed and the degree of freedom is calculated, and the virtual prototype design of vibration isolation platform is carried out. With D-H representation method of robot mechanism, the constraint equation is developed under the constraint conditions of the above link arc angle, and the inverse kinematics is realized. The kinematics positive solution process is given based on numerical method, and the solution examples of positive and inverse solution are given. Analysis and simulation results show that the 2-DOF spherical parallel mechanism proposed in this paper has the characteristics of good controllability, and the kinematic model is reasonable and effective, meeting the need of low-frequency vibration isolation performance.

Keywords:mechanical principle and mechanism theory; vibration isolation platform; spherical parallel mechanism; Jacobian matrix; kinematics

通訊作者：段學(xué)超博士。E-mail:xchduan@xidian.edu.cn

作者簡(jiǎn)介：張曉偉(1988—)，男，河北承德人，碩士研究生，主要從事并聯(lián)機(jī)器人技術(shù)方面的研究。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51405362，51490660)

收稿日期：2015-07-10；修回日期：2015-09-30；責(zé)任編輯：馮民

中圖分類號(hào)：TD421

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.7535/hbkd.2016yx01003

文章編號(hào)：1008-1542(2016)01-0013-07