劉圣良

“可能性”是人教版義務教育教科書數(shù)學五年級上冊第四單元教學內容，屬于“統(tǒng)計與概率”領域的內容。在小學階段，僅安排在第二學段學習。在原義務教育課程標準實驗教材中，此部分教學內容分兩次集中編排。第一次安排在三年級上冊，教學目標是讓學生初步體驗確定事件和不確定事件，初步感受事件發(fā)生的可能性有大小。第二次安排在五年級上冊，教學目標是使學生對“可能性”的認識和理解逐漸從定性向定量過渡，學會用分數(shù)描述事件發(fā)生的可能性大小。數(shù)學課標修訂后，在人教版教材第一學段中，刪掉了概率的學習，將原內容后移到第二學段，稱為“可能性”。原五年級的內容劃分到第三學段，稱為“概率初步”。人教版五年級義務教育教科書關于“可能性”的內容雖然只有三道例題，卻承載著概率教學中非常重要的任務，每道例題具體教學目標不同，甚至“做一做”和某些習題也承載著重要的任務，這一單元的教學是銜接中學概率教學的重要基石。由于概率的發(fā)展較其他領域的內容晚，教師對此部分內容的數(shù)學核心素養(yǎng)模糊不清，加上新教材對該部分內容又有較大調整，并且增添了新例題（如例3）。所以，教學這部分內容，對于教師來講有一定的難度。這就要求教師要抓住知識的縱向聯(lián)系，站在知識的高位，自上而下分析教材、吃透教材，要從數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來定位教學目標，設計教學活動。

一、從中學的“概率”教學看小學的“可能性”教學

（一）中學教材中的概率內容的數(shù)學概念解讀

中學教材對隨機事件、概率的兩個意義（概率的古典意義和概率的統(tǒng)計意義）進行了具體描述。

1. 隨機事件。

在一定條件下，某些事件有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生，這樣的事件稱為隨機事件。

2. 概率的古典定義。

一般來說，如果一次實驗中，有n種可能的結果，并且他們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=。比如，擲兩枚硬幣實驗，分析出現(xiàn)一正一反的可能性大小。在一次實驗中，可能出現(xiàn)四種情況：第一種，1號幣正面、2號幣正面；第二種，1號幣正面、2號幣反面；第三種，1號幣反面、2號幣正面；第四種，1號幣反面、2號幣反面。一正一反有兩種情況，占了，概率則為。

3. 概率的統(tǒng)計意義。

一般來說，在大量重復實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率m/n會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率。比如，擲一枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面或反面朝上的概率是多少？從統(tǒng)計意義出發(fā)，首先要反復做擲硬幣實驗，經(jīng)過大量實驗，統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出正面或反面朝上的頻率（正面或反面出現(xiàn)次數(shù)占總次數(shù)的比率），隨著實驗次數(shù)的增加，這個頻率會穩(wěn)定在0.5這個常數(shù)左右，這個常數(shù)0.5就是正面或反面朝上的概率。

實際上，概率的古典定義具有一定的局限性，有一些隨機實驗并不具備有限與等可能性質，對于這類隨機實驗，概率的古典定義不能適用。比如，考查某種樹苗的移植成活率、某種子的發(fā)芽率、估計某射擊運動員的命中率、某水果運輸過程中的損壞率等。這些實際問題都不屬于各種結果可能性相等的類型，所以不能用古典定義來求，而要用統(tǒng)計意義來求。如某林業(yè)部門要考查某種樹苗在一定條件的移植成活率，應采取什么樣的具體做法呢？首先，在同樣的條件下，大量地對這種樹進行移植（移植的棵樹用字母n來表示。），并統(tǒng)計成活情況（成活的棵樹用字母m來表示。），然后計算成活的頻率（m/n）。如果隨著移植棵樹n的增加，頻率越來越穩(wěn)定于某個常數(shù)，那么這個常數(shù)就可以被當做作成活率的近似值。

（二）中小學概率教學的銜接

中學的概率教學是從概率的兩個意義（古典意義和統(tǒng)計意義）為出發(fā)點，然后過渡到求概率的內容。即，用列舉法求概率和用頻率估計概率。人教版義務教育教科書單元知識框架圖如下：

1. 從教學的知識目標和教學內容來看銜接。

小學階段以感性認識可能性為主，通過實驗去感受隨機性，定性描述可能性大小，初步根據(jù)結果推測狀態(tài)。雖然是感性的認識，但是與中學的銜接很緊密。實際上三道例題是中學隨機事件和概率的意義的雛形。例2、例3是學生了解概率的統(tǒng)計意義的鋪墊。而“做一做”（拋硬幣活動）也是學生理解概率統(tǒng)計意義的有效載體，這個數(shù)學活動也是中學教材中的例題。

