■湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)　簡(jiǎn)藝恒　戴潔珍（指導(dǎo)老師）

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近五年湖北高考數(shù)學(xué)試題中的數(shù)學(xué)史題淺析

■湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)簡(jiǎn)藝恒戴潔珍（指導(dǎo)老師）

翻看近五年湖北高考數(shù)學(xué)自主命題試卷，我們發(fā)現(xiàn)有一個(gè)共同的規(guī)律：不論文科還是理科，試卷中都出現(xiàn)了一道有關(guān)數(shù)學(xué)文化史的試題.這似乎是一個(gè)趨勢(shì)，一個(gè)標(biāo)桿.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出高中數(shù)學(xué)要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化，提倡“關(guān)注過(guò)程”“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)”“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”“發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”，突出以文化為主題的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)課程觀和數(shù)學(xué)教學(xué)觀.高考，無(wú)疑是貫徹落實(shí)“標(biāo)準(zhǔn)”最強(qiáng)勁的驅(qū)動(dòng)力.

縱觀近五年的湖北數(shù)學(xué)高考試卷，我們可以從以下幾個(gè)層面對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)文化的試題進(jìn)行剖析.

一、來(lái)源及知識(shí)點(diǎn)分析

湖北高考數(shù)學(xué)試題中有關(guān)數(shù)學(xué)文化史的基本來(lái)源于《九章算術(shù)》、古希臘格達(dá)拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家、《數(shù)書(shū)九章》以及《算數(shù)書(shū)》.其中，《九章算術(shù)》、《數(shù)書(shū)九章》以及《算數(shù)書(shū)》都是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《九章算術(shù)》出自于我國(guó)漢代，其作者已不可考.《九章算術(shù)》的內(nèi)容十分豐富，全書(shū)采用問(wèn)題的形式，共收有246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題.問(wèn)題大多是與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中每道題有問(wèn)（題目）、答（答案）、術(shù)（解題步驟，但無(wú)證明過(guò)程），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù).所有問(wèn)題依據(jù)性質(zhì)和解法被歸結(jié)為九章.涉及“方田”、“粟米”、“衰分”、“少?gòu)V”、“商功”、“均輸”、“盈不足”、“方程”以及“勾股”等內(nèi)容.《算數(shù)書(shū)》比《九章算術(shù)》早出現(xiàn)一個(gè)半世紀(jì)，有說(shuō)法認(rèn)為《九章算術(shù)》與《算數(shù)書(shū)》有繼承關(guān)系.《數(shù)書(shū)九章》則出自南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，該書(shū)是他唯一的數(shù)學(xué)著作.相比而言，古希臘的數(shù)學(xué)流派出現(xiàn)得則要晚得多.

從表1可以看出，在湖北近五年高考數(shù)學(xué)試卷中，有關(guān)數(shù)學(xué)文化史的試題共有11道.其中，2011年文科卷第9題與2011年理科卷第13題相同，2012年文科第17題與2013年理科第14題相似，2014年文科第10題與2014年理科第8題相同，2015年文科第20題與2014年理科第19題一樣，這些試題大多來(lái)自《九章算術(shù)》.《九章算術(shù)》在我國(guó)數(shù)學(xué)史上的地位可見(jiàn)一斑.

表1：近五年湖北高考數(shù)學(xué)有關(guān)數(shù)學(xué)文化史試題來(lái)源統(tǒng)計(jì)

從分值分配來(lái)看，有關(guān)數(shù)學(xué)史的試題由往年的5分已經(jīng)上升到2015年的12分以及18分，數(shù)學(xué)文化史類(lèi)試題在高考數(shù)學(xué)中的比重已越來(lái)越大.

從表2可知，有關(guān)數(shù)學(xué)文化史的試題涉及到的知識(shí)點(diǎn)主要集中在數(shù)列、立體幾何證明與計(jì)算、各類(lèi)幾何形體的體積計(jì)算、比例計(jì)算等等.其中，數(shù)列與幾何形體的體積計(jì)算比重明顯較大.2015年甚至出現(xiàn)了有關(guān)數(shù)學(xué)史的幾何證明題，且分值較大.

表2：近五年湖北高考數(shù)學(xué)有關(guān)數(shù)學(xué)文化史試題知識(shí)點(diǎn)分布及分值

二、試題舉例

例1（2011年理科卷第13題）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_(kāi)________升.

解析：設(shè)九節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，由題意知，a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，解得，于是

此題來(lái)自《九章算術(shù)》，主要考查數(shù)列問(wèn)題的簡(jiǎn)單計(jì)算.

例2（2012年理科卷第10題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑.“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式.人們還用過(guò)一些類(lèi)似的近似公式.根據(jù)π=3.14159…判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是（）.

此題來(lái)自《九章算術(shù)》，側(cè)重考查球體的體積計(jì)算公式的靈活運(yùn)用.

例3（2015年理科卷第19題）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖1，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF， BD，BE.

圖1

（Ⅰ）證明：PB⊥平面DEF，試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由.

此題來(lái)自《九章算術(shù)》，與2015年的文科卷第20題相同，主要考查立體幾何的證明與比例計(jì)算.

例4（2013年文科試卷第16題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是__________寸．（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）

此題來(lái)自《數(shù)書(shū)九章》，考查的是幾何形體圓臺(tái)的體積計(jì)算.

例5（2015年理科試卷第2題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）.

A．134石B．169石C．338石D．1365石

答案是B.

此題來(lái)自《數(shù)書(shū)九章》，主要考查比例計(jì)算.該題在2015年湖北文科卷中再一次出現(xiàn).

例6（2014年文科卷第10題）《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為（）.

答案是B.

此題出自《算數(shù)書(shū)》，考查圓錐的體積計(jì)算，此題在2014年理科卷第8題中再次出現(xiàn).

例7（2012年文科卷第17題）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：

圖2

將三角形數(shù)1，3，6，10，記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}.可以推測(cè)：

（Ⅰ）b2012是數(shù)列{an}中的第________項(xiàng)；

（Ⅱ）b2k-1=________（用k表示）.

例8（2013理科卷第14題）古希臘畢達(dá)哥拉斯的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為記第n個(gè)k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：

可以推測(cè)N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10，24）= _________________.

例7、例8來(lái)源于古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家，這兩道試題都是考查數(shù)列的推導(dǎo)與計(jì)算.

結(jié)束語(yǔ)

高考試題中出現(xiàn)的有關(guān)數(shù)學(xué)文化史的試題在形式上雖然與我們平常作業(yè)不太一樣，但實(shí)際難度并不太大，有的甚至很簡(jiǎn)單.對(duì)于出現(xiàn)的比較晦澀的古文或名詞，一般也會(huì)描述或解釋得非常清楚，對(duì)我們解題不會(huì)帶來(lái)什么負(fù)面影響，相反，枯燥呆板的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)有趣的描述，生動(dòng)的實(shí)例，有時(shí)還能緩解我們考試時(shí)緊張的情緒，起到調(diào)節(jié)、鎮(zhèn)靜的作用，從而有利于我們考試的正常發(fā)揮，在不知不覺(jué)間還增強(qiáng)了我們的人文修養(yǎng).法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)：“如果我們想要預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)的未來(lái)，那么適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門(mén)科學(xué)的歷史與現(xiàn)狀.”的確如此！