劉利斌,劉翠萍,張永,王勇

(1.池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,安徽池州　247000; 2.西北核技術(shù)研究所,陜西西安　710024)

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基于粒子群算法的捕食者-食餌模型的參數(shù)估計

劉利斌1,劉翠萍1,張永1,王勇2

(1.池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,安徽池州247000; 2.西北核技術(shù)研究所,陜西西安710024)

摘要：針對捕食者-食餌模型參數(shù)估計問題,基于三次Hermite插值多項式,提出了一種基于粒子群優(yōu)化算法的高精度參數(shù)估計方法.數(shù)值仿真實驗表明,本文提出的參數(shù)估計方法可以更精確地計算出相關(guān)參數(shù).

關(guān)鍵詞：捕食者-食餌模型;粒子群算法;參數(shù)估計

1　引言

在自然界中,不同種群之間存在一種相互依存又相互制約的生存方式.例如種群甲靠豐富的自然資源生存,而種群乙靠捕食甲為生,這就形成了捕食者-食餌系統(tǒng).常用的捕食者-食餌模型具有如下形式:

其中, x(t)和y(t)分別表示食餌種群和捕食者種群在t時刻的數(shù)目; f[x(t)]和g[y(t)]分別表示食餌種群和捕食者種群在t時刻的增長率; p[x(t)]為捕食者種群對食餌種群的功能性反應(yīng)函數(shù), k為已知的常數(shù).

對于捕食者-食餌模型的理論分析,一些學(xué)者已經(jīng)進行了系統(tǒng)的研究[1-3].近年來,捕食者-食餌模型的參數(shù)估計問題越來越受到許多學(xué)者的關(guān)注.文獻[4]研究了一類微分方程的參數(shù)反演問題,并提出了一種樣條最小二乘算法.文獻[5]考慮經(jīng)典的捕食者-食餌模型的參數(shù)估計問題,給出了求解這類參數(shù)估計問題的信賴域方法.文獻[6-7]討論了捕食者-食餌模型的兩階段參數(shù)估計法,并得到了參數(shù)的估計值和置信區(qū)間.文獻[8]首先利用三點的四階差分格式對捕食者-食餌模型中的一階導(dǎo)數(shù)進行了離散,并將其參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化成一個無約束的優(yōu)化問題,然后提出了一種混合加速粒子群算法來求解該優(yōu)化問題.為了進一步提高捕食者-食餌模型參數(shù)估計的精度,本文基于三次Hermite插值函數(shù),得出一個具有五階精度的數(shù)值積分公式,并將該積分公式應(yīng)用于捕食者-食餌模型數(shù)值離散,同時可得到相應(yīng)的無約束優(yōu)化問題.接著,利用基本的粒子群算法對該優(yōu)化問題進行求解.與目前已有的算法相比,本文提出的參數(shù)估計方法的精度明顯更高一些.

2　三次Hermite插值多項式與數(shù)值積分公式的構(gòu)造

對于給定函數(shù)F : [x0,x1]→C[x0,x1],滿足插值條件

的三次Hermite插值多項式[9]可表示為:

其中

對于三次Hermite插值多項式(3),有如下的誤差估計:

定理1.1[9]對于任意的實數(shù)x0, x1(x0＜x1),函數(shù)f(x)∈C4[x0,x1],若p(x)是三次的Hermite插值多項式,則對任意的x∈[x0,x1],都存在一個ξ∈[x0,x1],使得

進一步,由定理1可得如下數(shù)值積分公式:

其中ε∈[x0,x1].

3　捕食者-食餌模型的參數(shù)估計

考慮如下捕食者-食餌模型:

初始條件為x(t0) =α5, y(t0) =α6,其中αi(i = 1,···,6)是待求的參數(shù).

顯然,方程(6)為非線性常微分方程組,很難求出其解析解.因此,對于給定四個參數(shù)(α1,α2,α3,α4)和初始條件α5,α6,可采用數(shù)值方法進行求解.為了方便,稱(α1,α2,α3,α4)為狀態(tài)參數(shù),初始值α5,α6為初值參數(shù).

一般情況下,對于x(t), y(t)的一組測量數(shù)據(jù)

可將模型(6)中的參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為如下無約束的非線性優(yōu)化問題:

其中α= (α1,α2,α3,α4)為未知參數(shù), X, Y為測量數(shù)據(jù),為估計值.

