王家序 周祥祥 李俊陽 肖科 李奇

摘要：諧波傳動輪齒齒廓對裝置嚙合性能具有顯著影響.為提高諧波傳動的嚙合性能，采用公切線式雙圓弧齒廓作為柔輪齒廓，基于改進運動學理論計算雙圓弧齒廓諧波傳動共軛區(qū)域、共軛齒廓，并采用最小二乘擬合方法對理論共軛齒廓進行圓弧擬合；利用MATLAB對諧波傳動側(cè)隙、重合度、裝配變形、運動軌跡等進行仿真分析.研究結(jié)果表明：所設計的雙圓弧諧波傳動輪齒嚙合連續(xù)、嚙合點不斷改變，且存在“雙共軛”現(xiàn)象，理論嚙合弧長為109.3 mm，重合度達到69.03，嚙合性能顯著優(yōu)于傳統(tǒng)漸開線齒廓諧波傳動，并且優(yōu)選徑向變形量系數(shù)是消除諧波傳動嚙合干涉的重要方式之一.

關鍵詞：諧波傳動；雙圓弧齒廓；改進運動學；運動特性

中圖分類號：TH132.43 文獻標識碼：A

文章編號：1674-2974（2016）02-0056-08

諧波齒輪傳動依靠柔輪的可控彈性變形實現(xiàn)與剛輪嚙合運動，柔輪與剛輪齒廓對裝置嚙合性能影響顯著.為進一步提高諧波齒輪傳動嚙合性能，國內(nèi)外學者對諧波傳動輪齒齒廓及其嚙合理論進行了大量研究.諧波創(chuàng)始人C.W.Musser從保證傳動比要求和使輪齒實現(xiàn)面接觸的角度提出基準齒形角為28.6°的直線齒廓，但設計時并未考慮由柔輪變形產(chǎn)生的切向位移與法線轉(zhuǎn)角的影響[1].Э.М.Цукермац和Г.Е.Неломнящих分別用圖解法證明諧波傳動可以近似采用漸開線齒形[1]，但漸開線齒形具有重合度較小、波發(fā)生器載荷較大及尖點嚙合等特點.[2]日本學者S.Ishikawa[3-4]從不需變形而保證連續(xù)接觸角度提出具有兩段圓弧的S齒形，該齒形提高了諧波傳動的嚙合性能及承載能力，但設計時將輪齒抽象為具有相同齒形的齒條，因而其應用受到局限.目前國內(nèi)外學者正致力于開發(fā)適用于諧波傳動的圓弧齒廓諧波傳動，圓弧齒諧波傳動具有嚙合質(zhì)量良好、柔輪軸向尺寸較小、傳動比范圍較廣等特點.沈允文[5]對上述幾種齒形的性能進行了比較，結(jié)果表明圓弧齒傳動精度高，嚙合性能好.辛洪兵等[6]對諧波傳動采用圓弧齒廓的合理性進行了證明，并對雙圓弧齒廓諧波傳動進行設計研究[7].陳曉霞等[8]對雙圓弧齒廓參數(shù)對傳動性能的影響進行了仿真分析.但目前國內(nèi)對于雙圓弧齒廓諧波傳動的研究尚不成熟.因此，進一步設計適用于諧波齒輪傳動的雙圓弧齒廓并對其嚙合特性進行分析具有重要的研究價值.

與傳統(tǒng)齒輪減速裝置相區(qū)別[9-10]，目前研究諧波傳動嚙合理論有代表性的幾種基本方法有圖解分析法、等速曲線法、包絡理論法、冪級數(shù)法[1]以及國內(nèi)由辛洪兵等人較早開始研究的基于改進運動學的理論[11-12].基于改進運動學的理論相對于前幾種方法具有幾何意義明確、計算簡單、嚙合矩陣不隨共軛曲面形式改變等優(yōu)點.基于此，本文以公切線式雙圓弧齒廓作為設計對象，綜合考慮諧波變形因素，基于改進運動學理論對適用于諧波傳動的雙圓弧齒廓進行設計，并對雙圓弧齒廓嚙合特性進行分析，為諧波傳動設計和分析提供一定參考.

1共軛齒廓設計

以波發(fā)生器輸入、剛輪固定、柔輪輸出、橢圓波發(fā)生器作用下的公切線式雙圓弧齒廓諧波傳動為例，優(yōu)選齒形參數(shù)，結(jié)合諧波變形特點設計適用于該諧波傳動的雙圓弧齒廓柔輪與剛輪，設計參數(shù)基本要求見表1.

設計假設：

1）傳動過程中，柔輪變形前后中性層曲線長度不變；

2）柔輪輪齒工作時形狀不變，只有齒槽發(fā)生變形；

3）柔輪所有特征圓都是柔輪中線的等距曲線.

1.1柔輪雙圓弧齒廓設計

公切線式雙圓弧齒廓基本形狀如圖1所示.[13]

諧波傳動原理與一般齒輪傳動不同，柔輪齒廓參數(shù)受到柔輪可控彈性變形的影響，許多參數(shù)不能沿用一般圓弧齒廓參數(shù)選取原則，故需在傳統(tǒng)圓弧齒廓的基礎上結(jié)合諧波傳動特點對柔輪圓弧齒廓參數(shù)進行選擇.主要齒廓參數(shù)的確定見表2.

1.2剛輪齒廓設計

1.2.1柔輪變形形狀

根據(jù)上文假設，在橢圓波發(fā)生器的作用下柔輪中性線為標準橢圓的等距曲線，故柔輪輪齒在波發(fā)生器作用下與長半軸角坐標為ψ的點的徑向位移w，切向位移v和法向轉(zhuǎn)角μ分別為[7]：

基于MATLAB編程計算，將式（1）～（6）代入基于改進運動學法的諧波嚙合理論方程[11-12]，即可求出剛輪齒廓與柔輪凸齒廓共軛時柔輪輪齒與波發(fā)生器長軸的夾角，記為α，進而可以解出與柔輪凸齒廓共軛的剛輪齒廓數(shù)值解.同理，可以解出與柔輪公切線、柔輪凹齒廓共軛時柔輪輪齒與波發(fā)生器長軸的夾角α，進而解出與柔輪公切線及柔輪凹齒廓共軛的剛輪齒廓數(shù)值解.共軛時的解α的范圍就是柔輪齒廓與剛輪齒廓存在共軛嚙合的區(qū)域，稱為共軛區(qū)[8].將表2中柔輪齒廓參數(shù)代入基于改進運動學理論的諧波共軛方程，以從柔輪齒頂開始計算的齒廓弧長為橫坐標，共軛角度為縱坐標，計算得到的共軛區(qū)如圖3所示.代入解α后計算與柔輪齒廓共軛的共軛齒廓數(shù)值解，如圖4所示.

從圖3可知，公切線雙圓弧柔輪齒廓與剛輪齒廓存在兩個共軛區(qū)，其中一個共軛區(qū)較窄，共軛角度為0°～10°，即此時柔輪齒廓與剛輪齒廓在波發(fā)生器長軸附近共軛嚙合，稱為共軛區(qū)一；另一個共軛區(qū)范圍較廣，柔輪齒廓與剛輪齒廓共軛角度為20°～65°，稱為共軛區(qū)二；在共軛區(qū)一與共軛區(qū)二之間存在一定范圍的區(qū)域沒有共軛角度存在；除此之外，共軛區(qū)一以及共軛區(qū)二都被分為3個區(qū)域，以圖中點畫線作為分界線，左邊為1區(qū)，共軛角度與柔輪齒廓的圓弧凸齒廓對應，中間為2區(qū)，共軛角度與柔輪齒廓的公切線齒廓對應，右邊的3區(qū)與柔輪齒廓的圓弧凹齒廓對應；給定柔輪齒廓上一點（對應于弧長S），有2個共軛角度存在，即柔輪齒廓上同一點與剛輪齒廓先后產(chǎn)生兩次嚙合傳動，給定某一嚙合角度α，柔輪齒廓上存在2個點同時滿足嚙合條件，即對于某一嚙合角度，柔輪齒廓上存在不同的2個點同時進入嚙合傳動；然而，上述特點并不是在所有嚙合區(qū)內(nèi)都存在，只有位于剛輪齒頂圓與齒根圓之間的共軛齒廓所對應的共軛區(qū)才是有效的，稱為有效共軛區(qū).對于共軛區(qū)一，柔輪弧長在0～0.865 2 mm范圍內(nèi)的共軛區(qū)為有效共軛區(qū)，對于區(qū)域二，柔輪弧長在0～0.611 7 mm范圍內(nèi)的共軛區(qū)為有效共軛區(qū)，在圖中以分界點為分界線進行區(qū)別.

圖4為與圖3共軛區(qū)對應的共軛齒廓數(shù)值解，圖中實線對應于共軛區(qū)二的共軛齒廓數(shù)值解，稱為共軛二區(qū)齒廓.Y軸坐標較小的共軛二區(qū)齒廓對應于柔輪雙圓弧齒廓的公切線以及圓弧凹齒廓部分，Y軸坐標較大的共軛二區(qū)齒廓對應于柔輪雙圓弧齒廓的圓弧凸齒廓部分，點畫線對應于共軛區(qū)一的共軛齒廓數(shù)值解，由上到下依次對應于柔輪圓弧凸齒廓、公切線以及圓弧凹齒廓部分.

由圖4可知，為避免齒廓干涉，需取共軛一區(qū)齒廓中與柔輪凸齒廓對應的共軛齒廓數(shù)值解作為剛輪凹齒廓數(shù)值解，取共軛二區(qū)齒廓中與柔輪凸齒廓對應的共軛齒廓數(shù)值解作為剛輪凸齒廓數(shù)值解，由于不能同時選取共軛一區(qū)齒廓中與柔輪凹齒廓對應的共軛齒廓數(shù)值解作為剛輪凸齒廓數(shù)值解，因此，此時選取的柔輪參數(shù)不利于雙共軛區(qū)域的存在.陳曉霞等[8]、辛洪兵等[12]對諧波傳動參數(shù)影響規(guī)律進行了研究 ，結(jié)果表明，柔輪齒廓參數(shù)是影響共軛齒廓位置、半徑的主要因素之一，由此可得，對柔輪雙圓弧齒廓參數(shù)進行合理設計可以使共軛二區(qū)齒廓中與柔輪凸齒廓對應的共軛齒廓數(shù)值解與共軛一區(qū)齒廓中與柔輪凹齒廓對應的共軛齒廓數(shù)值解重合，從而基本保證雙圓弧齒廓諧波傳動雙共軛區(qū)域的存在，使得雙圓弧齒廓諧波傳動具有“雙共軛”現(xiàn)象，這種雙共軛的特點對于提高諧波傳動的精度和扭轉(zhuǎn)剛度具有重要作用.進一步優(yōu)化后得到的柔輪雙圓弧齒廓參數(shù)見表3，其對應的共軛齒廓如圖5所示，此時基本保證了共軛二區(qū)齒廓中與柔輪凸齒廓對應的共軛齒廓數(shù)值解與共軛一區(qū)齒廓中與柔輪凹齒廓對應的共軛齒廓數(shù)值解重合.

2雙圓弧齒廓諧波傳動嚙合特性分析

2.1諧波傳動嚙合側(cè)隙與重合度分析

2.1.1嚙合側(cè)隙分析

在諧波傳動中，對于柔輪輪齒與剛輪輪齒的每個嚙合位置（波發(fā)生器處于某個轉(zhuǎn)角狀態(tài)時），在柔輪工作齒廓上選取一點作為K1，以柔輪回轉(zhuǎn)中心為原點，以原點到K1點的距離為半徑做圓弧，與相鄰剛輪工作齒廓交于點K2，如圖7所示，則K1與K2之間的距離即稱為諧波傳動在K1點的側(cè)隙 [14-15].選取柔輪右側(cè)工作齒廓齒頂坐標作為K1點，以波發(fā)生器每轉(zhuǎn)過1°進行迭代計算，繪出雙圓弧齒廓諧波傳動柔輪右側(cè)工作齒廓齒頂嚙合側(cè)隙變化圖，如圖8所示.

由圖8可知，柔輪齒頂與剛輪齒廓在嚙合過程中的側(cè)隙值始終大于或接近于0，即與剛輪齒不會產(chǎn)生齒廓重迭干涉現(xiàn)象，側(cè)隙值的變化呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢.波發(fā)生器轉(zhuǎn)角為32°時，柔輪齒與剛輪齒之間的側(cè)隙值最大，為0.137 5 mm；當波發(fā)生器轉(zhuǎn)角為62°時側(cè)隙最小，約為0 mm，此時柔輪輪齒相對于剛輪齒槽處于剛脫離嚙合瞬時，超過62°后柔輪輪齒與剛輪輪齒脫離嚙合.

