侍然

“摸球試驗”是古典概型的典型代表.很多中考試題常常是以摸球問題為原型，將條件或結論適當?shù)馗淖儭⒁?、重組，命制出精彩的試題.下面就一道有關摸球試驗的課本例題進行變式研究，讓同學們從不同角度、不同層次認識概率.

課本例題（蘇科版《數(shù)學》九上第136頁例4）

一只不透明的袋子中裝有1個白球和兩個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從袋中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、搖勻，再從中任意摸出1個球.求兩次都摸到紅球的概率.

解：把兩個紅球編號為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結果：

由表格可知，共有9種可能出現(xiàn)的結果，并且它們都是等可能的.“兩次都摸到紅球”有4種可能，所以P（兩次都摸到紅球）=.

【方法歸納】當試驗結果分為2步，但所有等可能出現(xiàn)的結果數(shù)較大時，運用“表格”較為清晰、便捷；當試驗結果分為3步時，則一般運用“樹狀圖”列出所有等可能出現(xiàn)的結果求解.

變式一：求兩次摸到同樣顏色球的概率.

變式二：如果第一次摸出的球不放回，那么兩次都摸到紅球的概率是多少？

【分析】變式一只需從表格中找到兩次摸到同樣顏色球有5種可能.所以P（兩次都摸到同樣顏色球）=.

變式二屬于“不放回”的情況，先列出表格為：

所以第一次摸出的球不放回，兩次都摸到紅球的概率==.例題與變式二區(qū)別在于前者是“放回”，后者是“不放回”，要注意它們列出表格的不同點.如果條件是“一次摸兩個球”，這里雖然沒有明說是放回還是不放回，但是我們也應做不放回處理.

變式三：有甲、乙兩個不透明的布袋.甲袋中有兩個完全相同的小球，分別標有數(shù)字1和-2；乙袋中有三個完全相同的小球，分別標有數(shù)字-1、0和2.小麗先從甲袋中隨機取出一個小球，記下小球上的數(shù)字為x，再從乙袋中隨機取出一個小球，記錄下小球上的數(shù)字為y，設點P的坐標為（x，y）.

（1） 請用表格或樹狀圖列出點P所有可能的坐標；

（2） 求點P在一次函數(shù)y=x+1圖像上的概率.

【分析】變式三由原來單一地求概率到利用概率知識與方程、函數(shù)等其它知識相結合的綜合性問題，考查了解決綜合問題的能力.

解：（1） 畫樹狀圖：

∴點P所有可能的坐標為：（1，-1）、（1，0）、（1，2）、（-2，-1）、（-2，0）、（-2，2）.

（2） ∵只有（1，2）、（-2，-1）這兩個點在一次函數(shù)y=x+1的圖像上，

∴P（點P在一次函數(shù)y=x+1的圖像上）==.

變式四：一只不透明的袋子中，裝有兩個白球和1個紅球，這些球除顏色外都相同.

（1） 小明認為，攪勻后從中任意摸出一個球，不是白球就是紅球，因此摸出白球和摸出紅球是等可能的.你同意他的說法嗎？為什么？

（2）攪勻后從中一把摸出兩個球，請通過列表或樹狀圖求兩個球都是白球的概率；

（3）攪勻后從中任意摸出一個球，要使摸出紅球的概率為，應如何添加紅球？

【分析】變式四中第（1）題有的同學會只考慮球的顏色而忽略球的的個數(shù)，認為摸出白球和摸出紅球是等可能的.第（2）題容易忽視“一把摸出兩個球”這一條件，它實質(zhì)屬于“不放回”的情況，不少同學往往因分析失誤，就會對可能出現(xiàn)的結果數(shù)判斷出錯，從而造成解題出錯.第（3）題既考查概率意義，又考查同學們靈活運用概率知識設計方案的能力.

解：（1） 不同意小明的說法.

因為摸出白球的概率是，摸出紅球的概率是，因此摸出白球和摸出紅球不是等可能的.

（2） 樹狀圖如圖：

∴P（兩個球都是白球）==.

（3） 方法一：設應添加x個紅球，

由題意得=，

解得x=3（經(jīng)檢驗是原方程的解）.

方法二：∵添加后P（摸出紅球）=，

∴添加后P（摸出白球）=1-=，

∴添加后球的總個數(shù)=2÷=6，

∴應添加6-3=3（個）紅球.

答：應添加3個紅球.

有關以“摸球”為背景的概率題目是我們比較熟悉的常見問題.學習過程中同學們要對這些典型問題反復進行一題多變的訓練，既可以增長知識，又能培養(yǎng)思維能力.同學們要注意積累經(jīng)驗，提高能力.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實驗初級中學）