陽成虎， 劉蘭英， 趙一民

(福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 福建 福州 350116)

有限需求分布信息下?lián)p失厭惡的報(bào)童模型研究

陽成虎， 劉蘭英， 趙一民

(福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 福建 福州 350116)

考慮有限需求分布信息下具有損失厭惡特性的報(bào)童訂貨策略問題. 在前景理論框架下， 基于最小最大后悔值準(zhǔn)則建立了僅知需求區(qū)間信息下的報(bào)童魯棒訂貨模型， 分析了損失厭惡系數(shù)， 單位剩余損失以及需求區(qū)間范圍對損失厭惡報(bào)童魯棒訂貨量和最小最大后悔值的影響. 研究結(jié)果表明： 決策者的魯棒訂貨量隨單位剩余損失的增大而減少， 但隨著損失厭惡系數(shù)和需求區(qū)間范圍的增大， 魯棒訂貨量可能增大也可能減少， 決策者的最小最大后悔值總是隨厭惡系數(shù)和需求區(qū)間范圍的增大而增大， 隨單位剩余損失的增大而減小.

報(bào)童模型； 損失厭惡； 前景理論； 最小最大后悔值準(zhǔn)則

0 引言

報(bào)童模型作為隨機(jī)庫存理論的基礎(chǔ)模型， 已經(jīng)成為研究庫存管理、 收益管理、 期權(quán)定價(jià)和供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)等問題的重要工具. 傳統(tǒng)的報(bào)童模型研究決策者在需求分布完全已知的情況下確定最優(yōu)訂貨量使期望利潤最大化. 然而， 隨著科技的發(fā)展和消費(fèi)者選擇的多樣性， 電腦、 軟件等創(chuàng)新性產(chǎn)品和服裝、 玩具等季節(jié)性產(chǎn)品的生命周期逐漸縮短， 決策者在實(shí)際經(jīng)營中掌握的歷史銷售數(shù)據(jù)十分有限. 這使得決策者往往無法根據(jù)歷史數(shù)據(jù)準(zhǔn)確預(yù)測產(chǎn)品的需求分布， 或者為獲得準(zhǔn)確需求分布投入的成本大于潛在收益. 大多數(shù)情況下， 決策者通過歷史數(shù)據(jù)僅僅能得到產(chǎn)品需求分布的區(qū)間、 均值或方差等有限信息. 其中， 采用區(qū)間信息是描述有限需求分布信息的一種常見方式.

目前， 基于有限需求分布信息的報(bào)童問題已經(jīng)引起了學(xué)者的重視， 并取得了不少研究成果. Scarf等[1]最早研究了在僅知均值和方差信息情形下的自由分布報(bào)童訂貨問題， 提出了最小最大化(min-max)方法， 即尋求最壞需求分布下的最優(yōu)訂貨策略. 此后， 該方法應(yīng)用于不同運(yùn)作環(huán)境下的報(bào)童問題[2-3]. 此外， Andersson等[4]在研究單周期的有限需求分布信息下的報(bào)童問題時(shí)， 利用極大熵方法得到需求的先驗(yàn)分布， 并將由此得到的最優(yōu)解與最小最大化方法得到的最優(yōu)解進(jìn)行了比較.

上述兩種方法較好地解決了有限需求分布信息下的報(bào)童訂貨決策問題， 但存在一些不足， 如最小最大化方法得到的兩點(diǎn)分布在現(xiàn)實(shí)中發(fā)生的概率很小， 犧牲了決策者的部分利潤； 根據(jù)極大熵方法得到的解不像最小最大化方法那樣保守， 較適用于風(fēng)險(xiǎn)中性決策者. 相對于以上兩種方法， Savage[5]提出的最小最大后悔值方法是更為穩(wěn)健的方法. 該方法目的是使決策者為獲取需求分布完整信息的最大投入的最小化. Vairaktarakis[6]采用該方法研究了僅知區(qū)間信息下報(bào)童的魯棒訂貨策略. Perakis等[7]基于最小最大后悔值準(zhǔn)則求解了以下八種有限需求信息結(jié)構(gòu)下的報(bào)童魯棒訂貨量及后悔值. 此外， Yue等[8]和Jiang等[9]運(yùn)用最小最大后悔值準(zhǔn)則探討了不同運(yùn)作環(huán)境下報(bào)童的魯棒訂貨策略.