2.1.2重合度分析

諧波傳動的重合度實際上指傳動過程中同時參與嚙合的齒對數(shù)[16]，理論嚙合弧長是指一對齒從開始嚙合到終止嚙合時所經(jīng)過的弧長.對于單波傳動，剛脫離嚙合時的波發(fā)生器轉(zhuǎn)角值就是理論嚙合弧長所對應之中心角，記為φea.對于雙波傳動，理論嚙合弧長所對應之中心角φea是輪齒剛脫離嚙合時的波發(fā)生器轉(zhuǎn)角值的2倍.傳動的理論嚙合弧長為：

2.2諧波變形與運動軌跡分析

由于剛輪在工作過程中形狀不變，齒廓位置在圓周上環(huán)向等角度分布.而變形后柔輪輪齒的齒根位置和方位不斷變化，柔輪輪齒的分布不再按環(huán)向等角度分布，但柔輪中性層曲線長度基本保持不變，輪齒之間的弧長關系保持不變.在柔輪中裝入波發(fā)生器后，以波發(fā)生器長軸所對應的柔輪輪齒為第1個輪齒，往右依次記為第2，3， … ， n個輪齒，依此類推，按照等弧長分布算法[17-18]，基于MATLAB編程迭代計算后得到雙圓弧齒廓諧波傳動剛輪與變形柔輪的裝配圖全圖，如圖9所示，圖中外圈齒廓為剛輪齒廓，內(nèi)圈齒廓為變形后柔輪齒廓.為更清晰地顯示諧波傳動輪齒嚙合狀態(tài)，繪制柔輪輪齒與剛輪輪齒局部嚙合裝配圖如圖10所示.

由圖9可知，柔輪輪齒在波發(fā)生器作用下產(chǎn)生變形后與剛輪輪齒無裝配干涉.由圖10可知，柔輪輪齒在脫離嚙合前與剛輪輪齒嚙合狀態(tài)良好，同時嚙合齒數(shù)多，嚙合點不斷改變，因此雙圓弧諧波傳動具有傳動平穩(wěn)，承載能力較好的特點.

圖11為波發(fā)生器長軸所對應的第2個柔輪輪齒的嚙合情況，由圖11可知，柔輪齒廓與剛輪齒廓在A點與B點同時參與嚙合，驗證了雙共軛現(xiàn)象的存在.

為分析柔輪輪齒相對于剛輪齒槽的運動軌跡，不斷改變波發(fā)生器轉(zhuǎn)角，對柔輪輪齒齒廓坐標進行坐標變換.得出在波發(fā)生器轉(zhuǎn)動90°的過程中柔輪輪齒相對于剛輪齒槽的運動軌跡圖形如圖12所示.

由圖12可知，柔輪輪齒在傳動過程中與剛輪輪齒嚙合良好，并不存在齒廓干涉，且嚙合連續(xù)、嚙合點不斷變化.柔輪輪齒相對于剛輪齒廓的運動軌跡為一內(nèi)凹曲線.從嚙合-嚙出-脫開的狀態(tài)可以看出，在波發(fā)生器轉(zhuǎn)動一周的過程中，柔輪輪齒將相對于剛輪轉(zhuǎn)過2個齒，故實現(xiàn)了傳動比為100的要求，即諧波傳動具有大傳動比的特點.

將諧波傳動徑向變形量系數(shù)變?yōu)?.05，其余參數(shù)相同，計算剛輪齒廓并分析此時柔輪輪齒相對于剛輪齒槽的柔輪運動軌跡如圖13所示.

由圖13可知，改變徑向變形量系數(shù)后，柔輪輪齒與剛輪輪齒在嚙合過程中產(chǎn)生了嚙入嚙出時的齒頂干涉和齒廓重迭干涉.由此可得，在諧波傳動設計時，優(yōu)選徑向變形量系數(shù)是消除諧波傳動嚙合干涉的重要方式之一.

3結(jié)論

通過對雙圓弧齒廓的設計及嚙合特性分析， 主要得出如下結(jié)論：

1）基于諧波齒輪傳動改進運動學嚙合理論設計了諧波傳動柔輪與剛輪雙圓弧齒廓.輪齒在嚙合過程中不會發(fā)生干涉，并且在柔輪齒未脫離嚙合前，柔輪齒廓與剛輪齒廓始終保持正確嚙合狀態(tài)，嚙合點不斷改變，嚙合狀態(tài)良好，且在傳動過程中存在柔輪齒廓與剛輪齒廓“雙共軛”的傳動區(qū)域，可以有效提高諧波傳動精度及扭轉(zhuǎn)剛度.

2）所設計的雙圓弧齒廓諧波傳動當波發(fā)生器轉(zhuǎn)角大于62°后柔輪輪齒與剛輪輪齒脫離嚙合.且理論嚙合弧長為109.3 mm，重合度為69.03，與傳統(tǒng)漸開線齒廓諧波傳動相比具有理論嚙合弧長長，重合度大的特點.

3）徑向變形量系數(shù)是影響諧波傳動的重要因素之一，在諧波傳動設計時，優(yōu)選徑向變形量系數(shù)是消除諧波傳動嚙合干涉的重要方式之一.

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