方 凌 楊 波 高天澤/上海交通大學(xué)燃?xì)廨啓C(jī)研究院

基于Bezier曲線的翼型參數(shù)化及前尾緣處理方法研究

方 凌 楊 波 高天澤/上海交通大學(xué)燃?xì)廨啓C(jī)研究院

0 引言

葉片是葉輪機(jī)械的主要部件，葉型參數(shù)是影響葉輪機(jī)械性能的主要因素之一。近年來國內(nèi)外流行的翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法為葉片設(shè)計(jì)提供了較多新的思路[1-2]，Kulfan[2]提出的形狀類別函數(shù)（Class and Shape Transformation,CST）方法以其出色的幾何描述能力等特征獲得了廣泛的應(yīng)用，其主要思想正是使用各種有理樣條多項(xiàng)式構(gòu)造的形函數(shù)來描述翼型幾何特征;劉傳振[3]等利用形函數(shù)修正類別函數(shù)實(shí)現(xiàn)了超聲速翼型的氣動(dòng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化設(shè)計(jì)過程就是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，通過優(yōu)化方法，獲得合理的控制參數(shù)，從而達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)。在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，首先是將葉片的幾何形狀表達(dá)成控制參數(shù)，翼型幾何特征表達(dá)成隨設(shè)計(jì)參數(shù)而變化的目標(biāo)函數(shù)[4]。

傳統(tǒng)的采用離散點(diǎn)描述翼型方法的優(yōu)點(diǎn)在于能夠簡單直接地表達(dá)曲線。但是為了保證翼型的精度和細(xì)節(jié)特征，通常需要大量數(shù)據(jù)點(diǎn)才能表示壓力面和吸力面。大量的葉片幾何參數(shù)，無法直接應(yīng)用于葉片的優(yōu)化設(shè)計(jì)。另外，在優(yōu)化過程中，一旦需要調(diào)整翼型，就不得不對(duì)整個(gè)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行全面的調(diào)整，加大了優(yōu)化設(shè)計(jì)的難度和工作量。葉片參數(shù)化，就是為了適應(yīng)葉片的優(yōu)化設(shè)計(jì)：采用盡可能少的數(shù)據(jù)來盡可能高精度地描述翼型曲線[2-3]。本文引入采用Bezier曲線進(jìn)行翼型參數(shù)化的方法[3,5]，以翼型的幾何參數(shù)為初始條件，計(jì)算Bezier曲線的特征多邊形，并以多邊型的頂點(diǎn)為曲線的控制參數(shù)，即在滿足翼型幾何參數(shù)的條件下，只需通過移動(dòng)這些頂點(diǎn)的控制來完成曲線的調(diào)整。本文還針對(duì)翼型參數(shù)化過程中前后緣出現(xiàn)的尖點(diǎn)問題，引入了對(duì)前尾緣增加平行控制點(diǎn)，使參數(shù)化翼型曲線光滑的方法，并通過對(duì)多個(gè)翼型的參數(shù)化分析，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。

2 Bezier曲線控制葉片參數(shù)化造型

Bezier曲線是計(jì)算機(jī)圖形圖像造型的基本工具，被整合進(jìn)各種工程或設(shè)計(jì)類軟件，例如在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的Auto CAD、UG、SolidWorks等，是圖形造型運(yùn)用得最多的基本線條之一，其控制點(diǎn)并不一定在所繪曲線上，而且只需要幾個(gè)控制點(diǎn)就可以表達(dá)一條復(fù)雜變化規(guī)律的曲線[6-7]，對(duì)翼型等復(fù)雜曲線參數(shù)化效果好。

2.1 Bezier曲線的主要性質(zhì)及原理

Bezier曲線的主要性質(zhì)有：1）端點(diǎn)性；2）凸包性；3）幾何不變性；4）變差縮減性；5）保凸性[7]。

塞爾曲線的形狀是由與之對(duì)應(yīng)的特征多邊形各頂點(diǎn)的位置唯一確定的。特征多邊形上的頂點(diǎn)一旦發(fā)生改變，整條Bezier曲線的形狀都將隨之改變，因此可以理解為Bezier曲線的走勢(shì)是由特征多邊形的邊矢量決定的。所以早期的Bezier曲線的表達(dá)形式[8-9]著重體現(xiàn)了這一點(diǎn)：

