艾健健，趙擁軍，劉成城

(解放軍信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,　鄭州 450001)

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基于空間斜投影的寬帶多相干組DOA估計(jì)算法

艾健健，趙擁軍，劉成城

(解放軍信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,鄭州 450001)

摘要：針對(duì)寬帶多相干組信號(hào)條件下傳統(tǒng)的聚焦類算法性能下降的問題，提出一種基于空間斜投影的寬帶波達(dá)方向(DOA)估計(jì)算法。該算法首先利用窄帶解相干算法得到初始的DOA估計(jì)值，接著通過(guò)求解約束最小化問題得到各相干組信號(hào)的衰落系數(shù)估計(jì)值；然后，利用空間斜投影技術(shù)將不同的相干組信號(hào)分離，并利用聚焦變換將分離的信號(hào)聚焦到單一頻點(diǎn)處；最后，利用窄帶高分辨算法得到最終的DOA估計(jì)值。仿真實(shí)驗(yàn)表明：與現(xiàn)有的聚焦類算法相比，文中算法具有更好的估計(jì)性能，在較低信噪比情況下尤為明顯；同時(shí)，文中方法對(duì)于相關(guān)性較低的空間色噪聲也有一定適用性。

關(guān)鍵詞：寬帶多相干組信號(hào)；聚焦變換；衰落系數(shù)；空間斜投影

0引言

波達(dá)方向(DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的重要研究?jī)?nèi)容，30多年來(lái)得到了人們的廣泛關(guān)注。根據(jù)信息論原理，相比于窄帶信號(hào)，寬帶信號(hào)攜帶有更多的信息量，因此利用寬帶信號(hào)可獲取目標(biāo)信號(hào)更多的信息?；谏鲜鲈?，寬帶信號(hào)越來(lái)越多地應(yīng)用于無(wú)線通信、雷達(dá)等系統(tǒng)中。寬帶信號(hào)模型不同于窄帶信號(hào)模型，因而無(wú)法將窄帶處理方法直接應(yīng)用到寬帶DOA估計(jì)中。因此，需要對(duì)寬帶DOA估計(jì)進(jìn)行專門研究。

現(xiàn)有的寬帶DOA估計(jì)方法主要分為兩類：最大似然類和子空間類算法。最大似然類方法是一種最優(yōu)求解方法，但該類算法需要已知信號(hào)的功率譜密度矩陣，且需多維搜索，算法的應(yīng)用受限。子空間類方法是目前應(yīng)用最多的寬帶DOA估計(jì)方法，主要分為兩類：一類是非相干信號(hào)子空間算法(ISM)[1]。ISM是窄帶方法在寬帶中的直接應(yīng)用。ISM適用于高信噪比條件，且不能直接處理相干信號(hào)。另一類為相干信號(hào)子空間算法(CSM)。CSM通過(guò)構(gòu)造聚集矩陣將各窄帶信號(hào)子空間對(duì)齊得到單頻點(diǎn)的協(xié)方差矩陣，再使用窄帶算法得到DOA估計(jì)值。根據(jù)聚焦矩陣的不同，可分為雙邊相關(guān)變換(TCT)[2]、RSS[3]、SST[4]等算法。CSM類算法可以處理相干信號(hào)，且估計(jì)性能優(yōu)良。

