張 俊

(云南華聯(lián)鋅銦股份有限公司，云南 文山 663701)

回歸分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中重要的一種數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析思想。它是研究變量之間相互關(guān)系的具體形式，為估算和預(yù)測(cè)提供一個(gè)重要的方法。首先對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的數(shù)量聯(lián)系進(jìn)行測(cè)定，確定一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再根據(jù)這個(gè)數(shù)學(xué)方程式可以從已知量來推測(cè)未知量。

1 問題的提出

表1為某選廠處理量及用電量情況統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)表1中幾組關(guān)于選廠處理量x及用電量y的關(guān)系數(shù)據(jù)，確定出兩者的關(guān)系。

表1 某選廠處理量及用電量情況統(tǒng)計(jì)表

2 問題的分析

選廠的用電量是受很多的因素所決定的，我們?cè)谶@里進(jìn)行分析，假設(shè)主要影響因素為處理量，從而減少在計(jì)算以及統(tǒng)計(jì)上的困難，但是這也在很大的程度上減少了結(jié)果的實(shí)際意義。

針對(duì)以上所給的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，作出回歸分析及借助重要的電子數(shù)學(xué)軟件，從而來確定這兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并計(jì)算出兩者之間的回歸方程，再對(duì)方程的可信度進(jìn)行檢驗(yàn)。

3 問題的解決

3.1 建立模型

運(yùn)用回歸分析統(tǒng)計(jì)方法，根據(jù)表1中數(shù)據(jù)初步作出處理量x及用電量y之間的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，如圖1，并在散點(diǎn)圖中找出關(guān)于二者之間的初步關(guān)系W。

圖1 用電量與處理量關(guān)系散點(diǎn)圖

從散點(diǎn)圖中可以看出，這11個(gè)點(diǎn)分布在一條直線l的附近，從而可以初步認(rèn)為y和x的關(guān)系基本上是線性的，而這些點(diǎn)與直線的偏離是由其他一切隨機(jī)因素影響而成的，因此可以假設(shè)表1中的數(shù)據(jù)有以下的關(guān)系式W：

yi=β1x+β0+ε

(1)

其中β1x+β0表示y隨x的變化而線性變化的部分，ε是一切隨機(jī)因素影響的總和，有時(shí)也稱隨機(jī)誤差，它是不可觀測(cè)其值得隨機(jī)變量，并假定其數(shù)學(xué)期望E(ε)=0，方差Var(ε)=δ2。

并且ε服從正態(tài)分布N(0，δ2)。X可以是隨機(jī)變量也可以是一般變量，而在以下的討論中，都假定處理量X是一個(gè)隨機(jī)變量，但其值是可以觀測(cè)的，其數(shù)學(xué)期望是處理量X的線性函數(shù)：

E(y)=β1x+β0

(2)

這既是用電量Y與處理量X的相關(guān)關(guān)系式。

對(duì)表1的幾組數(shù)據(jù)觀測(cè)值，由公式(1)可得

yt=βixt+β0+εt，i=1，2，…，11

(3)

各εt是相互獨(dú)立：E(εt)=0，方差Var(εt)=δ2，i=1，2，3，…，11，并且將式(3)稱為一元線性回歸模型。

3.2 模型求解

建立一元線性模型(3)后的首要任務(wù)就是根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出β1、β0，從而確定兩個(gè)變量之間的關(guān)系W。如圖1所示，坐標(biāo)平面上與所列點(diǎn)“接近”的直線可以有很多條，那么究竟哪一條稱得上“適當(dāng)”呢?從不同的角度出發(fā)，可以有很多種考慮。在回歸分析中，為人們普遍采用的準(zhǔn)則是，在每個(gè)xi對(duì)應(yīng)的指標(biāo)實(shí)測(cè)值yi與由(2)式確定的指標(biāo)理論值的離差平方和

(4)

為最小的條件下，確定待定系數(shù)β1、β0，這就是最小二乘準(zhǔn)則。

由上面的分析可知，選擇一條適當(dāng)直線的依據(jù)是最小二乘準(zhǔn)則，這樣便把尋找適當(dāng)直線的問題轉(zhuǎn)化為使Q(β1、β0)達(dá)到最小條件下求出β1和β0的問題。

因?yàn)镼(β1、β0)是β1和β0的非負(fù)二元函數(shù)，所以最小值無疑是存在的。由微分學(xué)中的極值原理可知，待定系數(shù)β1和β0就是所謂正規(guī)方程組的解：

(5)