上述文獻(xiàn)對有限需求分布信息下報(bào)童問題的研究通常假設(shè)決策者是完全理性人， 忽視了決策者的行為特征. 在實(shí)際中， 市場環(huán)境復(fù)雜， 訂貨決策過程受決策者的認(rèn)知能力、 行為偏差等因素的影響， 存在非理性和有限理性行為， 導(dǎo)致理論結(jié)果與實(shí)際運(yùn)作情況存在較大的偏差[10-11]. 近年來， 學(xué)者們將決策者不同的行為偏好引入到報(bào)童問題的研究， 如過度自信、 損失厭惡、 有限理性和錨定效應(yīng)[12-15]. 其中損失厭惡是研究中最常見的行為偏好. 現(xiàn)實(shí)中的部分決策者， 特別是規(guī)模較小的決策者厭惡損失， 即他們可能不僅僅只關(guān)注利潤最大化， 同樣會關(guān)注由于缺貨或庫存過剩所帶來的損失[16].

目前， 研究損失厭惡報(bào)童問題的多采用期望效用理論， 不少學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究[17]. 但是， 期望效用理論在描述個(gè)體決策行為上存在缺陷， 在此框架下得到的報(bào)童模型的解具有一定的局限性. 在期望效用理論的基礎(chǔ)上， Kanneman等[18]提出了前景理論. 他們發(fā)現(xiàn)： 現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)人對損失和收益的敏感程度是不一致的， 損失帶給人們的痛苦要大于相同收益給人們帶來的快樂. 目前， 前景理論已廣泛應(yīng)用于證券、 股票、 保險(xiǎn)、 市場營銷等領(lǐng)域. 已有學(xué)者基于前景理論對損失厭惡報(bào)童問題進(jìn)行了研究. Wang等[16]、 文平[19]和周艷菊等[20]研究了不同市場環(huán)境下報(bào)童的魯棒訂貨策略. 此外， 林志炳等[21]和李績才等[22]在研究不同類型的供應(yīng)鏈契約時(shí)， 采用前景理論分析了損失厭惡的決策主體的訂貨決策.

上述文獻(xiàn)僅考慮了有限需求分布信息和損失厭惡的行為偏好中的一種， 并沒有分析這兩種情形對最優(yōu)訂貨決策的綜合影響. 本文結(jié)合前景理論和魯棒優(yōu)化理論， 分別考慮需求區(qū)間信息和決策者損失厭惡的行為偏好， 基于最小最大后悔值準(zhǔn)則建立報(bào)童魯棒訂貨模型， 求解不考慮缺貨懲罰和考慮缺貨懲罰時(shí)的魯棒訂貨策略， 并分析損失厭惡系數(shù)和單位剩余損失對魯棒訂貨量和最小最大后悔值的影響.

1 問題描述

考慮一個(gè)銷售季節(jié)性產(chǎn)品的損失厭惡報(bào)童， 需要在銷售季節(jié)到來之前確定訂貨量q. 報(bào)童面對隨機(jī)需求為x的市場， 只有一次訂貨機(jī)會. 若訂貨量大于市場需求則超出部分只能在季末以很低的價(jià)格處理； 若訂貨量小于市場需求則會產(chǎn)生一定的缺貨損失. 假設(shè)產(chǎn)品的市場需求x連續(xù)非負(fù)， 其概率密度函數(shù)為f(x)， 累積分布函數(shù)F(x)， 屬于具有相同定義域[A,B]的某一類凸分布集合ψ， 但具體的分布函數(shù)是未知的.

為了刻畫報(bào)童的損失厭惡特性， 采用如下分段線性函數(shù)[21]：

(1)

其中:W0為決策者的參考點(diǎn)(可認(rèn)為初始財(cái)富值)， 不失一般性， 假設(shè)W0=0;λ為損失厭惡系數(shù)， 表示決策者對損失的厭惡程度,λ越大， 決策者的損失厭惡程度越高, 一般情況下，λ取值為2.25[23]. 此外， 在競爭激烈的零售商業(yè)環(huán)境下， 決策者可能會更關(guān)注實(shí)際損失. 即， 相比缺貨帶來的機(jī)會損失， 決策者會更重視庫存積壓帶來的資金占用和存貨品質(zhì)的下降[24]. 因此， 假設(shè)決策者是實(shí)際損失厭惡型， 且實(shí)際損失和機(jī)會損失給決策者帶來的負(fù)效用不同. 令決策者對期望剩余損失和期望缺貨損失的厭惡系數(shù)分別為λ1和λ2， 且λ1>λ2.