其中，a0是特征多邊形首點(diǎn)點(diǎn)矢向量；ai是特征多邊形的各邊的矢量，他們首尾依次相連，fn,i（u）是Bezier曲線的基函數(shù)。

但是這種表達(dá)方法設(shè)計(jì)曲線時(shí)操作性很差，因此Bezier本人對(duì)其進(jìn)行了修改，利用伯恩斯坦函數(shù)和控制點(diǎn)坐標(biāo)線性組合的方法表示為了現(xiàn)在我們較為常見的形式：

其中，R（t）是貝塞曲線上的點(diǎn)；Aj表示的是特征多邊形的控制點(diǎn)位置；Bn,j（t）是伯恩斯坦函數(shù)，也是Bezier曲線的基底函數(shù)。其具體表達(dá)式為：

2.2葉片的Bezier曲線參數(shù)化

本文將目光集中于Bezier曲線的端點(diǎn)性質(zhì)，利用最小二乘法的思想對(duì)已知坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化。馬蘇奇[8]研究了Bezier樣條在曲線曲面造型中的應(yīng)用，進(jìn)一步完善了Bezier樣條進(jìn)行曲線曲面擬合的方法。周明華[9]等人研究了基于遺傳算法的B-spline和Bezier曲線的最小二乘擬合方法，其核心思想是通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。對(duì)于Bezier曲線上的各點(diǎn)和原始數(shù)據(jù)點(diǎn)而言，二者之間的距離的方差達(dá)到最小值時(shí)便可以得出誤差最小的擬合曲線，即使參數(shù)化效果最好。

假設(shè)，已知葉片坐標(biāo)點(diǎn)為Qn，其中Q1和Qm為葉片數(shù)據(jù)點(diǎn)的始點(diǎn)和末點(diǎn)。通過參數(shù)化方法得出的曲線的起點(diǎn)和末點(diǎn)并沒有約束在原始的始點(diǎn)和末點(diǎn)上，所以為了保證葉片的吸力面和壓力面能夠無縫銜接，我們?cè)谶@里規(guī)定Pa=Q1，Pn=Qm，這樣得到的Bezier擬合曲線就是從原始坐標(biāo)的始點(diǎn)開始到末點(diǎn)結(jié)束的。

首先，需要得到Bezier曲線基函數(shù)的參變量t的表達(dá)式，根據(jù)坐標(biāo)點(diǎn)之間的弦長可以定義：表示的是相鄰兩點(diǎn)之間的弦長，分母表示的是原始數(shù)據(jù)點(diǎn)與相鄰點(diǎn)之間的弦長之和。由此可知，t的取值范圍是t[0，1]。

最小二乘法對(duì)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，y）i，i=1，2，3，…，m，在取定的函數(shù)類中，求，使誤差的平方和E2最小。

其中，Dk是每一個(gè)原始坐標(biāo)點(diǎn)Qk的權(quán)重。Pj為控制點(diǎn)坐標(biāo)，Bn,j（tk）為Bernstein基函數(shù)，當(dāng)方差取最小值時(shí)，曲線的擬合程度最好，求解得到各個(gè)控制點(diǎn)，再帶入到Bezier曲線的參數(shù)方程中，即可得到擬合的Bezier曲線。

2.3葉片前緣及尾緣的平行點(diǎn)處理方法

考慮到翼型的幾何構(gòu)造特點(diǎn)，對(duì)吸力面和壓力面是分開進(jìn)行參數(shù)化過程的[10]，所以參數(shù)化后的翼型曲線也是分為上下兩條曲線。這兩條曲線的始末點(diǎn)是重合的，但是在始末兩點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)并不是連續(xù)的。如果在重合點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)不相等，該處會(huì)出現(xiàn)明顯的尖角，如圖1、圖2中未修正時(shí)所示的情況。對(duì)于亞音速葉片，其前緣多數(shù)情況下是飽滿光滑的，尖角顯然是不應(yīng)該出現(xiàn)的；葉片的尾緣一般比較薄，在幾何上相對(duì)于葉片的其他部分可以理解為是一個(gè)尖角，但是出于流體力學(xué)和加工工藝的現(xiàn)實(shí)情況，后緣也應(yīng)該有一小段圓弧或者橢圓弧的存在。

