劉冠蘭，徐亞明，柏文峰

(1. 武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079； 2. 精密工程與工業(yè)測量國家測繪地理信息局

重點實驗室，湖北 武漢 430079； 3. 廣州地鐵設(shè)計研究院有限公司，廣東 廣州 510010)

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地鐵隧道斷面變形分析方法研究

劉冠蘭1，2，徐亞明1，2，柏文峰3

(1. 武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079； 2. 精密工程與工業(yè)測量國家測繪地理信息局

重點實驗室，湖北 武漢 430079； 3. 廣州地鐵設(shè)計研究院有限公司，廣東 廣州 510010)

A Method to Determine the Deformation of Tunnel Section

LIU Guanlan，XU Yaming，BAI Wenfeng

摘要：針對目前以單點描述隧道斷面變形的不足，本文采用B樣條曲線擬合隧道斷面掃描數(shù)據(jù)，計算待分析部位兩期曲線段的豪斯多夫距離，以各部位曲線段的整體變形信息來反映斷面變形。同時根據(jù)地鐵隧道斷面掃描數(shù)據(jù)的特點，提出了B樣條曲線擬合的主點選取方法以及非斷面信息的剔除方法。最后以某地鐵隧道斷面掃描數(shù)據(jù)為例，通過加入模擬變形信息擬合分析，驗證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：隧道變形監(jiān)測；B樣條曲線擬合；豪斯多夫距離

傳統(tǒng)的地鐵隧道結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測主要是在隧道斷面上布設(shè)監(jiān)測點，通過單點的變形值來反映隧道斷面變形[1-3]，但單點并不能準(zhǔn)確地反映隧道斷面。采用測量機器人或掃描儀采集相對密集的隧道斷面數(shù)據(jù)，擬合斷面曲線進(jìn)行分析比較，可有效掌握斷面的整體變形信息。文獻(xiàn)[4—5]利用三維點云數(shù)據(jù)擬合橢圓形斷面進(jìn)行收斂變形分析，但在長期不均勻荷載影響下的隧道斷面并不是標(biāo)準(zhǔn)的圓(橢圓)，采用橢圓擬合會平滑掉斷面的局部變形信息。樣條曲線是用來描述自由曲線的常用手段，對于局部偏轉(zhuǎn)角度小于π/6的點集，可以采用三次樣條曲線來擬合插值[6]。其中B樣條曲線具有局部支承性質(zhì)，能夠描述隧道斷面變形的局部特性。因此對于設(shè)計為光滑曲線(馬蹄形、圓形)的隧道斷面，可采用B樣條曲線來擬合隧道斷面并進(jìn)行斷面變形分析。

一、B樣條曲線擬合

B樣條曲線的參數(shù)方程定義為[5]

(1)

鑒于隧道斷面掃描數(shù)據(jù)點是有序的，本章內(nèi)容僅限于有序數(shù)據(jù)點的擬合問題。B樣條曲線擬合包括3個步驟：參數(shù)化、節(jié)點矢量的確定以及最優(yōu)化擬合。數(shù)據(jù)點的參數(shù)化方法很多，本文采用累積弦長參數(shù)化法[7]。

1. 確定節(jié)點矢量

Park給出了基于主點的節(jié)點矢量確定方法[8]：假設(shè)在給定點集pi(i=1,2，…,m)中確定了主點domj(j=1,2，…，n)，其中n≤m，節(jié)點矢量的計算公式為

(2)

本文根據(jù)隧道斷面數(shù)據(jù)的特點，對主點選取方法進(jìn)行了改進(jìn)。對于較為光滑的隧道斷面，曲率變化相對均勻，局部最大曲率點除包含曲線形狀信息外還有部分噪聲的存在。為盡量減小噪聲的影響，在選取主點的時候以曲率和弧長兩個指標(biāo)作為依據(jù)，保證節(jié)點分布在顧及曲線形狀信息的同時又相對均勻。節(jié)點矢量確定的具體過程為：

1) 計算離散點曲率值。通過連續(xù)的3個點Pi-1、Pi、Pi+1的曲線在Pi點處的離散曲率為Ki。Ki可由圓曲率來表達(dá)[9]

(3)

3) 計算節(jié)點矢量。采用式(2)計算節(jié)點矢量。

4) 曲線擬合，重新確定節(jié)點矢量。根據(jù)給定已知點集P的參數(shù)集T、節(jié)點矢量序列U，通過線性最小二乘求解各控制點，以得到初始曲線信息。由于離散點計算的曲率受噪聲影響較大，在得到初始曲線后重新計算各點曲率信息，重復(fù)步驟2)—3)確定節(jié)點矢量。當(dāng)給定曲線C(t)后，pi點曲率的計算公式為

(4)

2. 最優(yōu)化曲線擬合

(5)