需要說明的是，方程組(5)的解對(duì)于不同的樣本是不同的。所以，實(shí)際上由于確定的β1和β0是給定樣本下的估計(jì)值。這種在最小二乘準(zhǔn)則下產(chǎn)生的估計(jì)稱為最小二乘估計(jì)。

解正規(guī)方程組(5)得：

(6)

即處理量x及用電量y之間的線性關(guān)系方程式為：

y=42.74x+5.19

(7)

β1=42.74，說明處理量x每增加1萬噸時(shí)，用電量就增加42.74萬度，這表明處理量x及用電量y具有正的線性相關(guān)關(guān)系。

將這個(gè)回歸方程的圖像與散點(diǎn)圖進(jìn)行比較，并進(jìn)行分析，畫出二者的關(guān)系如圖2。

圖2 用電量與處理量線性回歸圖

可以從圖2中看出表1中的11個(gè)數(shù)據(jù)都比較穩(wěn)定的落在直線的附近，從而可以初步的認(rèn)為模型(3)所確立而得到的回歸方程是有意義的，但是還是要通過科學(xué)的檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)它的可信度。

3.3 模型檢驗(yàn)

建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程的目的在于揭示兩個(gè)相關(guān)變量x與y之間的內(nèi)在關(guān)系，然而對(duì)于任意樣本的觀測(cè)值(xi，yi)(i=1，2，…n)作出的散點(diǎn)圖，即使一眼可以看出x與y之間根本不存在線性關(guān)系，也可以通過式(6)求出回歸方程yt=βixt+β0，但此時(shí)的回歸方程是毫無意義的，所以必須有一種方法去檢驗(yàn)回歸方程的可信度，在統(tǒng)計(jì)中稱為回歸顯著性檢驗(yàn)。在此我們采用相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?3)的可信度。

(8)

將(8)式分解整理后，得

其中r就是相關(guān)系數(shù)，計(jì)算公式為：

將表1中數(shù)據(jù)代入，得到r=0.93；

很顯然

0〉|r︱=0.93〈1

即為處理量x及用電量y之間存在著一定的線性關(guān)系且為高度正相關(guān)，因此，以上得出的關(guān)于處理量x及用電量Y的回歸方程式y(tǒng)=42.74x+5.19是可信的并且可信度較高。

4 模型擬合效果

以上數(shù)據(jù)結(jié)果事實(shí)證明，處理量x及用電量y的回歸方程式是可信的，接下來我們判斷回歸模型的擬合效果。

表2 處理量X及用電量Y的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)

以縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)為月份，作出殘差圖來分析殘差特性，如圖3。

由圖3可知，7月、10月、1月、4月的殘差點(diǎn)比較大，需要確認(rèn)在收集這幾個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)是否出現(xiàn)了人為的錯(cuò)誤，如果數(shù)據(jù)收集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)收集沒有錯(cuò)誤，則看看這幾個(gè)月在生產(chǎn)過程中是否有特殊情況出現(xiàn)，尋找其他原因。

圖3 用電時(shí)間(月)與用電量殘差分析圖

那么，如何刻畫模型擬合的精度呢？

引入指數(shù)：

代入表2中數(shù)據(jù)得

R2=0.86

在含有一個(gè)解釋變量的線性模型中，R2恰好等于相關(guān)系數(shù)r的平方，上面我們已經(jīng)計(jì)算r=0.93，因此r2=0.932=0.86與R2相等。

R2取值越大，則殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，說明我們建立的模型與實(shí)際吻合程度很高，同時(shí)也說明了我們用電量有86%是受處理量的變化影響的。

5 結(jié)語

本文主要針對(duì)實(shí)際問題運(yùn)用了統(tǒng)計(jì)學(xué)中的回歸分析的知識(shí)去解決，對(duì)于處理量X及用電量Y的關(guān)系能較為準(zhǔn)確的作出表達(dá)式，這對(duì)實(shí)際有很大的應(yīng)用；在生產(chǎn)過程中，采用一元線性回歸方程不僅對(duì)用電量、其他生產(chǎn)材料消耗起到了估計(jì)和預(yù)測(cè)作用，而且也為我們提供了比較可靠的科學(xué)依據(jù)。盡管估計(jì)和預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)不是百分之百的準(zhǔn)確，但對(duì)指導(dǎo)生產(chǎn)起到了積極的參考作用。

[1] 全國統(tǒng)計(jì)專業(yè)技術(shù)中級(jí)考試資格用書[C]//統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)理論及相關(guān)知識(shí)，2005.