雖然前后緣的處理方法有很多種，但它們有一個(gè)共同的準(zhǔn)則：通過尖點(diǎn)附近控制點(diǎn)的調(diào)整，使得兩曲線在公共點(diǎn)切線的斜率保持一致或相近[11-12]。本文同樣根據(jù)這個(gè)準(zhǔn)則，提出了一種基于Bezier曲線的前尾緣修正方法。

以前緣為例，本文提出的方法是：在保持原公共控制點(diǎn)位置不變的情況下，在控制點(diǎn)y方向兩側(cè)分別插入一個(gè)修正控制點(diǎn)，這個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)分別為PC1（xc1，yc1）和PC2（xc2，yc2）。如圖1（b）中所示，PC1,PC2為翼型前緣處增加的平行控制點(diǎn)。然后，將這兩個(gè)平行控制點(diǎn)連同其它各個(gè)求解出的控制點(diǎn)一同帶回到Bezier曲線中進(jìn)行計(jì)算，得到新的參數(shù)化曲線。通過對(duì)多種翼型的參數(shù)化分析，這兩個(gè)平行控制點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)應(yīng)根據(jù)下式選取：

式中，（xc1，yc1），（xc2，yc2）為新增平行控制點(diǎn)PC1，PC2的橫縱坐標(biāo)，（x0，y0），（x1u，y1u），（x1d，y1d）為初始控制點(diǎn)P0，P1u，P1d的坐標(biāo)參數(shù)。，其選值與進(jìn)行參數(shù)化的翼型有關(guān)，厚弦比大的翼型a，b的取值較大。

如圖1（b）所示，對(duì)翼型前緣進(jìn)行平行點(diǎn)方法處理,加入平行控制點(diǎn)PC1,PC1后，參數(shù)化曲線確實(shí)能避免前尾緣尖點(diǎn)出現(xiàn)。

本文對(duì)后緣提出了與前緣類似的處理方法，如圖2中所示，增加平行控制點(diǎn)后得到的參數(shù)化曲線顯著避免了后緣尖點(diǎn)的出現(xiàn)。

觀察圖1，圖2，對(duì)比前尾緣處理前后，增加平行控制點(diǎn)的方法確實(shí)是有效避免了參數(shù)化過程中前尾緣轉(zhuǎn)折處出現(xiàn)尖點(diǎn)的情況。值得注意的是，由于加了一個(gè)控制點(diǎn)，此時(shí)Bezier參數(shù)化曲線的階次已經(jīng)由n-1上升到了n階。在增加控制點(diǎn)后，參數(shù)化得到的Bezier曲線不僅避免了尖點(diǎn)的出現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)與原始數(shù)據(jù)線的貼合度更高。

3 算例及分析

3.1簡單翼型不同階次的Bezier曲線控制下的擬合翼型及其誤差分析

對(duì)翼型幾何特征比較簡單的NACA2424分別作了不同階次的Bezier曲線參數(shù)化擬合，并進(jìn)行前尾緣處理前后的對(duì)比以及誤差分析，參數(shù)化結(jié)果如下：

本文首先采用三階Bezier曲線，對(duì)NACA2424翼型進(jìn)行參數(shù)化分析，圖3、圖4分別為前后尾緣未處理和采用平行點(diǎn)方法后的結(jié)果。

由圖3所示，三階Bezier曲線能大致描述翼型幾何形狀，但是在某些區(qū)域Bezier曲線與原始曲線誤差較大，在翼型尾緣處尤其明顯，如圖3（b）、（c）所示。而且擬合曲線在前尾緣處形成尖點(diǎn)，參數(shù)化效果不理想。采用平行點(diǎn)方法后，Bezier曲線參數(shù)化效果明顯得到改善，如圖4所示。由圖4（b）、（c）還可以看出增加平行控制點(diǎn)后，前尾緣曲線與原始數(shù)據(jù)線基本一致，本文的前尾緣處理方法是有效的。本文還對(duì)參數(shù)化后的翼型曲線與原始數(shù)據(jù)線進(jìn)行誤差分析，得到誤差分布圖，如圖5所示。由圖中可觀察到：采用三階參數(shù)化時(shí)，即使經(jīng)過了前后尾緣的處理，翼型大部分位置誤差還是在2%～3%之間，前緣處誤差甚至達(dá)到6%。

采用5階曲線進(jìn)行翼型的參數(shù)化分析。得到的參數(shù)化翼型曲線如圖6（a）所示，采用五階Bezier曲線進(jìn)行擬合時(shí)，在整個(gè)翼型上參數(shù)化效果確實(shí)比采用三階時(shí)要好，但是放大觀察前尾緣，觀察圖6（b）、（c）存在尖點(diǎn)現(xiàn)象，雖然不如三階參數(shù)化時(shí)明顯，但還是沒有達(dá)到理想的參數(shù)化效果。下面進(jìn)行前尾緣增加平行點(diǎn)方法進(jìn)行處理，得到圖7（a）翼型曲線圖。

進(jìn)行前尾緣局部放大后，觀察圖7（b）、（c），前尾緣處理后確實(shí)很好的改善了，有效避免了轉(zhuǎn)折較大處出現(xiàn)明顯尖點(diǎn)的現(xiàn)象。對(duì)參數(shù)化的翼型曲線與原始數(shù)據(jù)線進(jìn)行誤差分析，得到圖8所示的誤差分布圖，由圖中可觀察到采用帶前尾緣修正五階曲線參數(shù)化時(shí)，翼型大部分位置誤差在1%以內(nèi)，前尾緣處誤差能控制在1%～1.5%。

分別采用七階，十階曲線對(duì)翼型進(jìn)行參數(shù)化擬合時(shí)，得到的各種參數(shù)化結(jié)果情況如圖9、圖10所示，Bezier曲線與原始曲線基本能完全重合，采用七階和采用十階時(shí)，觀察參數(shù)化曲線和原始曲線已經(jīng)看不到明顯偏差。

觀察圖9（a）、（b）、（c），不難發(fā)現(xiàn)選取參數(shù)化階次為七階時(shí)，參數(shù)化曲線與原始曲線基本能完全重合。

圖11為七階Bezier曲線參數(shù)化誤差分布圖，由其中可發(fā)現(xiàn)采用七階參數(shù)化最大誤差小于1.5%。與五階參數(shù)化誤差分布圖圖8相比較，可以發(fā)現(xiàn)采用七階Bezier進(jìn)行擬合時(shí)參數(shù)化誤差進(jìn)一步縮小。從三階參數(shù)化時(shí)的4%～5%減小到2%。

而且，采用前尾緣處理后的五階Bezier曲線擬合的精度已經(jīng)能降低到1%以內(nèi)，翼型大部分?jǐn)M合狀況甚至優(yōu)于七階。

查看十階參數(shù)化時(shí)的誤差分布圖12，可知對(duì)于NACA2424翼型，十階的參數(shù)化效果和七階參數(shù)化以及前尾緣處理后的五階相差不大，說明隨著階次的進(jìn)一步上升，參數(shù)化效果的改善也很有限，且采用七階和十階參數(shù)化時(shí)，前尾緣尖點(diǎn)情況依然存在。綜合考慮控制點(diǎn)個(gè)數(shù)和擬合精度，平行點(diǎn)方法處理后的五階參數(shù)化效果是最優(yōu)的。

3.2某工業(yè)用壓氣機(jī)翼型擬合情況

在對(duì)NACA2424翼型進(jìn)行不同階次的擬合后，兼顧到控制變量個(gè)數(shù)和擬合效果，我們對(duì)形狀更復(fù)雜的某工業(yè)用壓氣機(jī)翼型進(jìn)行五階擬合并進(jìn)行前尾緣處理，與十階擬合情況進(jìn)行比較。