近年來(lái)，針對(duì)現(xiàn)有的寬帶DOA估計(jì)方法存在的問題，人們提出了許多新的改進(jìn)算法。文獻(xiàn)[5]受聚焦變換思想啟發(fā)提出了一種新的寬帶波達(dá)角估計(jì)算法。該算法將各頻率點(diǎn)的協(xié)方差矩陣相加后構(gòu)造出一個(gè)新的協(xié)方差矩陣，從而實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[6]針對(duì)中心對(duì)稱陣列，將實(shí)值處理過(guò)程和信號(hào)子空間縮放MUSIC方法引入寬帶信號(hào)方位估計(jì)，提出一種寬帶信號(hào)方位估計(jì)的改進(jìn)RSS方法。文獻(xiàn)[7]疊加各窄帶的類MUSIC波束形成算法的空間譜得到一種新的寬帶DOA估計(jì)算法，該算法可提高頻域波束形成的寬帶波達(dá)方向估計(jì)性能。文獻(xiàn)[8]利用前后向空間平滑法對(duì)各窄帶信號(hào)進(jìn)行去相關(guān)處理，得到一種快速的寬帶信號(hào)DOA估計(jì)算法。文獻(xiàn)[9]將馬爾可夫蒙特卡羅方法與近似最大似然方位估計(jì)相結(jié)合，提出一種基于完美抽樣的近似最大似然方位估計(jì)快速算法。文獻(xiàn)[10]針對(duì)相關(guān)色噪聲背景，提出一種差分相干傳播算法，但該算法只能用于相干組中僅有兩個(gè)信號(hào)的情況。文獻(xiàn)[11]針對(duì)文獻(xiàn)[10]方法的問題，通過(guò)對(duì)空間差分矩陣施加平方操作得到一種有效的寬帶相干信號(hào)DOA估計(jì)算法。無(wú)論相干組中相干信號(hào)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)該算法均可分辨。文獻(xiàn)[12]結(jié)合凸優(yōu)化工具，提出一種新的Khatri-Rao子空間寬帶到達(dá)角估計(jì)方法。該算法可適用于信號(hào)源數(shù)大于陣元數(shù)的情形。以上方法在特定情況下取得了較好的估計(jì)效果，但在估計(jì)DOA時(shí)沒有考慮不同相干組信號(hào)之間的干擾，導(dǎo)致在信噪比較低時(shí)估計(jì)性能有較大程度惡化。為降低不同相干組信號(hào)之間的干擾。文獻(xiàn)[13]提出一種窄帶多徑信號(hào)衰落系數(shù)估計(jì)方法并利用估計(jì)出來(lái)的衰落系數(shù)改善DOA估計(jì)的性能。

本文基于傳統(tǒng)的TCT算法，提出一種基于空間斜投影的寬帶多相干組DOA估計(jì)算法。

1信號(hào)模型

考慮一由M個(gè)各向同性的陣元組成的均勻線陣，陣元間距d為信號(hào)最高頻率所對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的一半，K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶信號(hào)分別從θi，i=1,2,…,K，入射到陣列。各信號(hào)源具有相同的帶寬B，且在各個(gè)頻率分量上具有相同的信噪比。假定前D個(gè)信號(hào)為直達(dá)信號(hào)，第m個(gè)陣元接收信號(hào)為

(1)

式中：sli(t)=rlisl(t-tli)為sl(t)的第i個(gè)多徑信號(hào)，rli和tli分別為多徑信號(hào)的幅度衰減和多徑時(shí)延；τmli=(m-1)dsin(θli)/c為信號(hào)到不同陣元的傳播時(shí)延。

假設(shè)陣列接收數(shù)據(jù)足夠長(zhǎng)，通過(guò)離散傅里葉變換可得到陣列的頻域模型

x(fj)=A(fj,θ)s(fj)+n(fj)=

(2)

利用陣列輸出的頻域矢量，可計(jì)算陣列協(xié)方差陣為

R(fj)=E[x(fj)xH(fj)]=

A(fj)Rs(fj)AH(fj)+Rn(fj)=

(3)

2傳統(tǒng) TCT算法

TCT算法的基本思想是利用各頻率點(diǎn)間無(wú)噪聲數(shù)據(jù)之間的關(guān)系來(lái)選取聚焦矩陣。假設(shè)聚焦矩陣為T(fj)，則有

T(fj)A(fj,θ)s(fj)=A(ffoc,θ)s(ffoc)

(4)

考慮到從接收數(shù)據(jù)中無(wú)法確知信號(hào)的數(shù)據(jù)矢量s(fj)，可將上式兩邊各取其協(xié)方差矩陣，化簡(jiǎn)可得

T(fj)P(fj)T(fj)=P(ffoc)

(5)

式中：陣列輸出數(shù)據(jù)去噪后的協(xié)方差矩陣P(fj)=A(fj,θ)Rs(fj)AH(fj,θ)；信號(hào)協(xié)方差陣Rs(fj)=s(fj)sH(fj)。考慮誤差的影響，則上式可以進(jìn)一步改進(jìn)為擬合形式

(6)