接下來,為了得出目標函數(shù)(7)的具體表達式,利用(5)式對模型(6)進行離散,得

于是,目標函數(shù)(7)可轉(zhuǎn)化為如下非線性優(yōu)化問題

其中

4　基本粒子群算法簡介

粒子群算法(Particle Swarm Optimization),又稱PSO算法,是由Eberhart博士和Kennedy博士在1995年提出的一種基于群體智能演化的計算技術(shù)[10].該算法最早是受到鳥群活動的規(guī)律性啟發(fā),進而利用群體智能建立起來的一個簡化模型. PSO算法在對種群活動行為觀察基礎(chǔ)上,利用群體中的個體對信息的共享使整個群體的運動在問題空間中產(chǎn)生無序到有序的進化過程,從而獲得最優(yōu)解.與遺傳算法相比,它沒有遺傳算法的“交叉”和“變異”操作,它通過追逐當前搜索的最優(yōu)值來尋找全局最優(yōu). PSO算法以其實現(xiàn)容易、精度高、收斂快等優(yōu)點引起了許多學(xué)者的關(guān)注,并且在參數(shù)估計中展示了其優(yōu)越性,見文獻[11-15].粒子群算法迭代過程如圖1所示.

圖1　PSO算法的流程圖

5　數(shù)值實驗與結(jié)果分析

在這里,以2006年全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽B題數(shù)據(jù)為例,驗證本文方法的有效性,其中狀態(tài)參數(shù)的真值為α= (2,?0.1,?10,1,13,72),時間區(qū)間[0,15],采樣時間步長?t = 0.1.另外,為了方便計算,將測量數(shù)據(jù)的第一組數(shù)據(jù)定為初值參數(shù)的估計值,即α5= 12.9622, α6= 72.1230.于是,在后面的計算結(jié)果中,只需計算α1,α2,α3,α4即可. PSO算法的參數(shù)設(shè)置為:最大迭代次數(shù)為50次,粒子數(shù)N = 200,加速常數(shù)c1= 1.2, c2= 1.2,狀態(tài)參數(shù)范圍αi∈[?11,11](i = 1,···,4).

接下來,采用粒子群算法對目標函數(shù)(8)進行求解,狀態(tài)參數(shù)的計算結(jié)果見表1.同時,為了驗證本文方法的優(yōu)越性,表1中也列出了文獻[7-8]的計算結(jié)果.在這里,表1中狀態(tài)參數(shù)的誤差采用如下式子進行計算,

其中ei(i = 1,2,3,4)為各參數(shù)的估計值與真實值之間的差.

表1　不同算法計算得到的狀態(tài)參數(shù)及誤差

最后,將本文計算的結(jié)果代入模型(6),用Runge-Kutta法求得其數(shù)值并進行仿真,得出x(t)和y(t)的擬合曲線,如圖2,圖3所示.從圖中可以看出,計算得到的結(jié)果和實際測量得到的結(jié)果是相當吻合的.

6　結(jié)論

對于捕食者-食餌模型的參數(shù)估計問題,本文首先結(jié)合三次Hermite插值多項式,提出了一個高精度的數(shù)值積分公式,并將其應(yīng)用于捕食者-食餌模型的離散.值得一提的是該數(shù)值積分公式只需兩個節(jié)點的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值.然后,為了克服經(jīng)典迭代優(yōu)化算法對參數(shù)初值的依賴,采用了粒子群優(yōu)化算法對捕食者-食餌模型的參數(shù)進行求解.數(shù)值實驗表明本文提出的參數(shù)估計方法具有較高的精度.

圖2　x(t)的測量與計算值的仿真結(jié)果比較

圖3　y(t)的測量與計算值的仿真結(jié)果比較

參考文獻

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2010 MSC: 65L12

Parameter estimation method for predator prey model based particle swarm optimization algorithm

Liu Libin1, Liu Cuiping1, Zhang Yong1, Wang Yong2
(1. College of Mathematics and Computer, Chizhou University, Chizhou 247000, China; 2. Northwest Institute of Nuclear Technology, Xi′an 710024, China)

Abstract:For the problem of predator prey model parameter estimation, a high accuracy parameter estimation method based on particle swarm optimization algorithm is proposed, which is based on the cubic Hermite interpolation polynomial. It is shown from the numerical results that the proposed method can be more accurate.

Key words:predator prey model, particle swarm algorithm, parameter estimation

作者簡介：劉利斌(1982-),博士,講師,研究方向:微分方程數(shù)值解法及智能計算.

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11301044);安徽省優(yōu)秀青年人才重點項目(2013SQRL095ZD);安徽省高校自然科學(xué)研究重點項目(KJ2015A213);安徽省大學(xué)生創(chuàng)新項目(AH201411306130).

收稿日期：2015-08-10.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.004

中圖分類號：O175.14

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0019-07