梁艷云　涂愛玲

1思維的起點(diǎn)，靈感的源頭

如圖1、圖2是反比例函數(shù)教學(xué)中非常重要的兩個(gè)基本圖形，它刻畫了反比例函數(shù)圖像與幾何圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，在解題過(guò)程中應(yīng)用非常廣泛.為方便表述，不妨給這兩個(gè)基本圖形分別命名為面積矩形和面積三角形.

受這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化圖形的啟迪，我們創(chuàng)造了一系列非標(biāo)準(zhǔn)化圖形與反比例函數(shù)圖形有關(guān)的面積問(wèn)題.

2圖形的創(chuàng)作，題組的設(shè)計(jì)

2.1圖形創(chuàng)作

圖形的創(chuàng)作一：函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)類變式

“函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)類變式”是指幾何圖形與函數(shù)圖像結(jié)合，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題研究的一種變式設(shè)計(jì)方法.常見的類型有幾何圖形的頂點(diǎn)、邊長(zhǎng)、圖形在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)軸或函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng).其目的是從運(yùn)動(dòng)的角度揭示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的規(guī)律.下面是以反比例函數(shù)為例的圖形運(yùn)動(dòng)類變式網(wǎng)絡(luò)圖.

圖形運(yùn)動(dòng)類變式

1.面積矩形的一邊在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng).

（1）一個(gè)面積矩形的一個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)反比例函數(shù)圖形上（圖3）：

（2）兩個(gè)面積矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在兩個(gè)反比例函數(shù)圖形上（圖4）：

2.面積三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng).

（1）一個(gè)面積三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)反比例函數(shù)圖形上（圖5）：

（2）兩個(gè)面積三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在兩個(gè)反比例函數(shù)圖形上（圖6）：

圖形的創(chuàng)作二：函數(shù)與圖形變換類變式

初中幾何中的圖形變換主要有平移、翻折和旋轉(zhuǎn)三種，這三種變換的共同特點(diǎn)變換前后圖形的形狀、大小相同.“函數(shù)與圖形變換類變式”是指幾何圖形與函數(shù)圖像結(jié)合，進(jìn)行圖形平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換類問(wèn)題研究的一種變式設(shè)計(jì)的方法.常見的類型有在平面直角坐標(biāo)系中，①將幾何圖形沿坐標(biāo)軸或幾何圖形邊長(zhǎng)所在的直線或一些特殊直線進(jìn)行翻折；②將幾何圖形繞原點(diǎn)或一些特殊點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)；③將幾何圖形沿某一方向進(jìn)行平移.可以把一些看起來(lái)不相關(guān)的條件聯(lián)系起來(lái)，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.下面是以反比例函數(shù)為例的圖形變換類變式網(wǎng)絡(luò)圖.

圖形變換類變式

1.以面積三角形的各邊所在直線為軸對(duì)稱進(jìn)行翻折.

2.將面積三角形繞某一點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

圖形的創(chuàng)作三：函數(shù)與圖形割補(bǔ)類變式.

“函數(shù)與圖形割補(bǔ)類變式”是指在平面直角坐標(biāo)系中結(jié)合函數(shù)圖像的性質(zhì)，運(yùn)用割補(bǔ)思想進(jìn)行問(wèn)題研究的一種變式設(shè)計(jì)的方法.主要是運(yùn)用化整為零或化零為整的轉(zhuǎn)化思想將不規(guī)則圖形化為規(guī)則圖形，有了這一規(guī)則化思想，我們就能迅速正確的解答問(wèn)題.下面是以反比例函數(shù)為例的圖形割補(bǔ)類變式網(wǎng)絡(luò)圖.

圖形割補(bǔ)類變式

1.沿著割補(bǔ)思想中的“割”進(jìn)行圖形創(chuàng)作.

將一個(gè)面積矩形割去一個(gè)面積三角形或面積矩形或兩個(gè)面積三角形等.

2.沿著割補(bǔ)思想中的“割與補(bǔ)”進(jìn)行圖形創(chuàng)作.

