◎李偉良

地圖中的投影變形

◎李偉良

地圖投影是地圖制圖的基礎(chǔ)。在地圖投影的過程中，從三維球面空間向二維平面空間轉(zhuǎn)換會(huì)造成幾何圖形長度、角度和面積的變化，這就是投影變形。通過選擇合適的地圖投影來減小投影變形，可以減少地圖誤差。

地圖；投影；變形。

一、地圖制圖的基本原理

1．地圖投影 地球表面是一個(gè)不規(guī)則的三維曲面，通常以橢球面來近似代替，而地圖是一個(gè)二維的平面。地圖制圖實(shí)際上就是利用二維平面的要素來表示三維曲面的內(nèi)容，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)理論將地球表面上點(diǎn)的經(jīng)緯度相應(yīng)地轉(zhuǎn)換為平面上直角坐標(biāo)［1］，這個(gè)坐標(biāo)映射的過程就是地圖投影。地圖投影的本質(zhì)是不同空間坐標(biāo)系之間的數(shù)學(xué)映射和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。選擇不同的入射光線、投影角度和投影面，就會(huì)形成不同的地圖投影類型（如圖2－1）。

2．投影變形 投影變形是地圖制圖過程中，從三維空間向二維空間進(jìn)行地圖投影帶來的必然結(jié)果。這就好比一塊籃球皮，想要平鋪到地面上，一定會(huì)發(fā)生變形。通常投影變形會(huì)表現(xiàn)為距離變形、角度變形、面積變形或者距離、角度、面積的綜合變形（圖2－2）。圖2－1很好地表現(xiàn)了距離變形：半球上同樣長度的經(jīng)線在經(jīng)過正射投影之后，發(fā)生了明顯的變形，越靠近赤道圖上長度越短。圖2－3是西雅圖至倫敦的飛行航線，地圖上顯示航線為曲線，似乎有悖于“平面上兩點(diǎn)之間線段最短”這條公理。對比圖2－4，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)飛行航線原來走的還是最短路線，

只不過橫軸墨卡托投影下航線發(fā)生了投影變形。當(dāng)然，實(shí)際航線也不可能是直線，因?yàn)榍蛎嫔蟽牲c(diǎn)的最短距離是通過球心的大圓的劣弧。

如果從解析幾何的角度來解釋投影變形這個(gè)問題，會(huì)更容易理解。三維空間和二維空間處于不同的坐標(biāo)系，同一種圖形在不同的坐標(biāo)系下會(huì)有不同的表現(xiàn)形式。比如圖2－5單位圓，在X－Y坐標(biāo)系下表現(xiàn)為圓形，但是在R－θ坐標(biāo)系下則表現(xiàn)為一條線段。

二、投影變形的控制

1．投影變形的影響 通常講，投影變形對于人們?nèi)粘Ｊ褂玫貓D不會(huì)造成影響，但對于大范圍的地圖來說，距離、角度和面積的變形會(huì)對計(jì)算的結(jié)果造成重大的影響：距離的變形會(huì)造成公路、鐵路里程計(jì)算的錯(cuò)誤，角度的變形會(huì)造成遠(yuǎn)程火炮、導(dǎo)彈等武器打擊目標(biāo)方位的錯(cuò)誤等，所以應(yīng)充分考慮投影變形帶來的影響。

2．投影變形的控制 投影變形是地圖編制過程中無法消除的問題，只能通過選擇不同的地圖投影方式來消除或減弱某一個(gè)方面的變形，從而達(dá)到在一定程度上控制投影變形的目的，而代價(jià)是增大其他方面的變形。

（1）等角投影。等角投影，即地面上的任意兩條直線的夾角，在經(jīng)過地球投影繪制到圖紙上以后，其夾角保持不變，如墨卡托投影、蘭伯特等角投影、高斯－克呂克投影等。等角投影便于圖上量測方向和角度，常用于對真實(shí)角度和方向要求高的地圖，如航海圖、洋流圖、風(fēng)向圖、地形圖等。但是，等角投影面積變形很大，越往兩極面積變形越大，故不能量算面積，這也是引言中面積“錯(cuò)”得離譜的原因所在。墨卡托投影由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（G．Mercator）于1569年創(chuàng)立，按照墨卡托投影圖上兩點(diǎn)間的直線航行，方向不變可以一直到達(dá)目的地，同時(shí)航海者從此可以在地圖上用直線畫出航線圖了。在缺乏GPS定位的大航海時(shí)代，墨卡托投影為船艦在航行中定位、確定航向帶來了極大的便利，目前依然廣泛用于航海圖和航空圖。

（2）等積投影。等積投影，即地面上的一塊面積在經(jīng)過地球投影繪制到圖紙上以后，面積保持不變，如摩爾威德投影、阿爾伯斯等面積投影、蘭伯特等面積投影等。等積投影常用于對面積精度要求較高的自然和經(jīng)濟(jì)地圖，如地質(zhì)、土壤、土地利用、行政區(qū)劃等地圖。在我國，大中比例尺常采用高斯—克呂格投影，大部分省區(qū)地圖以及大多數(shù)這一比例尺的地圖多采用阿爾伯斯等面積投影，1：100萬等小比例尺地形圖常采用蘭勃特投影。

（3）等距投影和任意投影。實(shí)際上并不存在嚴(yán)格意義上的等距投影。等距投影可以看做是任意投影中的一種特例，通常只能保證坐標(biāo)軸線方向上的距離不變，其他方向依然存在距離變形。等距離投影中，最有名的一種叫做等距離圓柱投影，所有相鄰經(jīng)線和緯線的距離都相同，是公認(rèn)的所有地圖投影里數(shù)學(xué)變換最簡單的一種。這種地圖雖然既不能保持形狀準(zhǔn)確，又不能保證面積準(zhǔn)確，也不能保證角度準(zhǔn)確，但因?yàn)橹谱骱唵?，常用來制作索引地圖或示意地圖（如圖3－3）．

任意投影，既不能保證角度不變，又不能保證面積不變，各方面變形都存在，但都適中，常用于教學(xué)地圖、科學(xué)參考地圖和通用世界地圖等。其中比較著名的有羅賓遜投影，可以兼顧面積、形狀、角度、距離變形的最小化，地球大陸的變形在視覺上降到了相對可以接受的程度，常被用來繪制世界地圖。

三、結(jié)論

地圖的投影變形是客觀存在的，無法徹底消除，只能根據(jù)實(shí)際工作的需要選擇合適的地圖投影，從而將投影變形控制在可以接受的范圍內(nèi)。

［1］廖克編．地圖概論．北京：科學(xué)出版社，1980

［2］孫以義．計(jì)算機(jī)地圖制圖．北京：科學(xué)出舨社，2000

［3］樓錫淳，等．海圖學(xué)概論［M］．北京：測繪出版社，1993

［4］張家立．地圖投影：地圖“大廈”的根基［J］．地圖，2005（3）：56－59．

［5］馬克S·蒙莫尼爾．地圖變形及意義［M］．胡毓鉅，胡孝沁，譯．北京：中國地圖出版社，1989：6．

（作者單位：湖南省長沙市長郡中學(xué)1413班 410000）