2. 從教學的過程目標和核心素養(yǎng)來看銜接。

中小學都是通過摸球、拋硬幣等活動感受和體會隨機性。體現(xiàn)在兩個方面：一個是單次事件發(fā)生的不確定性（偶然性），一個是大量實驗結果統(tǒng)計的規(guī)律性。這種隨機性是學生通過調查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷的過程中體驗到的。小學強調推測球或棋子的分布情況，即誰多誰少。中學要計算出頻率，推測概率?？梢钥闯?，數(shù)據(jù)分析是中小學教學概率內容的重要方法?！稊?shù)學課標標準（2011年版）》把數(shù)據(jù)分析納入到十個核心概念之一，強調要注重發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念。關于數(shù)據(jù)分析觀念，具體闡釋為：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊含的信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析方法，須要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。”在這段話中，點明了統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，東北師大馬云鵬教授提出：數(shù)據(jù)分析觀念是中小學學生學習統(tǒng)計與概率內容的數(shù)學核心素養(yǎng)。由此，筆者認為數(shù)據(jù)分析觀念也是中小學統(tǒng)計與概率教學的重要銜接點。在前面教材分析的基礎上，筆者帶領著團隊教師進行了一些教學實踐，下面結合幾個案例來談一談小學教學“可能性”內容落實數(shù)據(jù)分析觀念的粗淺認識與思考。

二、 從借助“數(shù)據(jù)分析” 入手， 教學小學階段的“可能性”內容

數(shù)據(jù)分析觀念很抽象，教師如果僅把它作為一種觀念或思想，教學中很難落實。筆者認為，把數(shù)據(jù)分析看作是一種學生學習的手段、策略、方法，就很容易操作。在課堂上，讓學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程，掌握數(shù)據(jù)分析的基本方法，通過數(shù)據(jù)分析感受隨機性，這樣才能有效落實“可能性”的教學目標。

1.讓學生經(jīng)歷“猜測——實驗——數(shù)據(jù)分析——推測結論”的過程，豐富學生的體驗，感受事件發(fā)生的隨機性。

一線教師對這部分教學存在困惑：概率的教學需不需要實驗？實驗后頻率和概率之間差距大了怎么解釋？實驗結果不能驗證概率的大小，學生越學越糊涂，怎么辦？比如，“擲硬幣實驗”是“驗證”正面和反面朝上的可能性相等，還是“推測”正、反面朝上的可能性相等。如果站在驗證的角度，教師就容易出現(xiàn)上面的困惑。如果是借助實驗數(shù)據(jù)，包括科學家的數(shù)據(jù)分析來推測可能性，這里即使出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)，我想也很容易解釋，實驗次數(shù)少的情況下，就會出現(xiàn)所謂的“運氣差”的偶然性，這就是隨機性。所以要引導學生看整體數(shù)據(jù)，增加實驗的次數(shù)，只有實驗的次數(shù)越來越多時，才會呈現(xiàn)統(tǒng)計的規(guī)律性。教師要引導學生根據(jù)這種規(guī)律性去推測可能性的大小。教材編排的幾道例題都是基于這樣的目的，呈現(xiàn)“猜測——實驗——數(shù)據(jù)分析——推測結論”的過程，豐富學生的體驗，感受事件發(fā)生的隨機性。

一位教師執(zhí)教“可能性例1”時創(chuàng)設了班級抽獎情境，每次學生抽簽之前，教師都是讓學生先猜測抽簽的結果，（可能抽到什么？不可能抽到什么？）然后再實驗，通過猜測——實踐——驗證的過程讓學生感受事件發(fā)生的確定性和不確定性。

一位教師執(zhí)教“可能性例2”時創(chuàng)設了摸棋子游戲情境。課伊始，教師拿來一個裝有兩種顏色棋子的盒子，呈現(xiàn)里面紅色棋子和白色棋子的數(shù)量，提問：“摸出一個棋子可能是什么顏色？”生：“紅色或白色。”師：“猜一猜摸到哪種顏色的棋子可能性大？”（學生憑直覺很容易說出紅色的可能性大，因為紅色的棋子多。）這時，教師話鋒一轉，“這只是我們的猜測，需要實驗驗證一下我們的猜測”。此時，教師引導學生進行分組實驗，記錄數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，推測前面的猜想，進而得出哪種顏色棋子多，摸到它的可能性就大。在這個過程中，不僅豐富了學生對不確定現(xiàn)象的體驗，而且加深了學生對隨機事件統(tǒng)計規(guī)律性及事件發(fā)生可能性大小的直觀感受。

讓學生經(jīng)歷“猜測——實驗——數(shù)據(jù)分析——推測結論”的過程是可能性教學的基本思路，也是培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析觀念的重要流程。因為在這個過程中學生能體會到收集數(shù)據(jù)、統(tǒng)計數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的價值，感受到數(shù)據(jù)分析是預測和推測一件事情必須經(jīng)歷的過程。如果課堂上能夠形成“我要收集數(shù)據(jù)”“必須分析數(shù)據(jù)”“我用數(shù)據(jù)說話”這樣的思維過程，那么，學生的數(shù)據(jù)分析觀念已經(jīng)初步形成了。

