王秀梅

數(shù)學思想和數(shù)學方法是數(shù)學的靈魂，是在數(shù)學研究活動中解決問題的根本想法，是分析問題、解決問題的金鑰匙，是數(shù)學知識的提煉和升華，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.注重數(shù)學思想方法的訓(xùn)練，能提升同學們的數(shù)學能力和思維品質(zhì)，提高分析問題、解決問題的能力，以便于更好地為學生的數(shù)學學習服務(wù).統(tǒng)計作為研究、收集、整理、分析數(shù)據(jù)的一門學科，在實際操作中常會運用以下數(shù)學思想方法.

一、 把握絕佳時機，滲透分類思想

分類是一種非常重要的思想方法.通過分類可以把復(fù)雜的問題化為簡單而熟悉的問題進行解決.只是在分類時要注意選擇正確的分類標準，力爭做到不重不漏.

例1 一組數(shù)據(jù)-1，0，3，5，x的極差是7，那么x的值可能有（ ）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【分析】應(yīng)分兩種情況：

（1） 當x為最大值時，則x-（-1）=7，解得x=6；

（2） 當x為最小值時，則5-x=7，解得x=-2.故x的值有2個，應(yīng)選擇B.

【答案】B.

【點撥】此題易忽視“x為最小值”這種情況，要注意分類討論思想的應(yīng)用.

二、 注重過程體驗，滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略.通過抽象思維和形象思維相結(jié)合，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性和深刻性.

例2 為了解學生對心理健康知識的掌握程度，某校從800名在校學生中，隨機抽取若干名進行問卷調(diào)查，并按“優(yōu)秀”“良好”“一般”“較差”四個等級統(tǒng)計，繪制成如下的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

請根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：

（1） 求頻數(shù)分布表中a、b、c的值并補全頻數(shù)分布直方圖；

（2） 請你估計該校學生對心理健康知識掌握程度達到“優(yōu)秀”的總?cè)藬?shù).

【分析】（1） 由頻數(shù)（率）分布表知，優(yōu)秀的頻數(shù)60，頻率0.3，根據(jù)頻數(shù)、頻率和總量的關(guān)系可求抽樣的總?cè)藬?shù)，從而求得良好的頻率a為0.5，一般的頻數(shù)b為30，較差的頻數(shù)c為10.

（2） 根據(jù)頻數(shù)分布表可知優(yōu)秀學生的頻率為0.3，該校有800名學生，即可估計出該校學生對心理健康知識掌握程度達到“優(yōu)秀”的總?cè)藬?shù).

解：（1） ∵抽樣的總?cè)藬?shù)為60÷0.3=200，

∴a=100÷200=0.5，b=200×0.15=30，c=200×0.05=10.

根據(jù)頻數(shù)分布表補全分布直方圖：

（2） ∵800×0.3=240（人），

∴該校學生對心理健康知識掌握程度達到“優(yōu)秀”的總?cè)藬?shù)估計為240人.

【點撥】此題主要考查了頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖的知識，能夠讀懂圖表中的數(shù)據(jù)是關(guān)鍵，同學們要深刻理解數(shù)形結(jié)合的思想，并根據(jù)各頻數(shù)之間、各頻率之間的數(shù)量關(guān)系進行解題.

三、 建立知識聯(lián)系，滲透整體思想

已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)或方差，求與之相關(guān)的一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)或方差時，常常需要結(jié)合平均數(shù)或方差的定義，運用整體思想解決.

例3 如果數(shù)據(jù)x1、x2、x3的平均數(shù)是2，那么數(shù)據(jù)3x1+1，3x2+3，3x3+5的平均數(shù)是_______.

【分析】因為x1、x2、x3的平均數(shù)是2，所以x1+x2+x3=6，要求數(shù)據(jù)3x1+1，3x2+3，3x3+5的平均數(shù)，只要利用平均數(shù)的定義，整體代入求解.

解：∵x1、x2、x3的平均數(shù)是2，∴x1+x2+x3=6，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，3x1+1，3x2+3，3x3+5的平均數(shù)是（3x1+1+3x2+3+3x3+5）=x1+x2+x3+3=6+3=9.

【點撥】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，如果每個數(shù)據(jù)都放大或縮小相同的倍數(shù)后再同減去一個數(shù)，其平均數(shù)也有相對應(yīng)的變化.

四、 產(chǎn)生自然需求，滲透統(tǒng)計思想方法

統(tǒng)計是一種數(shù)學思想，也是認識客觀事物、描述生活現(xiàn)象、解決實際問題的一種方法.由于它與實際生活聯(lián)系密切，因此也成為中考的熱點.其實這類問題并不難，只要把握好概念間的相互聯(lián)系以及概念的靈活應(yīng)用，問題就會迎刃而解.

例4 某校有 21 名同學參加比賽，預(yù)賽成績各不相同，要取前11名參 加決賽，小穎已經(jīng)知道了自己的成績，她想知道自己能否進入決賽，只需再知道這21名同學成績的（ ）.

A. 最高分 B. 中位數(shù)

C. 極差 D. 平均數(shù)

【分析】一般地，n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).小穎想知道自己能否進入決賽，只要知道她的預(yù)賽成績所在的位置是在第11位之前或之后即可.而排列以后的第11位同學的成績正好是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).故她只要知道這21名同學成績的中位數(shù)即可.

【答案】B.

【點撥】本題考查了統(tǒng)計學最基本的定義，涉及數(shù)據(jù)的平均水平等相關(guān)的內(nèi)容.

例5 在某項針對18～35歲的青年人每天發(fā)微博數(shù)量的調(diào)查中，設(shè)一個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”為m，規(guī)定：當m≥10時為A級，當5≤m<10時為B級，當0≤m<5時為C級.現(xiàn)隨機抽取30個符合年齡條件的青年人開展每人“日均發(fā)微博條數(shù)”的調(diào)查，所抽青年人的“日均發(fā)微博條數(shù)”的數(shù)據(jù)如下：

（1） 求樣本數(shù)據(jù)中為A級的頻率；

（2） 試估計1 000個18～35歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級的人數(shù).

【分析】（1） 先將數(shù)據(jù)分組整理，再計算頻率；

（2） 根據(jù)（1）中求出的頻率，乘總?cè)藬?shù)便求得答案.

解：（1） 將30個數(shù)據(jù)分組整理如下表：

由15÷30=50%，得樣本數(shù)據(jù)中為A級的頻率為 50%.

（2） 1 000×50%=500（人），所以估計1 000個18～35歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級的人數(shù)為500人.

【點撥】統(tǒng)計與概率問題是中考試題中的必考題型之一，對于統(tǒng)計類問題，關(guān)鍵是數(shù)據(jù)的整理、描述與分析，常見的問題是統(tǒng)計圖表，本題一改常態(tài)，沒有考查圖表，但解題時，自己列表整理數(shù)據(jù)，能使數(shù)據(jù)更容易統(tǒng)計計算.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實驗初級中學）