◇北京王雪芹(特級(jí)教師)高雪松

1身兼數(shù)“職”平常事

應(yīng)當(dāng)說,數(shù)學(xué)中普遍存在這種“身兼數(shù)職”的現(xiàn)象,其意義既很微妙(值得耐心體味),又很重大(值得深入研究)．

2“組合數(shù)”關(guān)乎大局

1) 組合數(shù)應(yīng)用之一——可以簡(jiǎn)單證明“二項(xiàng)式定理”.按定義

①

你看,不費(fèi)“吹灰之力”,就證明了二項(xiàng)式定理,比用數(shù)學(xué)歸納法證明要簡(jiǎn)單得多．

此法還可推廣使用于求(x+a1)(x+a2)…(x+an)的展開式,如求(x+2/x-2)5展開式中常數(shù)項(xiàng):

用上述方法很容易求出展開式常數(shù)項(xiàng)是

2) 推動(dòng)“組合數(shù)學(xué)”學(xué)科的建立．組合數(shù)學(xué)是研究離散對(duì)象的排布、配置、選取、分類、組織與結(jié)合等的數(shù)學(xué)學(xué)科,中國(guó)古代研究的九宮、八卦、干支計(jì)數(shù)等,都屬于組合數(shù)學(xué)．賈憲-楊輝三角及相關(guān)恒等式的研究,流行的游戲與博弈,如圍棋、中國(guó)象棋、國(guó)際象棋、麻將、撲克、橋牌等,都與組合數(shù)學(xué)有關(guān)．

組合數(shù)學(xué)關(guān)心的是,事物按某種規(guī)則的安排,這種安排的存在性、構(gòu)造、計(jì)數(shù)和分類等．組合數(shù)學(xué)自誕生以來,已積累了大量?jī)?yōu)異的模型、原理、典型方法和技巧,如加法原理、乘法原理、容斥原理,線排列模型、環(huán)形排列模型,遞推方法以這些優(yōu)異的成果來反哺數(shù)學(xué)．

3) 通過對(duì)組合數(shù)學(xué)豐碩成果的分析,獲得了若干典型的、規(guī)律性的認(rèn)識(shí),并用以對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的概念、法則、公式、命題等,進(jìn)行規(guī)律化處理,事實(shí)上.無論是數(shù)學(xué)概念的定義,法則的應(yīng)用,還是命題的證明,無處不貫串著組合因素(順序和結(jié)構(gòu)以及順序結(jié)構(gòu)的變化時(shí),那種保持不變的東西).為深刻理解,正確掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法,就要著意抓住和厘清其中的組合因素．這種著意發(fā)現(xiàn)、抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容中組合因素的思想,力求抓住數(shù)學(xué)問題中,當(dāng)結(jié)構(gòu)和順序變化時(shí),不變的因素(在紛繁的情況中一致因素)的思想方法,就是組合思想．

有了組合思想就能看穿全局、把握全局,因此,組合思想是一種全局性的思想,是從數(shù)學(xué)本身中概括出來的學(xué)習(xí)、研究、應(yīng)用、教學(xué)數(shù)學(xué)的一種戰(zhàn)略思想．

3與多項(xiàng)式聯(lián)姻

1) 展開式系數(shù)結(jié)構(gòu)的組合特征

②

這就為二項(xiàng)式定理帶來更多的證法．筆者搜集到一些,供大家研究．

③

④

由式③+④得

當(dāng)x≠-1時(shí),{Sn}為等比數(shù)列,首項(xiàng)S1=1+x,公比q=1+x,從而

Sn=(1+x)(1+x)n-1=(1+x)n.

當(dāng)x=-1時(shí),可直接驗(yàn)證:Sn=0=(1+x)n.

綜上可得

⑤

令x=b/a,代入式⑤得

兩邊同乘以bn得

(a+b)n=an(1+x)n=anSn=

這就是式①.

證法2(拆項(xiàng)法)這是與證法1過程相反的方法:

證法3(微分法)設(shè)f(x)=(x+b)n,展開式為

f(x)=a0xn+a1xn-1b+…+

amxn-mbm+…+an-1xbn-1+anbn,

微分,得

f′(x)=n(x+b)n-1=na0xn-1+(n-1)a1xn-2b+…+

(n-m)amxn-m-1bm+an-1bn-1,…,f(n-m)(x)=

n(n-1)…(m+1)a0xm+…+(n-m)…

2am-1xbm-1+(n-m)!ambm.

在f(x),f′(x),…,f(n-m)(x)中,令x=0,得

bn=anbn,nbn-1=an-1bn-1,…,

n(n-1)…(m+1)bm=(n-m)!ambm,

按組合公式即知

此法的好處在于順帶得出了am的計(jì)算公式.

取a=1,b=-1,得

類似地,還可導(dǎo)出很多．

4從賈憲到華羅庚

我們今天所說的“楊輝三角”出自1261年楊輝著的《詳解九章算法》,名字是“開方作法本源圖”,自注稱“出于《釋鎖》算書,賈憲用此術(shù)”．其中只到第7行:1,6,15,20,15,6,1.后朱世杰《四元玉鑒》(1303年)有“古法七乗方圖”者,寫到第9行,即(a+b)8展開式的系數(shù)．不像我們今天,寫幾行后,就用“…”表示可繼續(xù)到任意行．此圖在賈憲那里,是用來“開方”的,而朱世杰則用來做“乘方”．

圖1

2) 它形象、直觀、優(yōu)美,初步的規(guī)律顯而易見,深入觀察,則可發(fā)現(xiàn)一些更深刻的規(guī)律．因此,它體現(xiàn)數(shù)學(xué)美,數(shù)學(xué)觀察、類比、發(fā)現(xiàn)、這些合情推理的思想．

4) “楊輝三角”有獨(dú)立的研究?jī)r(jià)值．

如數(shù)學(xué)大師華羅庚著《從楊輝三角談起》一書,除了講“楊輝三角的基本性質(zhì)”和“二項(xiàng)式定理”之外,還討論了“楊輝三角的一些應(yīng)用”．這些應(yīng)用項(xiàng)目有:開方,高階等差級(jí)數(shù),差分多項(xiàng)式,逐差法,堆積術(shù),混合級(jí)數(shù),無窮混合級(jí)數(shù),循環(huán)級(jí)數(shù)(包括斐波納契級(jí)數(shù)),倒數(shù)級(jí)數(shù)和反平方級(jí)數(shù)等．由于講得深入淺出,高中同學(xué)都能看懂，但現(xiàn)在多已“打進(jìn)”了高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域．

筆者大力倡導(dǎo)“初等數(shù)學(xué)研究”并在《數(shù)陣及其應(yīng)用》一書(哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012年)中,深入地研究了楊輝數(shù)陣(由楊輝三角旋轉(zhuǎn)而成)

其斜通項(xiàng)為

而它的直通項(xiàng)(第i行的第j個(gè)數(shù))為

它有非常豐富的性質(zhì),如它是個(gè)對(duì)稱數(shù)陣:yij=yji,第i行是(i-1)階等差數(shù)列等．

(作者單位：北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué))