■江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué) 何竹峰
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小議試題講評(píng)多解性的重要性
■江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)何竹峰
眾所周知,數(shù)學(xué)解題教學(xué)立足于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)在具體問題中的使用熟練度,這與解題訓(xùn)練密不可分.對(duì)于解題效果最直接的體現(xiàn),是試卷中學(xué)生對(duì)于解決的問題所產(chǎn)生的一些誤區(qū),這些錯(cuò)誤往往千奇百怪、思維發(fā)散,因此筆者以為對(duì)于試卷中重要的數(shù)學(xué)問題要給出多樣性的回應(yīng),這正如解題教學(xué)泰斗羅增儒先生所說:解題教學(xué)要有效需要兩個(gè)方面,其一是給出較好的方法,引導(dǎo)學(xué)生解決問題中用較好的方式處理,但這還只是第一層境界;學(xué)生解題的方式比較多、思維比較開闊,恰是這種開闊性才能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神,將不同的問題解決思路多種展示,是第二重境界.
從試題講評(píng)的多解性來看,筆者以為至少有下列兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):
(1)思維發(fā)散性:思維培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的作用,試題講評(píng)多解性的滲透恰恰是培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性,如代數(shù)問題既能給出一般性的代數(shù)解法,又能給出巧妙的幾何方式,自然對(duì)于學(xué)生思維啟發(fā)有著較大的作用.
(2)熟練整合度:多解性的使用,自然會(huì)使用到各種不同的知識(shí),講評(píng)中多次使用不同知識(shí)既提高了知識(shí)的熟練度,也提高了知識(shí)的整合度.
下文筆者以兩大幾何問題為例,小議在幾何問題講評(píng)中多解性的分析.
案例1如圖1,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,∠BAD= 120°,PA=AD=1,AB=2.M、N分別是PD、CD的中點(diǎn),求二面角AMN-C的余弦值.
圖1
分析:二面角問題始終是我們學(xué)生的一大弱點(diǎn),所以此題大部分學(xué)生都沒能用傳統(tǒng)方法找出二面角的平面角,而用空間直角坐標(biāo)系的也有很多的問題:有建錯(cuò)系的,有寫錯(cuò)點(diǎn)坐標(biāo)的,有計(jì)算錯(cuò)誤的,還有最后不會(huì)判斷銳角鈍角的.最后在和同學(xué)們的共同探討中,主要形成了以下三種方法:
方法一:如圖1所示,在等邊△AND中取DN中點(diǎn)E,連AE,PE,在直角△PAE中作AH⊥PE于點(diǎn)H,則AE⊥CD,PA⊥CD,所以CD⊥平面PAE.于是CD⊥AH,又AH⊥PE,所以AH⊥平面CMN.在△AMN中,過A點(diǎn)作AF⊥MN于點(diǎn)F.因?yàn)锳H⊥平面CMN,所以AH⊥MN.故MN⊥平面AFH,于是有FH⊥MN,結(jié)合AH⊥MN,所以∠AFH為二面角A-MN-C的平面角.
方法二:直接找二面角有點(diǎn)困難,所以可以轉(zhuǎn)化為先求二面角A-MN-D,易知AN=MN=ND=1,AM=MD=,所以△AMN和△DMN全等,則只要作DO⊥MN,交MN于O,連接AO,則AO⊥MN,則∠AOD即為所求二面角的平面角.易求得,則二面角A-MN-C平面角的余弦值為
方法三:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC、AD、AP所在直線為坐標(biāo)軸,建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系,則設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,可得
圖2
說明:空間幾何問題筆者以為要教會(huì)學(xué)生“兩條腿”走路,其一是傳統(tǒng)法,即如何求解二面角,這里往往涉及到定義法等,這些方法的使用較好地厘清了學(xué)生的立體幾何公理化體系,尤其對(duì)于立體幾何小題中的稍難問題更有獨(dú)到的作用;其二是空間向量法的使用,吳文俊大師提出了數(shù)學(xué)問題“代數(shù)化”的方式,這種機(jī)械化的方式被認(rèn)為是解決空間幾何最為一般化的方式.教學(xué)中對(duì)兩種不同方法的引導(dǎo),有助于學(xué)生在問題解決中合理地使用方法.
案例2已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2,一條拋物線恰好經(jīng)過該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn),則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是____________.
分析:首先本題部分學(xué)生不會(huì)做的原因是覺得這個(gè)六邊形怎么放置有疑問,從而覺得此題因存在不確定因素而難以下手.而靈活的同學(xué)則發(fā)現(xiàn)不管正六邊形怎么放置,只要是拋物線過四個(gè)頂點(diǎn),則拋物線的形狀是不變的,那么p的值也是不變的,因此在優(yōu)秀學(xué)生中主要有以下解法:
方法一:學(xué)生發(fā)現(xiàn)本質(zhì)是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,屬初中內(nèi)容,所以設(shè)二次函數(shù)y=ax2+b,如圖3,建立直角坐標(biāo)系代入易求得a=,所以
圖3
方法二:如圖4,設(shè)x2=2py,設(shè)A(1,h),,則計(jì)算得
圖4
通過本題的講評(píng),筆者還讓同學(xué)們嘗試編了同類型試題如下:
(1)已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2,一個(gè)橢圓恰好經(jīng)過該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn),并且另外兩個(gè)頂點(diǎn)為該橢圓的焦點(diǎn),則橢圓的離心率為_______________.
(2)已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2,某雙曲線恰好經(jīng)過該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn),并且另外兩個(gè)頂點(diǎn)為該雙曲線的焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為_______________.
(Ⅰ)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線l2垂直于l1,垂足為點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(Ⅱ)若AC,BD是經(jīng)過橢圓C1右焦點(diǎn)F2的兩條互相垂直的弦,求四邊形ABCD面積的最小值.
分析:(Ⅰ)考查求軌跡方程的問題.求軌跡方程的方法有很多:直接法、轉(zhuǎn)移代入法(相關(guān)點(diǎn)法)、參數(shù)法、定義法等.在講評(píng)過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是采用參數(shù)法求得的,但是運(yùn)算上正確率較低.
方法一:設(shè)直線l2:y=y0,則線段PF0的垂直平分線為,與y=y0的交點(diǎn)M設(shè)為(x,y),得消參即可得到y(tǒng)2=4x,即為所求點(diǎn)的軌跡方程.
方法二(定義法):發(fā)現(xiàn)符合定義的同學(xué)較少,說明對(duì)此類問題學(xué)生在綜合分析能力及化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用上有所欠缺.解法如下:由題意得|MP|=|MF2|,故動(dòng)點(diǎn)M到定直線l1:x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F2(1,0)的距離,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C2是以l1為準(zhǔn)線,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線.因此所求點(diǎn)M的軌跡方程C2為y2=4x,抓住問題的本質(zhì)后,解題過程簡(jiǎn)潔明了.
(Ⅱ)在講評(píng)過程中,學(xué)生反映出的問題主要有兩個(gè):計(jì)算問題和求函數(shù)最值方法問題.通過和同學(xué)們的一起探討,最后筆者主要用了三種方法求最值:易知,當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時(shí),四邊形ABCD的面積S=4,其他情況四邊形ABCD的面積為
方法一:基本不等式求最值,由于(2k2+3)(2+3k2)≤,所以,當(dāng)2k2+3=2+ 3k2,即k=±1時(shí)取等號(hào).
方法三(換元法):本題到最后學(xué)生對(duì)求最值感到困難的一大原因是因?yàn)槭阶訌?fù)雜、次數(shù)又高而產(chǎn)生懼怕心里,從而失去了正常的分析能力,所以筆者對(duì)這樣的問題在教學(xué)時(shí)一直是以復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,如何先轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題為重點(diǎn)教學(xué)的,所以本題筆者又通過設(shè)t= 1+k2,
所以當(dāng)t=1+k2=2,即k=±1時(shí),S有最小值
說明:解析幾何問題的處理主要集中在兩個(gè)方面的引導(dǎo):其一是題中條件轉(zhuǎn)換是否合理?如:我們知道以AB為直徑的圓經(jīng)過F點(diǎn)之類的條件,最合理、最簡(jiǎn)潔、最高效的方式是利用向量條件而多數(shù)學(xué)生卻在求解圓方程,利用距離求解,令人費(fèi)解;其二是如案例3中所述,解析幾何中的最值如何求解?即函數(shù)模型的處理.筆者以為,這是多解性方法可以優(yōu)化的地方,優(yōu)化合理的函數(shù)模型更有利于學(xué)生感悟函數(shù)最值求解的重要性,也對(duì)解析幾何問題不再恐懼.
總之,試題講評(píng)多解性對(duì)于學(xué)生思路的開拓性、知識(shí)的整合性以及錯(cuò)誤的糾正性上都有較為有效的作用,筆者建議在合理的、重要的試題中引入講評(píng)的多解性,有助于解題教學(xué)展開得更為高效、有效.
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