肖　一

(1.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院， 福建 福州 350118；

2.福建省土木工程新技術(shù)與信息化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 福州 350118)

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關(guān)于考慮彎曲剛度的斜索面內(nèi)自由振動(dòng)解的注記

肖一1，2

(1.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院， 福建 福州 350118；

2.福建省土木工程新技術(shù)與信息化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 福州 350118)

摘要：對(duì)索的準(zhǔn)確模擬應(yīng)考慮彎曲剛度的影響。關(guān)于考慮彎曲剛度的斜索面內(nèi)自由振動(dòng)，目前只有兩端鉸接邊界條件下的解析解，這與實(shí)際拉索的邊界條件不相符。在已有研究基礎(chǔ)上，對(duì)考慮彎曲剛度的斜索面內(nèi)自由振動(dòng)解析解在中點(diǎn)割線坐標(biāo)系下進(jìn)行了推導(dǎo)，補(bǔ)充了兩端固接條件下的解。分析結(jié)果表明斜索無(wú)Crossover現(xiàn)象，其振型為非對(duì)稱，考慮彎曲剛度的頻率要大于不考慮彎曲剛度的頻率，兩端固接頻率大于兩端鉸接頻率。通過(guò)對(duì)比認(rèn)為考慮彎曲剛度影響在某些情況下是必要的；應(yīng)該考慮不同邊界條件的影響；由于理想邊界的上下界性質(zhì)，利用文中結(jié)果可以對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行估計(jì)和近似。

關(guān)鍵詞：斜索；自由振動(dòng)；彎曲剛度；解析解

現(xiàn)代索支撐橋梁跨徑的不斷增大使得索的直徑越來(lái)越大，如明石海峽大橋和青馬大橋的主纜直徑已達(dá)1.1 m[1]，正在修建的墨西哥海峽大橋的主纜直徑則近1.2 m[2]。對(duì)于大直徑索而言，為了更準(zhǔn)確地分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，一般應(yīng)計(jì)入彎曲剛度的影響。另外，振動(dòng)法測(cè)索力的方法[3-5]中幾乎毫無(wú)例外地均考慮了彎曲剛度對(duì)拉索自振頻率的影響。

最近，文獻(xiàn)[6]在其已有研究[7]的基礎(chǔ)上考慮了彎曲剛度影響推導(dǎo)了斜索面內(nèi)自由振動(dòng)解析解，但其僅考慮了兩端鉸接邊界條件。文獻(xiàn)[2]在關(guān)于考慮彎曲剛度的水平索的推導(dǎo)中則僅考慮了兩端固接條件。僅就斜拉橋而言，從文獻(xiàn)[8]可知，斜拉索兩端可能有多種錨固形式，從而對(duì)應(yīng)不同的邊界條件。采用數(shù)值方法時(shí)[1，9]，一般對(duì)兩種情況均進(jìn)行了分析。

本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上在改進(jìn)坐標(biāo)系下補(bǔ)充了該問(wèn)題在兩端固接情況下振型和頻率解析解，并重新給出了兩端鉸接時(shí)的解，討論表明了該補(bǔ)充的必要性。

1理論推導(dǎo)

在索振動(dòng)分析中，已有的文獻(xiàn)多將坐標(biāo)原點(diǎn)置于端點(diǎn)處[6-7,10-11]，這對(duì)于求解一般索及計(jì)入彎曲剛度的兩端鉸接索時(shí)是比較方便的，但對(duì)于兩端固結(jié)時(shí)，其求解過(guò)程非常復(fù)雜，且很難獲得最簡(jiǎn)形式。

在求解考慮彎曲剛度水平索的自由振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，文獻(xiàn)[2]考慮到索構(gòu)形和邊界條件的對(duì)稱性將坐標(biāo)原點(diǎn)置于弦的中點(diǎn)，這使得其直接利用了該對(duì)稱性簡(jiǎn)化了求解。本文討論的斜索雖然沒(méi)有對(duì)稱軸，但邊界條件具有對(duì)稱性，若將坐標(biāo)原點(diǎn)置于弦中點(diǎn)處，利用三角函數(shù)的奇偶性，也將使求解過(guò)程大為簡(jiǎn)化，尤其對(duì)于兩端固接的情況。

