夏金艷

“楊輝三角中的一些秘密”是人教A版選修2—3第一章后的“探究與發(fā)現(xiàn)”。楊輝三角蘊(yùn)含了豐富的數(shù)字規(guī)律和數(shù)學(xué)思想方法，具有數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、和諧美以及數(shù)字的神奇美和數(shù)形結(jié)合的統(tǒng)一美。筆者以這節(jié)課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)課堂中滲透美育。

一、在情境中欣賞美

為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師利用生活實(shí)例——縱橫路線圖導(dǎo)入新課。

2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)上，為了節(jié)省時(shí)間，導(dǎo)引人員必須引導(dǎo)觀眾按照最短路徑從一個(gè)場(chǎng)館到另一個(gè)場(chǎng)館。假設(shè)奧運(yùn)場(chǎng)館的分布如圖1所示：節(jié)點(diǎn)表示場(chǎng)館，網(wǎng)線表示倫敦比賽區(qū)域的交通道路，每個(gè)方格內(nèi)均有建筑物，觀眾只能沿著網(wǎng)線行走。請(qǐng)問，“從A處走到B處，從A處走到E處，從A處走到G處，各有多少種不同的走法？”學(xué)生通過觀察思考，很快得出了答案。教師在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置上標(biāo)出走法數(shù)，就得到楊輝三角的一部分（圖2）。如此導(dǎo)入，既讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，又讓學(xué)生欣賞到了生活中的實(shí)際問題與數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化之美。

楊輝三角是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就之一，為了激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情和學(xué)習(xí)興趣，教師還利用多媒體向?qū)W生介紹了楊輝三角的簡(jiǎn)史：楊輝三角最早是由我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲在進(jìn)行高次開方運(yùn)算時(shí)使用的，之后由南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中記載并保存。在歐洲，直到600年后，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡才提出了“帕斯卡三角”。由此可見，我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就非常偉大。

二、在探究中感受美

楊輝三角中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)字規(guī)律，教師按照由易到難的順序設(shè)計(jì)了五個(gè)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究、合作交流探索其中的奧秘。

探究1：（1）觀察楊輝三角（圖3），你能發(fā)現(xiàn)每一行數(shù)字的規(guī)律嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)組成它的相鄰兩行的數(shù)字間有什么關(guān)系嗎？

探究1是基礎(chǔ)性探究，學(xué)生結(jié)合現(xiàn)有知識(shí)，很容易觀察出楊輝三角橫行數(shù)字間的規(guī)律。因此，教師要求學(xué)生獨(dú)立思考后，相互交流補(bǔ)充。通過交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)栴}（1）中，三角形兩條腰上都是數(shù)字1；三角形每一行中的數(shù)字左右對(duì)稱，即[Crn=Cn-rn（n∈N？，r∈N）]；三角形每一行中的數(shù)字先增大再減小，在中間取得最大值；三角形的第n行的和為[2n（n∈N）]。問題（2）中，三角形的兩條腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和，即：

這兩個(gè)簡(jiǎn)單的探究從學(xué)生已有的知識(shí)切入，既引起了他們對(duì)楊輝三角的關(guān)注，又讓他們感受到了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和簡(jiǎn)潔美。接下來(lái)，教師依次出示探究2—5，引導(dǎo)學(xué)生多角度發(fā)現(xiàn)楊輝三角的奧秘。

探究2：（1）觀察斜線上的數(shù)字（圖4），你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）觀察下列斜線中的數(shù)字（圖5），你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)用組合數(shù)表示出來(lái)。

（3）根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能進(jìn)一步猜想出一般結(jié)論嗎？

（4）利用組合數(shù)的定義和性質(zhì)證明這個(gè)結(jié)論。

探究3：按照?qǐng)D示（圖6）的方法寫出斜線上的各行數(shù)字的和。仔細(xì)觀察這些和，你有什么發(fā)現(xiàn)？

探究2和探究3是引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)楊輝三角斜行數(shù)字間的規(guī)律，其中探究2是本節(jié)課的難點(diǎn)。根據(jù)本班學(xué)生的實(shí)際情況，教師將其分解成四個(gè)小問題，引導(dǎo)學(xué)生由易到難逐步解決，最終得到一般結(jié)論。