圖13是帶前尾緣處理的五階參數(shù)化翼型，在圖13（a）中可以觀察到采用五階參數(shù)化并進(jìn)行平行點(diǎn)方法處理時(shí)，參數(shù)化曲線與原始數(shù)據(jù)線基本能完全重合了。整體來看幾乎可以達(dá)到圖14（a）的十階參數(shù)化效果。查看兩個(gè)參數(shù)化翼型的百分比誤差分布圖，圖15與圖16的誤差分布基本都能控制在1%以內(nèi)。

分析前尾緣誤差情況，采用五階參數(shù)化并進(jìn)行前尾緣處理時(shí)明顯小于直接采用十階擬合時(shí)的誤差，這說明本文中對(duì)前尾緣的處理方法是有效的。

如該算例中圖15所示，在將此參數(shù)化方法應(yīng)用到某工業(yè)用壓氣機(jī)翼型的參數(shù)化時(shí)，帶前尾緣修正的五階參數(shù)化精度能達(dá)到1.5%水平。在工業(yè)設(shè)計(jì)過程中，2%以下的參數(shù)化誤差即認(rèn)為是可以接受的[6]，故認(rèn)為本算例中采用五階Bezier曲線參數(shù)化并進(jìn)行前尾緣平行點(diǎn)處理時(shí)，對(duì)壓氣機(jī)翼型的參數(shù)化工作能達(dá)到理想的參數(shù)化效果，可以準(zhǔn)確表達(dá)該壓氣機(jī)翼型幾何形狀。

3.3對(duì)Gottingen 234翼型進(jìn)行Bezier擬合情況

對(duì)翼型更為復(fù)雜的Gottingen 234翼型進(jìn)行Bezier曲線參數(shù)化。Gottingen 234翼型曲線變化更大，對(duì)擬合要求更高，也更能檢驗(yàn)本文所采用擬合方法的正確性。

相比較于3.2算例，3.3的算例中盡管也采用了七階參數(shù)化并進(jìn)行前尾緣處理，但是參數(shù)化效果微有下降，部分區(qū)域參數(shù)化曲線和原始線之間相差較大。

觀察圖17（b）、（c），參數(shù)化翼型前緣尾緣曲線平順光滑，與原始數(shù)據(jù)線基本重合。從誤差分布圖，圖19中也可以觀察到進(jìn)行帶前尾緣修正五階參數(shù)化時(shí)，翼型不同區(qū)域誤差分布在3%左右。

觀察圖18，采用十階Bezier曲線進(jìn)行參數(shù)化時(shí)，參數(shù)化翼型曲線和原始數(shù)據(jù)線更加吻合，但是放大前尾緣，如圖18（b）、（c），可以發(fā)現(xiàn)前尾緣還是會(huì)出現(xiàn)明顯的尖點(diǎn)現(xiàn)象。

比較十階參數(shù)化誤差分布圖（圖20）和帶平行點(diǎn)處理的五階參數(shù)化時(shí)的誤差分布圖（圖19），發(fā)現(xiàn)十階參數(shù)化時(shí)整體效果更好，大部分測(cè)試點(diǎn)的擬合誤差在1%以內(nèi)，但是前尾緣處出現(xiàn)尖點(diǎn)，特別是尾緣處，擬合誤差超過5%；而采用前尾緣處理的五階擬合（圖19）發(fā)現(xiàn)雖然平均誤差大，但是誤差分布比較均勻，基本在3%附近。

3.4分析

根據(jù)以上算例中擬合曲線和原始曲線的比較和誤差柱狀圖可知，隨著曲線階數(shù)的上升，曲線擬合精度明顯提高。誤差精度有所提高，但是精度的提高的幅度隨著階數(shù)的上升而變慢，如果用十階Bezier曲線（11個(gè)控制點(diǎn)）來表達(dá)原始坐標(biāo)點(diǎn)的曲線顯然是得不償失的，雖然在精度上有所提升，在優(yōu)化過程中會(huì)因?yàn)榭刂泣c(diǎn)過多而增大計(jì)算量[13]。因?yàn)橐硇驮趦?yōu)化過程中，很多情況下調(diào)整是很小的，只有10-2數(shù)量級(jí)[13-14]，而七階Bezier曲線擬合精度完全可以控制在2%誤差以內(nèi)。相比之下，十階擬合的結(jié)果在整體精度上確有提高，但是在部分位置甚至精度不及帶前尾緣處理的五階擬合。這種誤差在進(jìn)行這種小的調(diào)整的情況下仍可以較為準(zhǔn)確的表達(dá)葉片形狀，所以在滿足精度要求的同時(shí)采用較少的控制點(diǎn)是更好的選擇[13]。

觀察高階Bezier曲線的擬合結(jié)果，特征多邊形的形狀越來越難反應(yīng)出所描述的曲線的形狀，會(huì)出現(xiàn)很多反復(fù)折疊的區(qū)域。這一特點(diǎn)是Bezier曲線整體控制性的一種體現(xiàn)[15]，不會(huì)影響參數(shù)化效果。

4 結(jié)論

1）本文采用基于Bezier曲線的參數(shù)化方法來進(jìn)行翼型的造型，表達(dá)精確，簡便而且快捷?？赏ㄟ^調(diào)整控制點(diǎn)位置對(duì)翼型進(jìn)行幾何的調(diào)整，也便于對(duì)翼型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)的編程。根據(jù)算例的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，對(duì)于幾何形狀相對(duì)簡單的翼型采用五階Bezier曲線進(jìn)行擬合加上前尾緣處理就能將誤差控制在1.0%以內(nèi)，達(dá)到滿意的擬合效果。

2）在算例中發(fā)現(xiàn)，不管在參數(shù)化過程中采用多高階次，甚至超過十階時(shí)，得到的參數(shù)化翼型曲線在前尾緣處仍然會(huì)有尖點(diǎn)問題的存在，本文以Bezier曲線的數(shù)學(xué)原理為基礎(chǔ)，在結(jié)合葉片參數(shù)化前提下對(duì)Bezier曲線在葉片前緣和后緣的處理上提出了處理方法。在兩條Bezier曲線公共控制點(diǎn)兩側(cè)插入輔助控制點(diǎn)以保證該處的斜率一致，曲率相近，這種方法保證了翼型的光滑連貫，相較于原有的處理方法的弊端有了明顯的改進(jìn)，能在參數(shù)化過程中準(zhǔn)確表達(dá)翼型前尾緣處的幾何特征。

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：本文基于Bezier曲線，采用MATLAB軟件，對(duì)翼型的參數(shù)化展開研究。同時(shí)，針對(duì)翼型的前緣、尾緣在參數(shù)化過程中出現(xiàn)的尖點(diǎn)問題提出了平行點(diǎn)處理方法，以提高參數(shù)化精度，準(zhǔn)確地表達(dá)翼型的幾何特征。本文對(duì)幾種翼型在不同階次下的參數(shù)化曲線結(jié)果進(jìn)行了誤差分析，通過與原始數(shù)據(jù)的對(duì)比，進(jìn)一步證明了本文提出的翼型參數(shù)化方法具有精度高，實(shí)用性強(qiáng)的特點(diǎn)。

翼型；Bezier曲線；參數(shù)化；前尾緣光滑處理；誤差分析

Param eterization of Blade Based on Bezier-curve and Smooth Process of Leading and Trailing Edges

Fang Ling，Yang Bo，Gao Tian-ze/Shanghai JiaotongUniversityGasTurbine Institute

airfoil；bezier curves；parameterization；smooth process of leading and trailing edges；erroranalysis

TH452；TK05

A

1006-8155（2016）06-0019-08

10.16492/j.fjjs.2016.06.0049

2016-05-16上海200240

Abstract:An approach based on Bezier-curve is proposed for the parameterizing of various typesof airfoilsby using ofMATLAB software. Specially,a simple and convenientmethod is discussed,which can be adopted to smooth the leading and the trailing edges.Comparingwith some traditional parametrized curve results in different orders,the method described in this paper is proved to be correct and effective in theprocessofparametrization.