其它符號及參數(shù)定義如下：r: 產(chǎn)品的單位零售價(jià)；s: 銷售期結(jié)束后單位剩余產(chǎn)品的殘值；l: 單位缺貨懲罰；c: 單位采購成本；q: 基于部分信息下的報(bào)童訂貨量,EUF(q)為相應(yīng)的期望效用值；Q: 完全信息下的報(bào)童訂貨量,EUF(Q)為相應(yīng)的期望效用值；ρ: 后悔值.

2 模型構(gòu)建及分析

基于上述的分析和假設(shè)， 決策者的收益函數(shù)為：

(2)

對式(2)分兩種情況進(jìn)行討論.

1) 當(dāng)q≥x時(shí)， 令rx+s(q-x)-cq=0， 得盈虧平衡點(diǎn)qt1=(c-s)q/(r-s). 即， 需求x=qt1時(shí)， 收益為零； 需求x∈[A,qt1]時(shí)， 收益為負(fù)； 需求x∈[qt1,q]時(shí)， 收益為正.

2) 當(dāng)q≤x時(shí)， 令rq-l(x-q)-cq=0， 得盈虧平衡點(diǎn)qt2=(r+l-c)q/l. 即， 需求x=qt2時(shí)， 收益為零； 需求x∈[q,qt2]時(shí)， 收益為正； 需求x∈[qt2,B]時(shí)， 收益為負(fù).

根據(jù)上述分析， 當(dāng)實(shí)際需求x∈[A,qt1]時(shí)， 決策者將面臨剩余損失； 當(dāng)實(shí)際需求x∈[qt2,B]時(shí)， 決策者將面臨缺貨損失.

綜合以上兩種情況， 基于前景理論的期望效用為：

(3)

不失一般性， 對式(3)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理. 令r+l-s=1，α=r-s，β=c-s， 其中α為單位缺貨損失，β為單位剩余損失. 則式(3)可以轉(zhuǎn)化為：

(4)

(5)

ρ(q)可理解為決策者為獲得完整的市場需求分布信息愿意付出的最大成本. 依據(jù)最小最大化后悔值準(zhǔn)則， 決策者應(yīng)該使這項(xiàng)最大成本最小化， 即最小化ρ(q). 此時(shí)，

(6)

引理1 1) 函數(shù)G(Q;q)在區(qū)間Q∈[0,q]和區(qū)間Q∈[q, ∞)上均是凹函數(shù)， 但在區(qū)間Q∈[0, ∞)上并不一定是凹函數(shù)；

2) 函數(shù)ρ(q)是凸函數(shù)， 則魯棒訂貨量q*=argminρ(q)， 且滿足如下等式：

引理1的前一部分表明, 在求解式(4)時(shí)， 應(yīng)考慮Q≤q和Q≥q兩種情況； 后一部分表明, 當(dāng)由于實(shí)際訂貨過多(對應(yīng)Q≤q)產(chǎn)生的負(fù)效用值和實(shí)際訂貨過少(對應(yīng)Q≥q)產(chǎn)生的負(fù)效用值相等時(shí)， 魯棒訂貨量q*能夠使最大后悔值最小化.

根據(jù)上述引理， 魯棒訂貨量和相應(yīng)的最小最大后悔值可以由如下定理給出.

定理1 對于任意非負(fù)累積分布函數(shù)F∈ψ， 在僅知需求區(qū)間[A,B]的條件下， 基于最小最大后悔值準(zhǔn)則的損失厭惡報(bào)童的魯棒訂貨量q*為：

(7)

最小最大后悔值為(證明見附錄)：

(8)

由定理1可知， 魯棒訂貨量q*不依賴于任何分布， 只與損失厭惡系數(shù)λ1和λ2、 需求區(qū)間[A,B]以及單位剩余損失β有關(guān).

根據(jù)定理1， 可以得到不考慮缺貨懲罰時(shí)損失厭惡報(bào)童的魯棒訂貨量及相應(yīng)的最小最大后悔值， 結(jié)論如下.