在圖1所示中點(diǎn)割線坐標(biāo)系Oxz下，考慮彎曲剛度的索面內(nèi)線性運(yùn)動(dòng)方程為[2,6]：

(1)

式中：x和z為原點(diǎn)位于弦中心的割線坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸；w為索z方向運(yùn)動(dòng)分量；H為索靜拉力弦向分量；h索運(yùn)動(dòng)引起的附加拉力弦向分量；E為材料彈性模量；I為截面慣性矩；m為單位長(zhǎng)度質(zhì)量。

對(duì)于材料及截面性質(zhì)為常量的均勻水平索而言，式(1)實(shí)際上與文獻(xiàn)[9]中的考慮彎曲剛度的弦的運(yùn)動(dòng)方程相同，不同之處僅在于具體計(jì)算時(shí)考慮了拉索垂度的影響。對(duì)于斜索而言，由于其未考慮弦向力的變化效應(yīng)，也看作是文獻(xiàn)[7]中理論計(jì)入彎曲剛度后的結(jié)果，關(guān)于不考慮彎曲剛度斜索的更準(zhǔn)確的理論可見文獻(xiàn)[10-11]。

圖1斜索計(jì)算圖示

(2)

在圖1所示坐標(biāo)系下，斜索的靜力構(gòu)形可通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[12]的近似表達(dá)進(jìn)行坐標(biāo)變換得到：

(3)

其中，ε=mglsinθ/H為Irvine引入的小參數(shù)，用于攝動(dòng)法求解。

對(duì)于拉索來(lái)說(shuō)，由于以承受軸力為主，這里僅考慮了軸力應(yīng)變而忽略了彎曲應(yīng)變。由此可得到索方程為[12]：

(4)

其中：u為索縱向運(yùn)動(dòng)分量；s為弧長(zhǎng)坐標(biāo)；EA為索抗拉剛度，利用兩端的邊界條件并對(duì)其進(jìn)行無(wú)量綱化后可得：

(5)

其中，λ2=(mglcosθ/H)2l/(HLe/EA)為Irvine[12]引入的參數(shù)，其反映了索彈性效應(yīng)和幾何效應(yīng)的影響，Le為索有效長(zhǎng)度，其表達(dá)式為

這里可近似取為L(zhǎng)e≈l[1+(mglcosθ/H)2/8][12]。

1.1兩端鉸接[6]

(6)

(7)

將其代入通解中即得振型函數(shù)：

(8)

再利用索方程(5)可得無(wú)量綱形式頻率方程為：

(9)

式(8)和式(9)是在本文的無(wú)量綱參數(shù)表示和坐標(biāo)系下考慮彎曲剛度的兩端鉸接斜索的面內(nèi)固有振動(dòng)的振型函數(shù)和頻率方程，其實(shí)際上與文獻(xiàn)[6]的結(jié)果是一致的。當(dāng)ε=0時(shí)，式(9)就退化相應(yīng)的水平索對(duì)稱振型頻率表達(dá)。

1.2兩端固接

(10)

(11)

當(dāng)ε=0時(shí)，振型函數(shù)和式(11)就退化為文獻(xiàn)[2]的水平索表達(dá)。

2討論

由此可見，考慮彎曲剛度的影響在某些情況下是必要的；而對(duì)于需要考慮彎曲剛度的斜索振動(dòng)分析，考慮不同邊界條件的影響也是必要的。

對(duì)于斜拉索而言，兩端固接和兩端鉸接可以看作實(shí)際的約束條件的上下界，它們是實(shí)際約束的理想狀態(tài)。文獻(xiàn)[5]就曾指出，實(shí)際的約束條件通常既非固接亦非鉸接，而是處于某個(gè)中間的狀態(tài)。這樣，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)需要精確考慮拉索的邊界約束條件時(shí)，可以采用式(9)和式(11)對(duì)其進(jìn)行估計(jì)和近似。