對(duì)聚焦矩陣添加歸一化約束

TH(fj)T(fj)=I

(7)

文獻(xiàn)[2]給出了一個(gè)解

(8)

式中：Qβ(ffoc)和Qβ(fj)分別是P(ffoc)和P(fj)的特征矢量。

TCT算法流程如下：

(1)選擇參考頻率點(diǎn)f0；

(3)利用式(8)構(gòu)造各頻率點(diǎn)的聚焦矩陣；

(4)利用聚焦變換得到單一頻點(diǎn)的數(shù)據(jù)協(xié)方差陣；

(5)利用常規(guī)的窄帶空間譜估計(jì)方法估計(jì)信號(hào)入射方向。

3本文方法

3.1衰落系數(shù)估計(jì)

在衰落系數(shù)估計(jì)中，需要用到DOA的估計(jì)結(jié)果。在模型假設(shè)中，信號(hào)功率在頻率上均勻分布。為計(jì)算簡(jiǎn)便，在對(duì)DOA進(jìn)行初始估計(jì)時(shí)只選取單頻點(diǎn)的數(shù)據(jù)。本文選取聚焦頻率處的數(shù)據(jù)構(gòu)造協(xié)方差矩陣，并利用窄帶解相干算法得到DOA估計(jì)的初始值。

假設(shè)DOA的估計(jì)結(jié)果已經(jīng)利用文獻(xiàn)[14]方法成功分類，對(duì)式(3)進(jìn)行特征分解，可得

(9)

式中：Λs(fj)為信號(hào)特征值對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素為D個(gè)大特征值λ1≥λ2≥…≥λD；Λn(fj)為噪聲特征值對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素為M-D個(gè)小特征值λD+1=λD+2=λD+3=…=λM。Us(fj)張成的子空間為信號(hào)子空間，與A(fj)Γ(fj)張成的子空間一致。Un(fj)張成的子空間為噪聲子空間。利用信號(hào)子空間與噪聲子空間之間的正交性可得

(10)

即

(11)

由式(11)可得，多徑信號(hào)的衰落系數(shù)的估計(jì)問題可轉(zhuǎn)化為一最小化問題來(lái)求解

i=1,2,…,D

(12)

為簡(jiǎn)單起見，將每組的衰落系數(shù)相對(duì)于各組的最小DOA所對(duì)應(yīng)的衰落系數(shù)進(jìn)行歸一化。即

(13)

(14)

(15)

(16)

k=1,2,…,D

(17)

3.2基于空間斜投影的寬帶多相干組DOA估計(jì)

在得到信號(hào)的DOA的初始估計(jì)以及衰落系數(shù)估計(jì)結(jié)果后，利用空間斜投影技術(shù)將不同相干組信號(hào)分離，以減小干擾，提高估計(jì)性能。下面簡(jiǎn)要介紹一下斜投影技術(shù)。

斜投影描述的是沿著一個(gè)子空間到另一個(gè)子空間的投影?？紤]兩個(gè)列滿秩矩陣Am×n和Bm×P，且rank([A, B])=n+p，則對(duì)于矩陣[A,B]可構(gòu)造如下斜投影算子

(18)

(19)

式中：EA|B為沿著與子空間Range(B)平行的方向到子空間Range(A)上的投影算子；EB|A為沿著與子空間Range(A)平行的方向到子空間Range(B)上的投影算子。與正交投影算子相似，斜投影算子也是冪等算子但不具有復(fù)共軛對(duì)稱性。

定義Ψk(fj)=[A1(fj)ρ1(fj),…,Ak-1(fj)ρk-1(fj),Ak+1(fj)ρk+1(fj),…,AD(fj)ρD(fj)]，Pk(fj)=I-(Ak(fj)ρk(fj))((Ak(fj)ρk(fj))H(Ak(fj)ρk(fj)))-1(Ak(fj)ρk(fj))H，由Ψk(fj)張成的子空間為去除第k組相干信號(hào)的信號(hào)子空間，Pk(fj)表示第k組相干信號(hào)的正交投影矩陣，則沿著第k組相干信號(hào)張成子空間到其他信號(hào)張成子空間的斜投影矩陣為

(20)

構(gòu)造以下矩陣

k=1,2,…,D

(21)