將一個(gè)面積矩形割去一部分補(bǔ)成一個(gè)新圖形：

2.2題組設(shè)計(jì)

前面我們是站在數(shù)學(xué)思想方法的高度，分別從“圖形運(yùn)動(dòng)”、“圖形變換”以及

“圖形割補(bǔ)”等角度進(jìn)行了圖形創(chuàng)作.接下來(lái)根據(jù)創(chuàng)作的圖形，進(jìn)行具體問(wèn)題的題組設(shè)計(jì).在題組編寫時(shí)，為了靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中的面積矩形和面積三角形解決問(wèn)題，首先可以選擇以圖形變式作為問(wèn)題設(shè)計(jì)的主線，其次考慮低起點(diǎn)、寬入口作為問(wèn)題的切入點(diǎn)，順應(yīng)圖形的發(fā)展設(shè)計(jì)問(wèn)題串.下面以圖形運(yùn)動(dòng)類為例，進(jìn)行題組設(shè)計(jì).

設(shè)計(jì)說(shuō)明本組變式題的設(shè)計(jì)思路：從一個(gè)基本圖形即面積矩形切入，分別從三個(gè)角度進(jìn)行變式，1.將面積矩形的一條邊沿x軸或y軸運(yùn)動(dòng)；2.由一個(gè)反比例函數(shù)發(fā)展為兩個(gè)反比例函數(shù)；3.由一個(gè)面積矩形變?yōu)閮蓚€(gè)面積矩形.問(wèn)題由淺入深，層層推進(jìn).目的是通過(guò)這組變式題的訓(xùn)練，運(yùn)用同底等高思想，達(dá)到解決反比例函數(shù)的面積問(wèn)題.對(duì)于“圖形變換”和“圖形割補(bǔ)”創(chuàng)作的圖形，我們可以采用類似的方法設(shè)計(jì)變式題組.

3創(chuàng)作的思考，經(jīng)驗(yàn)的升華

我們教師不但要教給學(xué)生知識(shí)和方法，更主要的是使學(xué)生學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)的思維，數(shù)學(xué)的思想，這是最重要的，也是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓.本文的圖形創(chuàng)作，以平面坐標(biāo)系為載體，以兩個(gè)基本圖形即面積矩形和面積三角形為起點(diǎn)，尊重知識(shí)的發(fā)展規(guī)律和圖形的變化規(guī)律，從一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)，逐步演繹深化，變式拓展形成問(wèn)題鏈.通過(guò)研究題組設(shè)計(jì)，不僅能提高教師的教學(xué)水平和解題視野，而且能從不斷的“找題—解題—講題”的題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來(lái).我們知道，只有對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)剖析，深入研究，充分演變，透過(guò)問(wèn)題的表象看到問(wèn)題的本質(zhì)，才能設(shè)計(jì)出一些科學(xué)合理、新穎別致、富于創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，真正達(dá)到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果.

本文變式題組創(chuàng)作的主要目的是理解、鞏固反比例函數(shù)y=kx（k≠0）中k的幾何意義，即也就是我們所說(shuō)兩個(gè)基本圖形——面積矩形和面積三角形，并靈活運(yùn)用這兩個(gè)基本圖形解決函數(shù)圖像與幾何圖形相結(jié)合的面積問(wèn)題.縱觀近幾年的中考試題，可以發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題出現(xiàn)的頻率比較高，且題型靈活多樣.命題者為了考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，從不同角度、不同層次、不同方向進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì)，但不論問(wèn)題怎樣變化，都脫離不了反比例函數(shù)與“圖形運(yùn)動(dòng)、圖形變換、圖形分割”三種類型的問(wèn)題設(shè)計(jì)方式.不管問(wèn)題設(shè)計(jì)的角度如何巧妙，圖形如何復(fù)雜，只需要抓住兩個(gè)基本圖形即面積三角形和面積矩形，尋找問(wèn)題設(shè)計(jì)的路徑，一定能發(fā)現(xiàn)解決此類問(wèn)題的規(guī)律.