2. 有效設計問題引領學生聚焦“數(shù)據(jù)”，實現(xiàn)從猜測到推測的過程，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。

如何引領學生聚焦數(shù)據(jù)，自覺收集、分析數(shù)據(jù)，實現(xiàn)從猜測到推測的過程？教師有效設計問題，有利于學生聚焦數(shù)據(jù)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。

一位教師執(zhí)教“可能性例3”時創(chuàng)設了摸球活動情境。引導學生猜一猜：盒子里面哪種顏色的球多？然后統(tǒng)計選擇的人數(shù)：25人選擇黃色，14人選擇白色，再引導學生進行實驗。首先，讓兩名學生到前面每人摸3次，讓學生再猜。學生感受到次數(shù)少，不能說明問題。然后，組織全班學生進行小組摸球，分組記錄數(shù)據(jù)，再匯總全班數(shù)據(jù)。最后，教師讓學生觀察數(shù)據(jù)，再猜測摸到哪種顏色球的可能性大，即哪種顏色的球數(shù)量多。統(tǒng)計選擇的人數(shù)：黃色的人數(shù)為3人，白色的人數(shù)為36人。此時，教師提出一連串問題，讓學生聚焦到數(shù)據(jù)分析，交流碰撞。

師：仍然選擇黃色的同學請起立，老師采訪一下，為什么你還堅持選黃色球？

生：我們組摸到的黃色球的次數(shù)多。

師：改變選擇的同學請舉手，老師采訪一下你們，為什么你們改變了選擇？

生：因為摸到白色球的可能性大。

師：那第6組實驗數(shù)據(jù)，確實是摸到黃球的次數(shù)多呀。

生：我們不能只看這兩組數(shù)據(jù)，大多數(shù)組都是摸到白球的次數(shù)多。

師：只看一組數(shù)據(jù)行不行？可以看多組數(shù)據(jù)，還可以怎么辦呢？

生：把它們加起來，看看整體數(shù)據(jù)。

師：匯總數(shù)據(jù)后，你有什么發(fā)現(xiàn)？

整個活動過程，教師沒有指令學生該進行哪一個環(huán)節(jié)？是在教師和學生共同探討數(shù)學問題的驅動下發(fā)展的，學生逐漸的感受到，實驗次數(shù)少，要多次實驗，即我要做實驗，收集數(shù)據(jù)。當呈現(xiàn)全班數(shù)據(jù)時，教師設計了環(huán)環(huán)相扣的問題串，引導學生感受到收集數(shù)據(jù)是必要的，分析數(shù)據(jù)是必須的；體驗到數(shù)據(jù)蘊含著信息，只有通過大量數(shù)據(jù)信息的分析，才能做出合理的判斷。在這個過程中，學生不僅體驗到事件的隨機性，而且數(shù)據(jù)分析觀念得到有效培養(yǎng)。

3.教師要有效指導實驗，保證數(shù)據(jù)的隨機性和統(tǒng)計的準確性，才能形成統(tǒng)計的規(guī)律性。

為了保證數(shù)據(jù)的隨機性，教師在實驗前要提醒學生明確實驗的要求和目的，深入學生活動中有效指導，確保實驗的有效性。千萬不要出現(xiàn)學生偷看盒子、不搖盒子等現(xiàn)象，這些現(xiàn)象可能都會導致數(shù)據(jù)的極端化，而使數(shù)據(jù)失去隨機價值。我們知道，統(tǒng)計的規(guī)律性一定是建立在隨機抽取的數(shù)據(jù)基礎上，也就是說，當大量重復實驗時，隨機抽取的數(shù)據(jù)越來越多時，統(tǒng)計的數(shù)據(jù)才能呈現(xiàn)一種規(guī)律性。在這個過程中，統(tǒng)計數(shù)據(jù)至關重要。為了保證統(tǒng)計的準確性，可以運用現(xiàn)代信息技術手段（計算器、電子表格求和），跟學生一起統(tǒng)計數(shù)據(jù)，保證數(shù)據(jù)統(tǒng)計的準確性。只有保證了數(shù)據(jù)的隨機性和統(tǒng)計的準確性，才能使統(tǒng)計的數(shù)據(jù)逐步呈現(xiàn)出規(guī)律。但是，一旦出現(xiàn)了規(guī)律不明顯或者矛盾的規(guī)律（錯誤的規(guī)律）， 怎么辦？我覺得教師要引導學生再多做一些重復的實驗，獲得更多的數(shù)據(jù)，還要跟學生一起分析實驗數(shù)據(jù)，分析實驗條件中是否存在問題（如是否搖勻，是否偷看了，是否統(tǒng)計出錯等）。

總之，概率教學離不開統(tǒng)計數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)。教師要不斷研究教材，理清知識的橫縱向聯(lián)系，站在知識的上層建筑，圍繞數(shù)學核心素養(yǎng)“數(shù)據(jù)分析觀念”設計教學、實施教學，才能使數(shù)學課堂煥發(fā)活力，才能彰顯數(shù)學學科的魅力。

編輯∕宋 宇