推論1 對于區(qū)間[A,B]上的任意非負(fù)累積分布函數(shù)F∈ψ， 基于最小最大后悔值準(zhǔn)則， 不考慮缺貨損失時(shí)損失厭惡報(bào)童的魯棒訂貨量為：

(9)

最小最大后悔值為：

(10)

證明 當(dāng)沒有缺貨懲罰(即l=0)時(shí)， 報(bào)童不再考慮缺貨所帶來的損失， 則缺貨損失厭惡系數(shù)λ2退化為1. 令式(7)和式(8)中λ2=1即可得到如上結(jié)論. 證畢.

推論1表明沒有缺貨懲罰的情形是考慮缺貨懲罰情形的一個(gè)特例.

下面討論損失厭惡系數(shù)λ1和λ2， 區(qū)間范圍[A,B]及單位剩余損失β對報(bào)童的魯棒訂貨量和最小最大后悔值的影響， 有以下結(jié)論：

推論2 對于區(qū)間[A,B]上的任意非負(fù)累積分布函數(shù)F∈ψ， 損失厭惡報(bào)童的魯棒訂貨量隨剩余損失厭惡系數(shù)λ1的增大而減少， 隨缺貨損失厭惡系數(shù)λ2的增大而增大.

證明 分別對魯棒訂貨量q*關(guān)于λ1和λ2求一階偏導(dǎo)， 得到：

可以看出，q*關(guān)于λ1單調(diào)遞增， 關(guān)于λ2單調(diào)遞減.

推論2表明不完全信息下， 決策者不同的損失偏好對其魯棒訂貨量的影響不相同. 若決策者更加厭惡剩余損失， 當(dāng)其它條件不變時(shí)， 魯棒訂貨量會隨著剩余損失厭惡程度增加而減少. 特別是， 當(dāng)λ1趨于無窮時(shí)，q*趨近于A. 這表明當(dāng)決策者對剩余損失極度厭惡時(shí)， 會選擇訂購最少數(shù)量的產(chǎn)品. 若決策者更加厭惡缺貨損失， 當(dāng)其它條件不變時(shí)， 魯棒訂貨量會隨著缺貨損失厭惡程度增加而增大. 特別是， 當(dāng)λ2趨于無窮時(shí)，q*趨近于B. 這表明當(dāng)決策者對缺貨損失極度厭惡時(shí)， 會選擇訂購盡可能多的產(chǎn)品.

推論3 對于區(qū)間[A,B]上的任意非負(fù)累積分布函數(shù)F∈ψ， 損失厭惡報(bào)童的最小最大后悔值均隨著厭惡系數(shù)λ1和λ2的增大而增大.

證明 對報(bào)童的最小最大后悔值ρ*分別關(guān)于λ1和λ2求一階偏導(dǎo)， 得到：

顯然，ρ*關(guān)于λ1和λ2均單調(diào)遞增. 證畢.

推論4 對于區(qū)間[A,B]上的任意非負(fù)累積分布函數(shù)F∈ψ， 損失厭惡報(bào)童的魯棒訂貨量隨單位剩余損失β的增大而減少.

證明 首先對式(5)關(guān)于β求一階偏導(dǎo)， 可得：

因此， 魯棒訂貨量q*與單位剩余損失β具有負(fù)相關(guān)關(guān)系. 證畢.

推論4表明， 產(chǎn)品的單位剩余損失越大， 可能產(chǎn)生的剩余損失也就越大， 所以報(bào)童會減少訂貨量以降低庫存. 這與損失中性情形下的性質(zhì)一致. 特別地， 當(dāng)β趨近于0時(shí)，q*趨近于需求區(qū)間的上限B； 當(dāng)β趨近于1時(shí)，q*趨近于需求區(qū)間的下限A.

推論5 對于區(qū)間[A,B]上的任意非負(fù)累積分布函數(shù)F∈ψ， 隨需求區(qū)間范圍的增大， 損失厭惡報(bào)童的魯棒訂貨量可能增大也可能減少.

需求分布的區(qū)間大小表明決策者掌握需求信息的準(zhǔn)確性. 顯然區(qū)間越小說明掌握的信息越準(zhǔn)確. 推論5表明決策者的魯棒訂貨量與其掌握的區(qū)間信息準(zhǔn)確程度沒有必然聯(lián)系. 當(dāng)決策者掌握較為準(zhǔn)確的區(qū)間信息時(shí)， 其魯棒訂貨量可能增大也可能減少.