對(duì)于第（1）個(gè)問題，教師的預(yù)設(shè)是，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+5+6=21， 1+3+6+10+15=35，1+4+10+20=35，并觀察到第2條斜線上的數(shù)字和在下一行的第3個(gè)位置。然而，學(xué)生并沒有按照教師的設(shè)想來(lái)回答，他們有的認(rèn)為，每條斜線上從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成了等差數(shù)列，可以利用累加法求出這條線上的某個(gè)數(shù)字；有的認(rèn)為，每條斜線上的數(shù)字和都可以寫成[n（n+1）2]的形式。這種發(fā)現(xiàn)超出了教師的預(yù)期，教師及時(shí)給予了肯定與鼓勵(lì)。

或許是受圖形中連線的影響，學(xué)生的思維始終拘泥于斜線上的數(shù)字，再難有新的發(fā)現(xiàn)。于是，教師給出了第二組圖形（圖5），提示學(xué)生注意拐角處增加的短線。學(xué)生激烈地討論著，有的說(shuō)1+2+3+4+5=15，1+3+6+10+15=35，1+4+10+20=35；有的說(shuō)可以把這些數(shù)用組合數(shù)表示出來(lái)，得出這樣的結(jié)論：

教師抓住時(shí)機(jī)，順勢(shì)導(dǎo)入問題（3），讓學(xué)生猜想一般結(jié)論。學(xué)生通過觀察三條斜線在楊輝三角中的位置以及這三個(gè)式子，較容易地得出了一般結(jié)論：

[Crr+Crr+1+Crr+2+？？？+Crn-1=Cr+1n（n>r，r∈N？）]

教師沒有滿足于這點(diǎn)收獲，向?qū)W生提出了有一定難度的問題（4）。這個(gè)問題看似有一定的難度，但學(xué)生只要結(jié)合以前所學(xué)的知識(shí)并利用探究1中的結(jié)論，就能找到解題途徑。事實(shí)上，大部分學(xué)生也正是用這種方法證明出了

隨著這四個(gè)問題的逐個(gè)解決，本節(jié)課的難點(diǎn)也就突破了。教師及時(shí)出示了探究3（圖6），促使學(xué)生熟練運(yùn)用并鞏固所學(xué)的思考方法。學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考，得出了結(jié)果：從第3條斜線中的數(shù)字起，其后各斜線中的和是前兩條斜線中數(shù)字和之和，即[an-2+an-1=an（n≥3）]，這就是著名的菲波拉契數(shù)列。教師簡(jiǎn)單地介紹了斐波那契數(shù)列及其應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)字的神奇之美。

楊輝三角之妙絕不僅限于此，為了讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)其中的奧妙，教師設(shè)計(jì)了探究4和探究5，引導(dǎo)他們探究楊輝三角中的數(shù)字與行數(shù)間的關(guān)系。

探究4：（1）觀察楊輝三角中的第2，3，5，7行（圖7），思考這幾行的數(shù)字與行數(shù)之間有什么關(guān)系？（2）滿足這種規(guī)律的行的行數(shù)有什么特征？請(qǐng)說(shuō)明理由。

自主探究后，有的學(xué)生說(shuō)，這幾行數(shù)字除了1以外，都能被行數(shù)整除；有的說(shuō)，2，3，5，7都是質(zhì)數(shù)，滿足這種規(guī)律的行的行數(shù)都是質(zhì)數(shù)。有一名學(xué)生提出疑問：所有的質(zhì)數(shù)行都滿足這樣的規(guī)律嗎？大家通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)：第13行除去兩端的數(shù)字外，都可以被13整除；第17行除去兩端的數(shù)字外，也都可以被17整除。于是，大家猜想到，所有的質(zhì)數(shù)行中除去1以外的每個(gè)數(shù)都能被行數(shù)整除?？墒?，問題出現(xiàn)了，楊輝三角中有無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)數(shù)行，不可能一一去驗(yàn)證??！

