徐長俊

摘 要：高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解過程是存在歷史相似性的，這就要求教師在實(shí)際教學(xué)中更多地了解數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展的歷史過程，并按照歷史發(fā)生教學(xué)法的原則和步驟設(shè)計(jì)開展自己的課堂教學(xué)。本文試圖通過在HPM視角下設(shè)計(jì)實(shí)施的導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用教學(xué)，重構(gòu)微積分發(fā)展的歷史過程[1]，通過一個(gè)個(gè)實(shí)際問題情境的設(shè)置，讓學(xué)生在解決問題的過程中體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，從而加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

關(guān)鍵詞：HPM；高中數(shù)學(xué)；發(fā)生教學(xué)；導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)概念中，導(dǎo)數(shù)概念是一個(gè)非常重要的概念，它為函數(shù)性質(zhì)的研究提供了一個(gè)比較普遍的方法，從而減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)中復(fù)雜的函數(shù)技巧的壓力，使得函數(shù)的研究輕松許多。但當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)課堂中更著重導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用的教學(xué)，忽視了導(dǎo)數(shù)概念本身的分析，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)缺乏理解，妨礙了學(xué)生在解題中靈活和準(zhǔn)確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)概念。

1 HPM教學(xué)法的意義

在當(dāng)下的數(shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常會(huì)用到HPM的解題方法。比較成熟的算法是對(duì)于非線性方程組的解法同時(shí)這種解法也是一種新的思考方式。這種方法最早是由傳統(tǒng)的攝動(dòng)法和拓?fù)渲械南嗷ヱ詈系玫降?。?duì)于比較難解決的問題利用HPM可以得到很好的數(shù)值結(jié)果。所以對(duì)于HPM的應(yīng)用受到了很多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，在這個(gè)過程中還在不斷地推廣和修正，并且也在各個(gè)領(lǐng)域有了更好的應(yīng)用。HPM算法還可以用在不連續(xù)的非線性震蕩當(dāng)中，可以解決邊值問題。對(duì)于微積分的應(yīng)用和可以進(jìn)行耦合反應(yīng)和進(jìn)行擴(kuò)散方程的運(yùn)算。對(duì)于非線性的方程采用HPM實(shí)現(xiàn)了方程的迭代計(jì)算方法，進(jìn)而改寫一個(gè)耦合的非線性方程。

2 導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計(jì)與反饋

2.1 導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用中的“易拉罐最佳比例問題” 首先需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情景：在我們的現(xiàn)實(shí)生活中易拉罐可以說是經(jīng)常遇見，而這些易拉罐在對(duì)可樂或者是啤酒的實(shí)際容量是相同的，這樣的設(shè)計(jì)尺寸基本上是一樣的，這樣的設(shè)計(jì)是巧合嗎？

探究原因：對(duì)于易拉罐的設(shè)計(jì)在最初一定要考慮的問題就是，怎樣做才能保證材料做到最省，而在做易拉罐是材料又和易拉罐的表面積有很大的關(guān)系，因此可以提煉出一個(gè)問題：體積相同的圓柱體，它的高和半徑取怎樣的值時(shí)，才能使得其面積最小？很明顯在用一般的書算法是很難算出的，所以要借助于導(dǎo)數(shù)的概念來解決問題。

經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)：高度約為實(shí)際半徑的4倍，實(shí)際上和計(jì)算出來的結(jié)果不相同，可是問題到底出現(xiàn)在哪里呢？易拉罐的厚度和它的側(cè)面與底面厚度是完全不同的：經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)易拉罐側(cè)面的厚度是0.011cm，其中頂部的厚度是0.028cm，而底面的實(shí)際厚度是0.021cm，為了計(jì)算的方便可以將側(cè)面的厚度近似的計(jì)算為0.01cm，其中底面的厚度計(jì)算為0.02cm，再次讓學(xué)生計(jì)算出易拉罐的高和半徑的實(shí)際比值。經(jīng)過再次計(jì)算發(fā)現(xiàn)和測(cè)量的實(shí)際值幾乎一致。

結(jié)果分析：利用HPM的方法可以很好地將問題變得簡單化，使得學(xué)生在初次接觸導(dǎo)數(shù)的概念以后，覺得這個(gè)概念并不是很難，而且非常重要的一點(diǎn)是可以利用HPM的方法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念使得生活中常見的問題，利用一般正常的數(shù)學(xué)思想很難解決可以通過利用HPM的方法很容易地解開，這樣在很大程度上吸引了學(xué)生，引起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為以后對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。在設(shè)計(jì)導(dǎo)數(shù)概念課程時(shí)，教師還考慮到了創(chuàng)設(shè)情景，然后提出問題，解決問題。而在解決問題中又出現(xiàn)了問題，引導(dǎo)學(xué)生再次深入地探討關(guān)于易拉罐半徑和高度的最佳比例問題。這樣一個(gè)教學(xué)過程易于引發(fā)學(xué)生的思考，易于帶動(dòng)他們自己動(dòng)手來探討問題，最終找到正確的答案，這樣就可以很大程度地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率及課堂的教學(xué)質(zhì)量。當(dāng)然以上的問題還是比較簡單的，要想引導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)概念理解得更加透徹和深入就需要結(jié)合實(shí)際問題再次提出更深入的問題，當(dāng)然在這個(gè)過程中依然要借助于HPM的方法進(jìn)行實(shí)際的探究過程，這里主要是借助于HPM的解題思想。

2.2 導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用中的“球體最佳比例問題”

情境引入。模擬現(xiàn)代交通網(wǎng)設(shè)計(jì)如下例題：在圖中A點(diǎn)和C點(diǎn)分別位于寬度為40m的河岸上，其中B點(diǎn)和C點(diǎn)分別位于河兩邊的正對(duì)岸，其中A、B兩點(diǎn)之間的距離達(dá)到了100m，在陸地上的運(yùn)輸速度是在水上運(yùn)輸速度的兩倍，為了使得從A點(diǎn)到C點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)輸時(shí)間最短，需要在D點(diǎn)上設(shè)立水陸轉(zhuǎn)換碼頭，求角BDC和AD之間的距離？很顯然要想解決以上問題只能借助于導(dǎo)數(shù)的概念。

解：首先要設(shè)定水流的速度是1，那么在陸地上的實(shí)際運(yùn)輸速度就是2，這里面社設(shè)定BDC的角度是θ，那么就可以得到導(dǎo)數(shù)函數(shù)：

3 結(jié)語

HPM 不能作為一種形式，它是為滿足提高教學(xué)效率而運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)的一種教學(xué)理念，因此不能在教學(xué)中簡單的對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行復(fù)制，這樣難以讓學(xué)生在復(fù)制的歷史中學(xué)習(xí)概念?？梢葬槍?duì)導(dǎo)數(shù)概念在產(chǎn)生過程中遇到的幾個(gè)問題構(gòu)造相類似的簡單問題，讓學(xué)生重新體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生的過程，更好地理解和掌握導(dǎo)數(shù)的概念。數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不能只是數(shù)學(xué)史的教學(xué)，而是教師對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的再創(chuàng)造，是學(xué)生對(duì)歷史的傳承與創(chuàng)新。

參考文獻(xiàn)：

[1]王芳.數(shù)學(xué)史融入導(dǎo)數(shù)教學(xué)的行動(dòng)研究[D].華東師范大學(xué)，2012.

[2]王芳，汪曉勤.HPM視角下的“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014.

[3]王芳，汪曉勤.HPM視角下“導(dǎo)數(shù)幾何意義”的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012.