推論6 對于區(qū)間[A,B]上的任意非負(fù)累積分布函數(shù)F∈ψ， 損失厭惡報(bào)童的最小最大后悔值隨需求區(qū)間范圍的增大而增大.

證明 對式(6)關(guān)于(B-A)求一階偏導(dǎo)， 可得

因此， 報(bào)童的最小最大后悔值與需求區(qū)間范圍(B-A)正相關(guān). 證畢.

由推論6可以看出， 決策者掌握的信息越準(zhǔn)確， 后悔值越小， 說明其做出的訂貨決策越優(yōu). 這與損失中性情形下的性質(zhì)一致. 特別地， 若A=B， 決策者恰好準(zhǔn)確預(yù)測市場的需求量， 則其的后悔值為零.

3 結(jié)語

研究了需求分布未知情形下?lián)p失厭惡報(bào)童的訂貨策略. 基于前景理論， 采用最小最大后悔值準(zhǔn)則建立了僅知需求區(qū)間信息下?lián)p失厭惡的報(bào)童模型， 給出了報(bào)童魯棒訂貨量和相應(yīng)的最小最大后悔值的解析表達(dá)式， 并分析了損失厭惡系數(shù)， 單位剩余損失以及需求區(qū)間范圍對損失厭惡報(bào)童魯棒訂貨量和最小最大后悔值的影響. 擴(kuò)展了Perakis等[7]的研究結(jié)果， 其得到的損失中性報(bào)童的魯棒訂貨策略是本文結(jié)果的一個(gè)特例. 特別是， 若實(shí)際損失和機(jī)會損失給決策者帶來的負(fù)效用相同， 損失厭惡報(bào)童的魯棒訂貨量與損失厭惡系數(shù)無關(guān)， 仍為損失中性報(bào)童的魯棒訂貨量.

今后可以進(jìn)一步擴(kuò)展研究， 如采用最小最大后悔值準(zhǔn)則解決其他需求信息(如均值、 方差、 中位數(shù))情形下?lián)p失厭惡的報(bào)童模型， 并將這類模型擴(kuò)展到需求受價(jià)格影響的情形.

附錄：

定理1的證明.

對式(6)， 應(yīng)首先考慮如下的內(nèi)層優(yōu)化問題：

將上式分解為以下三個(gè)部分進(jìn)行分析：

根據(jù)引理1， 分別考察Q≤q和Q≥q兩種情況.

2.1)Q≥q. 同1.1)分析可得，

2.2)Q≤q. 同1.2)分析可得，

綜上所述， 當(dāng)Q≥q時(shí)，

GP(Q;q)=G1(Q;q)+G2(Q;q)+G3(Q;q)=[βλ1+(1-β)λ2](Q-q)

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(責(zé)任編輯： 洪江星)

Loss-averse newsvendor model with partial demand information

YANG Chenghu, LIU Lanying, ZHAO Yimin

(School of Economics and Management, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

A loss-averse newsvendor’s robust order decision is studied when partial information of demand distribution is available. In the framework of prospect theory, the robust newsvendor model is developed based on the minimax regret criterion. Accordingly, the robust order quantity is derived in the closed-form expression. In addition, the effects of loss aversion coefficient, unit overage loss and the support on the robust order quantity and minimax regret are analyzed. The results show that the robust order quantity decreases with unit overage loss increasing. With the loss aversion coefficient and the support increasing, the robust order quantity is not monotonous. The results also show that the minimax regret value increases with the loss aversion coefficient and the support increasing, but deceases with unit overage loss increasing. Finally, numerical samples are conducted to verify the relationships of the robust order quantity and minimax regret value with loss aversion coefficient, unit overage loss and the support.

newsvendor model; loss aversion; prospect theory; minimax regret criterion

10.7631/issn.1000-2243.2016.05.0609

1000-2243(2016)05-0609-07

2015-07-08

陽成虎(1980-), 副教授, 博士, 主要從事物流系統(tǒng)建模與優(yōu)化方面的研究, hcysun@126.com

國家社會科學(xué)基金青年資助項(xiàng)目(12CGL045)； 中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013M531541)； 福建省高校杰出青年科研人才培養(yǎng)計(jì)劃(JA12037S)

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