學(xué)生陷入了沉思，不知道從哪個(gè)角度來(lái)說(shuō)明。教師及時(shí)給予提示：要證明這個(gè)問題，需要說(shuō)明質(zhì)數(shù)行中除去1以外的每個(gè)數(shù)都能被行數(shù)整除，而這些數(shù)都可以寫成組合數(shù)的形式，我們能否利用組合數(shù)來(lái)證明呢？這樣一提示，學(xué)生有了新的思路。一名學(xué)生說(shuō)，第n行中第r個(gè)數(shù)可以寫成[Crn]，[Crn=n·（n-1）？？？2？1r！]，n為質(zhì)數(shù)，不能被[2？？？r]中的任何數(shù)整除，所以[Crn]能被n整除。另一名學(xué)生做了補(bǔ)充：[n？（n-1）？？？2？1r！]寫成這樣的形式[n？（n-1）？？？2？1r！]，[n？（n-1）？？？2？1r！]為整數(shù)，由于n為質(zhì)數(shù)，不能被任何數(shù)整除，則[（n-1）？？？2？1r！]為整數(shù)，所以[Crn]能被n整除。還有學(xué)生進(jìn)一步補(bǔ)充：除去兩端的1，還需要限制[r≠0，r≠n]。

這個(gè)過程中，學(xué)生通過討論、合作、交流、互動(dòng)，不僅碰撞了思維，解決了問題，而且感受到了數(shù)學(xué)的邏輯美。

探究5：（1）觀察楊輝三角（圖8）中的第0，1，3，7行，你發(fā)現(xiàn)這幾行的數(shù)字有什么規(guī)律？（2）哪些行有這種規(guī)律？請(qǐng)說(shuō)明理由。

第（1）問，學(xué)生解決得很順利：這幾行數(shù)字都是奇數(shù)，并且第[2n-1（n∈N）]行都具有這樣的規(guī)律。問題（2）由于坡度太大，學(xué)生一時(shí)找不到思考路徑。經(jīng)過教師引導(dǎo)，一名學(xué)生談了自己的想法：把每一行到下一行的過程看作一次從奇數(shù)到偶數(shù)或者從偶數(shù)到奇數(shù)的變換過程，從第0行到第1行經(jīng)過1次變換，從第1行到第3行經(jīng)過2次變換，從第3行到第7行經(jīng)過4次變換，從第7行到第15行經(jīng)過8次變換，按照這種規(guī)律可以得出答案。雖然他的說(shuō)明有道理，但不能作為嚴(yán)格的證明。由于時(shí)間問題，也只能把這個(gè)問題留到課后讓學(xué)生自己去探究了。

因教師預(yù)設(shè)時(shí)考慮不周，導(dǎo)致這個(gè)階段耗時(shí)耗力而收效甚微，這也是這節(jié)課最值得引以為戒的地方。如果說(shuō)到收獲，這個(gè)過程中最大的收獲在于，學(xué)生體會(huì)到了從特殊到一般的歸納方法，并感受到了數(shù)字的神奇之美。

三、在延伸中領(lǐng)悟美

課即將結(jié)束時(shí)，教師向?qū)W生提出了一個(gè)具有延伸性質(zhì)的問題：探究5（1）中，我們只是憑推測(cè)得出了規(guī)律，卻沒有說(shuō)明為什么第[2n-1=0]行的數(shù)字都是奇數(shù)?，F(xiàn)在，請(qǐng)大家發(fā)揮聰明才智，嘗試著證明這個(gè)問題。學(xué)生經(jīng)過討論交流，找到了這樣的解題思路：規(guī)定奇數(shù)記為1，偶數(shù)記為0，則楊輝三角可以變形成如下形式（圖9）。