圖3表示ξ=75，ε取0.05、0.0966、0.1366、0.1673(由于參數(shù)ε是索構(gòu)型近似表達(dá)的攝動(dòng)參數(shù)，所以從理論上講，其應(yīng)該為小值)，在假設(shè)其它無(wú)量綱參數(shù)不變時(shí)，其分別可以看作θ取15°、30°、45°、60°的情況(即假設(shè)參數(shù)mgl/H保持不變)。由圖3可見，ε的變化對(duì)頻率的影響很小(由于差別很小，圖中未標(biāo)出各曲線的意義)，但基本上是隨著ε的增大，相應(yīng)的兩階頻率在曲線的上升段越接近。ξ取其它值時(shí)基本上也有類似的結(jié)論。

圖4給出了ε=0.1，ξ=75，λ分別取1.372π和3.330π[11]兩種情況下，兩種邊界條件下的振型圖。從圖中可見，斜索振型為非對(duì)稱的[6-7,11,14]，實(shí)際上，由于斜索本身無(wú)對(duì)稱軸可言，這一點(diǎn)從定性角度可以直接判斷；相比于兩端鉸接條件，兩端固接條件下的振型的非對(duì)稱性較弱，這一點(diǎn)對(duì)于高階振型更加明顯。由此可見，不同的邊界條件對(duì)振型的影響還是比較大的(如圖4(a)中的第二階和圖4(b)中的第一階)，這就再次體現(xiàn)了考慮不同邊界條件的必要性。關(guān)于ε和ξ取其它值時(shí)，基本可得到類似的結(jié)論。

圖2　兩種邊界條件下前四階頻率對(duì)比圖

圖3兩種邊界條件下不同ε值時(shí)前四階頻率對(duì)比圖

3結(jié)論

在已有兩端鉸接解析解的基礎(chǔ)上，在中點(diǎn)割線坐標(biāo)系Oxz下，補(bǔ)充了兩端固接邊界條件下考慮彎曲剛度的斜索面內(nèi)自由振動(dòng)解析解。分析結(jié)果表明：斜索無(wú)Crossover現(xiàn)象，其振型不具對(duì)稱性，考慮彎曲剛度的頻率要大于不考慮彎曲剛度的頻率，兩端固接頻率大于兩端鉸接頻率。通過(guò)討論可知，考慮彎曲剛度在某些情況下是必要的；對(duì)于需要計(jì)入彎曲剛度的斜索而言，應(yīng)該考慮不同邊界條件對(duì)自由振動(dòng)的影響；兩端固接和兩端鉸接可以看作是實(shí)際拉索約束情況的上下界，可采用本文公式對(duì)斜索的自振頻率進(jìn)行估計(jì)和近似。

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Note on In-plane Free Vibration Solution of Inclined Cables >Considering Bending Stiffness

XIAO Yi1,2

(1.CollegeofCivilEngineering,FujianUniversityofTechnology,Fuzhou,Fujian350118,China;2.FujianProvincialKeyLaboratoryofAdvancedTechnologyandInformatizationinCivilEngineering,Fuzhou,Fujian350118,China)

Abstract：Accurate modeling of cables needs to consider the bending stiffness. At present for the free vibration of inclined cables considering bending stiffness, only the analytical solution of hinged boundary conditions has been obtained which is not the case in real world problems. Based on the existing research, the solutions of in-plane free vibration of inclined cables considering bending stiffness were derived in secant coordinate system with the origin in the midpoint of the chord length, the analytical solution of clamped conditions was deduced for supplement. The analysis show that the crossover phenomenon does not exist for inclined cables, and the mode shape is asymmetric. The frequencies with bending stiffness are larger than the one without it. The frequencies of clamped conditions are larger than the hinged ones. The comparison demonstrates that bending stiffness should be considered in some situations. Different boundary conditions should be considered in the analysis. Due to the upper and lower bound properties of ideal boundaries, the present results can be used as an estimation and approximation of real situations.

Keywords:inclined cable; free vibration; bending stiffness; analytical solution

文章編號(hào)：1672—1144(2016)01—0155—05

中圖分類號(hào)：U441+.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：肖一(1982—)，男，遼寧盤錦人，講師，工程師，主要從事索結(jié)構(gòu)問(wèn)題方面的工作。E-mail: xiaoyiArchive@fjut.edu.cn

基金項(xiàng)目：福建工程學(xué)院科研啟動(dòng)基金(GY-Z14013)

收稿日期：2015-07-15修稿日期：2015-09-04

DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2016.01.029