接下來(lái)，利用TCT聚焦變換得到單一頻點(diǎn)的數(shù)據(jù)協(xié)方差陣Zk

(22)

對(duì)Zk應(yīng)用窄帶DOA估計(jì)方法，得到最終的DOA估計(jì)值。

綜上所述，本文算法流程如下：

(1)利用聚焦頻率處數(shù)據(jù)構(gòu)造協(xié)方差矩陣，并利用窄帶解相干算法得到DOA估計(jì)的初始值；

(2)利用式(17)得到各頻率點(diǎn)處的衰落系數(shù)；

(3)通過(guò)空間斜投影操作將各相干組信號(hào)分離得到各自的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣Ωk(fj)；

(4)利用TCT聚焦變換得到單一頻點(diǎn)的數(shù)據(jù)協(xié)方差陣Zk；

(5)使用MUSIC等窄帶方法得到最終的DOA估計(jì)值。

4實(shí)驗(yàn)仿真

為驗(yàn)證本文算法的有效性，將本文方法與文獻(xiàn)[15]基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法進(jìn)行比較，設(shè)置以下仿真實(shí)驗(yàn)。采用一12陣元均勻線陣，陣元間距d=c/2fmax(fmax為信號(hào)的最大頻率，c為信號(hào)傳播速度)，兩組多徑相干信號(hào)入射到陣列，入射角度一組為-10°，10°，另一組為-25°，25°。信號(hào)源為具有相同的中心頻率f0=100 MHz和相同的帶寬B=40 MHz的寬帶高斯信號(hào)。采用fs=400 MHz，每段采樣數(shù)據(jù)通過(guò)不加窗的FFT輸出J=64個(gè)窄帶分量。每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果通過(guò)500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)得到。DOA估計(jì)的均方根誤差(RMSE)定義如下所示

(23)

4.1白噪聲下算法性能比較

設(shè)定噪聲為零均值高斯白噪聲，各個(gè)陣元的噪聲之間相互獨(dú)立，且與信號(hào)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

(1)RMSE

頻域快拍數(shù)為100，信噪比從-10dB變化到10 dB，兩種方法的均方根誤差及克拉美羅界隨信噪比變化曲線如圖 1所示。

由圖 1仿真結(jié)果可得，在設(shè)定仿真條件下，兩種方法的均方根誤差均隨著信噪比的提高而減小，且越來(lái)越接近理論CRB界。在整個(gè)信噪比區(qū)間上，本文方法的均方根誤差均小于基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法。在信噪比較低時(shí)(小于0 dB)，相對(duì)于基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法，本文算法的均方根誤差減小明顯。在信噪比較高時(shí)(大于0 dB)，本文算法的均方根誤差與傳統(tǒng)的聚焦類算法相當(dāng)。

圖1　均方根誤差隨信噪比變化曲線

信噪比為-5 dB，頻域快拍數(shù)從10變化到100，兩種方法的均方根誤差及克拉美羅界隨頻域快拍數(shù)變化曲線如圖 2所示。

圖2　均方根誤差隨頻域快拍數(shù)變化曲線

由圖 2仿真結(jié)果可得，在設(shè)定仿真條件下，兩種方法的均方根誤差均隨著頻域快拍數(shù)的增大而減小，且與理論CRB界越來(lái)越接近。在整個(gè)頻域快拍區(qū)間上，本文方法的均方根誤差均小于基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法。但隨著頻域快拍數(shù)的增大，兩者之間的差距越來(lái)越小。

(2)分辨概率

頻域快拍數(shù)為100，信噪比從-10 dB變化到10 dB，兩種方法的分辨概率隨信噪比變化曲線如圖 3所示。

圖3　分辨概率隨信噪比變化曲線

由圖 3仿真結(jié)果可得，在該仿真條件下兩種方法的分辨概率均隨著信噪比的提高而提高，信噪比增大到一定值后兩種算法的分辨概率都趨近于1。在信噪比較低時(shí)(小于0 dB)，相比基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法，本文方法具有更高的分辨概率。且本文算法具有更快的收斂速度，即需要更低的信噪比即可使分辨概率達(dá)到1。