利用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n=0時(shí)，[2n-1=0]是第0行，第0行中所有的數(shù)都是奇數(shù)；當(dāng)n=1時(shí)，[2n-1=1] 是第1行，第1行中所有的數(shù)都是奇數(shù)。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，第[2k-1]行中所有的數(shù)為奇數(shù)，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由假設(shè)知道，第[2k-1]行中所有的數(shù)為奇數(shù)。按照探究1（2）中得到的結(jié)論（楊輝三角中每行除兩腰的數(shù)字外，其他的數(shù)字都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字的和），由1+0=1，0+0=0可得，第[2k]行中除了兩端的數(shù)字為1外，其他的數(shù)字都為0，即第[2k]行中間就有[2k-1]個(gè)0，每計(jì)算一次，下一行與上一行相比中間位置減少1個(gè)0。從第[2k]行中間位置有[2k-1]個(gè)0到中間位置沒有0，則需要[2k-1]次計(jì)算，[2k+2k-1=2k+1-1]，因此[2k+1-1]行的中間位置沒有0，全部為1；而其他位置經(jīng)過偶數(shù)次變換得到0，經(jīng)過奇數(shù)次變換得到1，而[2k-1]是奇數(shù)，因此第[2k+1-1]行全部為奇數(shù)。綜上可知，第[2n-1（n∈N）]行中的所有數(shù)字全部是奇數(shù)。

這個(gè)探究過程中，學(xué)生的思維十分活躍，在縝密的思考和推理中，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美，靈活之美。

（作者單位：江漢油田廣華中學(xué)）

數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)、圖形、形式無(wú)不體現(xiàn)出美學(xué)因素，比如數(shù)與形的統(tǒng)一、符號(hào)和圖形的對(duì)稱、動(dòng)態(tài)和靜態(tài)等都透著濃郁的美感。教學(xué)中，教師如果能將這些美充分挖掘和展示出來(lái)，學(xué)生就能在學(xué)習(xí)中享受數(shù)學(xué)之美，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣。

在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，我與學(xué)生一起進(jìn)行了用紙折圓錐曲線的實(shí)驗(yàn)。

首先，我要求學(xué)生在一張白紙上畫一個(gè)圓，圓心為O，在圓內(nèi)取一個(gè)異于圓心的點(diǎn)A；在圓上任取一點(diǎn)，對(duì)折，使該點(diǎn)與A點(diǎn)重合，用直尺與鉛筆將折痕畫出來(lái)；在圓上取不同的點(diǎn)，重復(fù)上述過程。學(xué)生畫出許多條折痕后，驚喜地發(fā)現(xiàn)，這些直線圍成的圖形竟是一個(gè)橢圓。在此基礎(chǔ)上，我利用計(jì)算機(jī)模擬了紙折圓錐曲線的過程（這其實(shí)是利用直線的運(yùn)動(dòng)痕跡來(lái)模擬折痕，這個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)在幾何畫板軟件中很好實(shí)現(xiàn)）。這個(gè)過程中，學(xué)生先是經(jīng)歷了動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)結(jié)論的喜悅，又在信息技術(shù)的幫助下感受到了直線運(yùn)動(dòng)帶來(lái)的視覺沖擊，心里激動(dòng)不已。

接著，我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述過程的結(jié)論（這些直線能夠圍成一個(gè)橢圓，說(shuō)明這些直線上都有且僅有一個(gè)橢圓上的點(diǎn)）進(jìn)行推理論證。學(xué)生經(jīng)過討論交流，有了這樣的思維過程（圖略）：圓O的半徑為R，A點(diǎn)是圓內(nèi)異于O的一點(diǎn)，B點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，直線L是線段AB的中垂線，L與線段OA交于P點(diǎn)。那么P點(diǎn)的軌跡是什么？學(xué)生連接OA，根據(jù)橢圓的第一定義發(fā)現(xiàn)了軌跡是橢圓。這也就說(shuō)明了前面的每條折痕上都有一個(gè)點(diǎn)在以O(shè)、A為焦點(diǎn)，以R為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上。那么，折痕上是否還有其他的點(diǎn)在橢圓上呢？這個(gè)問題既是解決上述問題的需要，又能體現(xiàn)思維的批判性。學(xué)生解決完這些問題后，對(duì)橢圓定義的理解更深刻了，對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)思維的批判性有了更深的認(rèn)識(shí)。

