□鄒興平
冪的大小比較
□鄒興平
比較冪am和an(其中a、b為正數(shù),m、n為正整數(shù))的大小時(shí),首先明白它們之間有如下兩種大小關(guān)系:
(1)當(dāng)a=b,且m>n時(shí),
①若底數(shù)大于1,則am>bn,即底數(shù)大于1的兩個(gè)同底數(shù)的冪,指數(shù)大的冪也大;
②若底數(shù)小于1,則am<bn,即底數(shù)小于1的兩個(gè)同底數(shù)的冪,指數(shù)大的冪反而小;
(2)當(dāng)m=n時(shí),若a>b,則am>bn,即同指數(shù)的兩個(gè)冪,底數(shù)大的冪也大.
根據(jù)上述結(jié)論可得比較冪的大小有如下幾種方法.
例1若a=8131,b=2741,c=961,則a、b、c大小關(guān)系是().
A.a>c>b B.a>b>c
C.a<b<c D.b>c>a
解析:因?yàn)?131=(34)31=3124, 2741=(33)41=3123,961=(32)61=3122,而124>123>122,所以a>b>c,故選B.
答案:B.
點(diǎn)評:由于冪比較大,直接計(jì)算很不現(xiàn)實(shí),觀察發(fā)現(xiàn),例1和例2中其底數(shù)分別可以轉(zhuǎn)化為3或,這樣只需要比較其指數(shù)即可.
例3已知a=2444,b=3333,c=5222,則a,b,c大小關(guān)系是().
A.a>b>c B.c>b>a
C.a<c<b D.b>a>c
解析:根據(jù)冪的乘方的性質(zhì),逆向運(yùn)用得到amn=(am)n,因?yàn)?44,333,222的最大公約數(shù)為111,所以a=2444=(24)111=16111,b=3333=(33)111=27111,c=5222=(52)111=25111.而16<25<27,所以16111<25111<27111,即a<c<b,故選C.
答案:C.
例4比較390與845的大小.
解析:由于兩個(gè)冪的指數(shù)90是45的2倍,因此給出的兩個(gè)冪可以化為相同的指數(shù),得390=(32)45=945.顯然945>845,所以390>845.
點(diǎn)評:無法直接計(jì)算,又不能把底數(shù)化為相同,可考慮先找出其指數(shù)的最大公約數(shù),逆用冪的乘方運(yùn)算性質(zhì),把它們的指數(shù)化為相同,這樣只需比較其底數(shù)即可.
例5已知a3=3,b5=4,比較a、b的大小.
解析:因?yàn)椋╝3)5=a15=35=243,(b5)3=b15=43=64,而243>64,所以a15>b15,所以a>b.
點(diǎn)評:顯然不能直接求出a、b值再比較,可先將它們各自乘方,使乘方后冪的指數(shù)為原各指數(shù)的最小公倍數(shù),然后再比較所得數(shù)的大小.
例6比較1516和3313的大小.
解析:因?yàn)?516<1616=(24)16=264,3313>3213=(25)13=265,而265>264,所以3313>1516.
點(diǎn)評:既不能化為同底數(shù),又無法化為同指數(shù),觀察兩個(gè)底數(shù),15接近16,33接近32,而16與32都可以表示為以2為底數(shù)的冪的形式,可通過比較中間量的大小來確定冪的大小.運(yùn)用放縮法比較冪的大小時(shí)要注意放縮的“幅度”,應(yīng)盡可能與原數(shù)的大小接近,不能過大,如果比較失敗,說明放縮的“幅度”偏大.
例7比較2616和8213的大小.