張延民

本文系山東省小學(xué)數(shù)學(xué)重點(diǎn)課題研究性成果，課題名稱：“幾何直觀”在教學(xué)中的實(shí)踐與研究，課題立項(xiàng)編號：2014ZD0135.

一、對幾何直觀的概述

引子：“在三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫做三角形的高，簡稱為高”.大多數(shù)學(xué)生對這段文字可能不解其意，但教師當(dāng)在三角形里作出了高，大家看到了圖就會(huì)說，“原來就是這樣的線段”，即使學(xué)生已經(jīng)理解了三角形的高的定義，但是在頭腦中存儲的，不是那定義，仍然是那圖形——這就是幾何直觀. 著名數(shù)學(xué)家徐利治先生也有過對幾何直觀的描述：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知. ”《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題. 幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，這里主要是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西，更重要的是依托看到的東西進(jìn)行的數(shù)學(xué)思考和想象.

一般認(rèn)為直觀要體現(xiàn)兩點(diǎn)：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)，可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定式. 通俗地說幾何直觀，就是看圖想事，看圖說理，也包括想圖、畫圖、表達(dá)想法. 幾何直觀就是在“數(shù)學(xué)――幾何――圖形”這樣的一個(gè)關(guān)系鏈中讓我們體會(huì)到它帶來的最大好處.

二、幾何直觀與數(shù)形結(jié)合的關(guān)系

數(shù)形結(jié)合與幾何直觀，區(qū)別到底在哪里？數(shù)形結(jié)合最基本的形式為“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，如果用一個(gè)不太恰當(dāng)?shù)谋扔鱽硇稳輸?shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，它就好比是架設(shè)在“數(shù)”與“形”之間的一條雙向通道，起著由此及彼、相互促進(jìn)的作用. 幾何直觀就是用“形”來解決數(shù)學(xué)問題，如果與數(shù)形結(jié)合做個(gè)對比，那么它就只能算是一條由“形”出發(fā)的單向通道而已. 幾何直觀這個(gè)“形”，可以是眼睛見到的，可以是畫出的，也可以是大腦想到的，更重要的是，它是要依托“形”直接地產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系及事物其他本質(zhì)屬性的感知.

例如：在學(xué)習(xí)“同分子分?jǐn)?shù)大小比較”時(shí)，因?yàn)橹R相對比較抽象，學(xué)生較難理解. 此時(shí)，學(xué)生如果能主動(dòng)地采取畫出（或想到）幾何圖形的方式，然后通過觀察（或想象）圖形的特點(diǎn)及聯(lián)系，那么就能直觀地解決問題，并理解“分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的反而大”的道理. 學(xué)生如果具備這種解決問題的思維方式，掌握這樣的方法，我們就可以說學(xué)生具備了幾何直觀的能力，并且很好的運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想.

三、如何發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力

（一）讓學(xué)生主動(dòng)獲取對圖形的認(rèn)識. 要善于運(yùn)用“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等具體、實(shí)際的活動(dòng)方式，引導(dǎo)學(xué)生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實(shí)驗(yàn)，把視覺、聽覺、觸覺、動(dòng)覺等協(xié)同起來，強(qiáng)有力地促進(jìn)心理活動(dòng)的內(nèi)化，從而使學(xué)生掌握圖形特征，形成空間觀念.

例如：在學(xué)“有余數(shù)的除法”時(shí)，用11根小棒來擺△，可以擺幾個(gè)？還余下幾根呢？請你們先在腦子里搭一搭，再動(dòng)手畫一畫，看看和腦子里想的是不是一樣？然后用算式表示出來. 通過直觀的圖形，學(xué)生了解了余數(shù)的含義，知道了為什么余數(shù)一定要比除數(shù)小的道理，并且還能正確的書寫算式. 再如：學(xué)習(xí)長方形、平行四邊形、三角形、梯形、長方體、圓、橢圓、圓柱體、圓錐體、球體認(rèn)識等，可以借助計(jì)算機(jī)、七巧板、木棒等輔助的實(shí)物直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作等活動(dòng)，感受和探索圖形的特征，積累圖形與幾何的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建立初步的空間觀念.

（二）重視畫圖、識圖，鼓勵(lì)用圖形表達(dá)問題. 在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時(shí)盡量畫，讓同桌之間互相糾正，比一比誰畫的更好、更認(rèn)真、標(biāo)準(zhǔn)，在彼此糾正后再次鞏固基本的畫圖方法，一舉兩得. 其實(shí)質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維.

例如：植樹問題中，借助線段圖向?qū)W生直觀展示非封閉路線植樹相關(guān)概念和類型（間隔、間隔數(shù)、兩端要栽、只載一端、和兩端不栽）；再如：借助集合圈，直觀的解釋四邊形之間的關(guān)系和三角形的分類，滲透集合思想的同時(shí)，讓學(xué)生形象、直觀的理解基本圖形之間的關(guān)系.

（三）化靜為動(dòng)的方法. 一是讓學(xué)生感受圖形的變換. 二是把靜止的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為可見的圖形.

例如：平行四邊形是一個(gè)中心對稱圖形，可以把它看作一個(gè)整體，通過圍繞中心（兩條對角線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180度，去認(rèn)識、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)（對邊平行且相等）；再如：圓面積公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷圓面積公式的形成過程，利用幾何直觀幫助學(xué)生理解圓面積與圓半徑之間的數(shù)量關(guān)系，課堂效益卓見成效.

（四）利用多媒體信息技術(shù). 多媒體技術(shù)除了給學(xué)生展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界外，也多了一條解決問題的途徑.

例如：在“認(rèn)識直線”教學(xué)中，通過多媒體演示，直線是將一條線段的兩端無線延長所形成的圖形，這樣利用多媒體化虛為實(shí)、化抽象為具體、化模糊為清晰、化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)的特殊功能為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了直觀例證，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生多種感官的協(xié)同參與，不僅給學(xué)生滲透了極限思想，而且豐富了學(xué)生的幾何直觀.

四、運(yùn)用幾何直觀應(yīng)注意的問題

（一）要把握應(yīng)用范圍. 幾何直觀所利用的“圖形”主要是指點(diǎn)、線、面、體以及由以上四要素組成的其他幾何圖形，幾何直觀所要描述和分析的問題，不僅可以是生活問題，而且可以是數(shù)學(xué)問題.

（二）要合理運(yùn)用幾何直觀. 在運(yùn)用幾何直觀時(shí)，必須考慮到怎樣由具體過渡到抽象，直觀手段在教學(xué)的哪一個(gè)環(huán)節(jié)上將是不再需要的，幾何直觀應(yīng)當(dāng)使學(xué)生把注意力放在最主要、最本質(zhì)的東西上去.

（三）要準(zhǔn)確運(yùn)用幾何直觀. 在運(yùn)用幾何直觀的實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生往往由于畫圖不準(zhǔn)確、討論不全面、理解片面等原因?qū)е鲁鲥e(cuò)，或有一定的誤差干擾，失去數(shù)學(xué)問題原有的科學(xué)性與嚴(yán)密性. 因此教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生掌握畫圖技巧，準(zhǔn)確運(yùn)用幾何直觀解決問題.

總之，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)，要讓簡約的幾何直觀真正充滿張力，成為師生生命成長的棲息地，還需要我們在今后的教學(xué)實(shí)踐中不斷地思考和探索.