4.2色噪聲下算法性能比較

設(shè)定噪聲為零均值高斯相關(guān)色噪聲，且與信號(hào)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。其他仿真條件同實(shí)驗(yàn)一設(shè)置。采用以下色噪聲模型

(24)

式中：υ為空間色噪聲相關(guān)性的度量，0≤υ≤1。υ越小，表示噪聲相關(guān)性越低。特別地，當(dāng)υ=0時(shí)，空間色噪聲為白噪聲。仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4　色噪聲下均方根誤差隨信噪比變化曲線

圖5　色噪聲下均方根誤差隨頻域快拍數(shù)變化曲線

由仿真結(jié)果可得，色噪聲條件下，兩種算法的性能均有所下降。且噪聲相關(guān)性越強(qiáng)，算法性能越差。由圖4可得，在信噪比較高時(shí)，無(wú)論噪聲的相關(guān)性強(qiáng)弱，兩種方法在色噪聲條件下均有較好的估計(jì)性能。在信噪比較低且噪聲的相關(guān)性較強(qiáng)(υ=0.9)時(shí)， 兩種方法的性能急劇惡化；噪聲的相關(guān)性較弱(υ=0.3)時(shí)，本文方法較基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法有明顯提升。由圖5可得，噪聲的相關(guān)性較強(qiáng)(υ=0.9)時(shí)，兩種方法的性能惡化嚴(yán)重，特別是基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法，即使在頻域快拍較多情況下性能無(wú)明顯改善；噪聲的相關(guān)性較弱(υ=0.3)時(shí)，本文方法較基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法有一定提升。因此可得出以下結(jié)論：對(duì)于相關(guān)性較低的空間色噪聲，相比于基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法本文算法的性能也有一定改善。

5結(jié)束語(yǔ)

本文在聚焦類算法的基礎(chǔ)上，提出一種基于空間斜投影的寬帶相干信號(hào)DOA估計(jì)算法。首先，根據(jù)現(xiàn)有的窄帶解相干算法得到初始的DOA估計(jì)值，并利用該初始估計(jì)值得到各相干組信號(hào)的衰落系數(shù)；在完成上述估計(jì)后，利用空間斜投影技術(shù)將各相干組信號(hào)分離，將分離的信號(hào)聚焦到單一頻點(diǎn)處；最后，利用窄帶高分辨算法得到最終的DOA估計(jì)值。仿真實(shí)驗(yàn)表明：與基于信號(hào)子空間聚焦的TCT方法相比，本文算法具有更好的估計(jì)性能，特別是在較低信噪比情況下；且本文方法對(duì)于相關(guān)性較低的空間色噪聲也有一定適用性。

參 考 文 獻(xiàn)

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艾健健男，1989年生，碩士研究生。研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理。

趙擁軍男，1963年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、雷達(dá)信號(hào)處理。

劉成城男，1986年生，博士研究生。研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理。

DOA Estimation Algorithm for Multiple Groups of Wideband Coherent Signals Based on Subspace Oblique Projection

AI Jianjian，ZHAO Yongjun，LIU Chengcheng

(School of Navigation and Space Target Engineering,Information Engineering University,Zhengzhou 450001, China)

Abstract：According to the problem that the traditional focusing methods have a performance decline under conditions of multiple groups of wideband coherent signals, a novel method based on subspace oblique projection is proposed. The traditional narrow-band decorrelation algorithm is firstly used to estimate the initial DOAs. Then the fading coefficients of different groups of wideband coherent signals can be estimated by solving a constrained minimization problem. Afterwards, signals that belong to different groups are separated by means of subspace oblique projection. The separated signals are focused onto a single frequency by means of focusing transformation. At last, the narrow-band high resolution algorithms are utilized to get the final DOA estimation. Simulation results show that the proposed algorithm has a better estimation performance compared with the existing focusing algorithms especially with a lower signal-to-noise ratio. And this algorithm also has certain applicability for spatially colored noise with lower correlation.

Key words：multiple groups of wideband coherent signals; focusing transformation; fading coefficients; subspace oblique projection

中圖分類號(hào)：TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-7859(2016)02-0033-05

收稿日期：2015-10-16

修訂日期：2015-12-24

通信作者：艾健健Email：ajj211314@126.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61401469)

DOI：·信號(hào)處理· 10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.02.008