最后，我引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的定義的統(tǒng)一性進(jìn)行思考：能否用紙折雙曲線、拋物線？如果可以，該如何操作？學(xué)生帶著這些問題主動(dòng)思考與探究，體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的樂趣。

（江漢油田廣華中學(xué) 柯 麗）

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)美育素材，教師有意識(shí)地挖掘、整理并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞，能讓學(xué)生在創(chuàng)造的過程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美。

教學(xué)選修2-1的《圓錐曲線與方程》，在曲線軌跡探究過程中，我引導(dǎo)學(xué)生用套在細(xì)線上的鉛筆尖畫成橢圓，用拉鏈的拉開或閉攏帶動(dòng)筆尖畫出雙曲線，并觀察幾何畫板演示動(dòng)點(diǎn)的拋物線軌跡，以及在由點(diǎn)動(dòng)成線的過程中實(shí)現(xiàn)的量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化。學(xué)生在操作和觀察中感受到了數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)美。

此外，在這節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生還從不同建系方式取得方程的比較中，感受到了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美；從橢圓與雙曲線都關(guān)于坐標(biāo)軸與原點(diǎn)對(duì)稱中，感受到了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美；從由圓錐曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)反射后，其反射光線所在直線必須經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)中，感受到了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。

這些美遙相呼應(yīng)，構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的亮麗風(fēng)景。

（江漢油田廣華中學(xué) 徐洪軍）

華羅庚說(shuō)：“認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，沒有藝術(shù)性，這種看法是不正確的，就像人站在花園外面，說(shuō)花園里枯燥無(wú)味一樣?！睌?shù)學(xué)老師善于捕捉和引導(dǎo)，能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。

教學(xué)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》時(shí)，為了讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得美的感受，我先播放了“神舟5號(hào)”飛船發(fā)射的視頻及飛船運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)畫；接著要求學(xué)生兩人一組，互相協(xié)作，在事先準(zhǔn)備好的白紙上，利用課本上介紹的方法繪制橢圓；然后鼓勵(lì)學(xué)生利用幾何畫板軟件在電腦屏幕上繪制橢圓，并對(duì)橢圓設(shè)置參數(shù)；最后安排各學(xué)習(xí)小組通過觀察身邊的事物，或者上網(wǎng)查閱資料，列舉橢圓在生活中的應(yīng)用。

課堂上，學(xué)生表現(xiàn)十分出色。觀看視頻時(shí)，學(xué)生在愉悅的氛圍中欣賞著優(yōu)美的畫面，既感受到了橢圓與大自然的密切聯(lián)系，又生發(fā)了學(xué)好數(shù)學(xué)創(chuàng)造美好事物的迫切愿望；繪制橢圓時(shí)，學(xué)生看到隨著參數(shù)的改變，自己親手繪制的橢圓發(fā)生一系列神奇變化后，發(fā)出陣陣驚嘆，在不知不覺中由數(shù)學(xué)的顯性美悟出了數(shù)學(xué)的隱性美；拓展應(yīng)用這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生在兩天后作了“美麗的橢圓”專題匯報(bào)，有的小組展示了橢圓形腕表，有的小組展示了手工制作的地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道模型，有的小組展示了“黃金橢圓”……每一件作品都顯現(xiàn)出了獨(dú)有的美。

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾斯說(shuō)，“數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)”。教師用創(chuàng)造的眼光來(lái)審視數(shù)學(xué)，就能不斷地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。

（江漢油田廣華中學(xué) 劉旭光）

用數(shù)學(xué)美的思想解題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要策略。它能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直覺思維，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在聯(lián)系，從中欣賞數(shù)學(xué)之美，感受解題樂趣。更重要的是，它能開拓學(xué)生的思維空間，啟迪他們的智慧，培養(yǎng)他們的多元思維和創(chuàng)新精神，使其獲得學(xué)習(xí)的愉悅感。

（江漢油田廣華中學(xué) 張希杰）

責(zé)任編輯 姜楚華