式中，tk為點pk到曲線上的最近點參數(shù)；d為點到曲線距離；ρ為tk處的曲率半徑；Nk、Tk分別為tk處的單位法向量和單位切向量。

本文采用的最優(yōu)化線性擬合的主要步驟為：

1) 確定初始B樣條曲線。采用已知點集P的參數(shù)化結(jié)果以及節(jié)點矢量作為已知值，線性最小二乘求解的控制點，以此作為初始B樣條曲線。

二、非斷面信息的剔除和斷面變形分析

1. 非斷面信息的剔除

隧道斷面總體為較光滑的曲線，但是由于光纜、管道等附件遮擋，掃描數(shù)據(jù)不可避免地存在非斷面信息。這些錯誤信息的存在會影響曲線擬合的精度，同時會影響變形量的計算。本文利用曲率及點間距信息作為非斷面信息的判定標(biāo)準(zhǔn)，采取迭代運算對其進(jìn)行剔除。具體方法步驟如下：

1) 逐點計算離散點曲率值Ki、曲率變化值ΔKi=Ki-0.5×(Ki-1+Ki+1)以及各點與前、后掃描點的間距，將曲率值、曲率變化值的絕對值或間距值大于給定閾值的點作為初判非斷面點，并予以剔除，存入非斷面信息。

2) 對剩余點進(jìn)行孤立點探測，剔除孤立點，并存入非斷面信息。

3) 采用曲線擬合方法對剩余點進(jìn)行曲線擬合。

4) 計算初判的非斷面點至擬合曲線的最近距離，將小于給定閾值的點重新加入到曲線擬合點集中。

5) 重復(fù)步驟3)—4)，直至擬合點集中沒有新增點。

2. 斷面變形分析

通常情況下這個距離并不是對稱的，也就是說d(C,C′)≠d(C′,C)。因此兩條曲線C和C′之間的豪斯多夫距離定義為

(6)

可以采用兩期擬合曲線的豪斯多夫距離來進(jìn)行斷面曲線的變形分析。

三、應(yīng)用實例

以徠卡TCRP1201自動全站儀無合作目標(biāo)模式掃描采集的某地鐵隧道斷面數(shù)據(jù)為例，采用前述B樣條曲線擬合方法進(jìn)行斷面曲線擬合。通過加入兩組模擬變形數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果與原始擬合結(jié)果計算豪斯多夫距離來驗證本文方法的可行性及有效性。

1. 隧道斷面的B樣條曲線擬合

圖1、圖2為掃描數(shù)據(jù)以及掃描斷面的實景圖，可以看出原始掃描數(shù)據(jù)在斷面信息中夾雜著很多其他附件的信息。

圖1　某隧道斷面掃描數(shù)據(jù)

圖2　隧道斷面實景

圖3、圖4分別為第一次和最終對斷面掃描數(shù)據(jù)進(jìn)行非斷面信息分離的結(jié)果，圖中實心點為斷面信息，十字點為分離出來的非斷面信息。試驗選取的曲率絕對值閾值為2，曲率變化值閾值為4，點間距閾值取掃描間距的3倍，點至曲線的最近距離閾值取3倍的曲線擬合中誤差和1 cm中較大的值。從圖3中可以看到，由于離散點的局部曲率受鄰近點的影響，一些非斷面信息附近的斷面點被誤判為非斷面點，圖4顯示這些誤判點在迭代過程中被修正?？紤]到掃描數(shù)據(jù)較為密集，非斷面點的漏判比斷面信息的誤判對擬合結(jié)果的影響更大，同時斷面信息的誤判可在隨后的迭代過程中獲得修正，因此在基于曲率以及點間距信息的非斷面數(shù)據(jù)判斷中可設(shè)定較為嚴(yán)格的閾值。

圖3　第一次分離結(jié)果

圖4　最終分離結(jié)果

對已剔除非斷面信息的斷面掃描數(shù)據(jù)采用前述方法進(jìn)行三次B樣條曲線擬合。曲線擬合結(jié)果如圖5所示，曲線上圈形點為斷面擬合點，曲線外的星號點為所求的控制點。圖6為擬合殘差直方圖，3組統(tǒng)計數(shù)據(jù)依次為擬合點到曲線的最近距離及其在X、Y方向上分量在指定范圍內(nèi)的點數(shù)，曲線擬合中誤差為1.6 mm。

圖6　曲線擬合殘差直方圖

2. 斷面曲線的變形分析

根據(jù)全站儀的觀測精度，掃描數(shù)據(jù)的點位精度為1.5 mm左右。試驗1隨機生成一組X、Y方向方差均為1 mm的零均值噪聲加入掃描數(shù)據(jù)。加入隨機噪聲的掃描數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)可視為斷面變形為0的兩期掃描數(shù)據(jù)，分別計算其斷面曲線C1、C2。選取如圖7所示的斷面左上和右下兩個曲線段為例，計算兩組數(shù)據(jù)擬合曲線的豪斯多夫距離。

圖7　變形分析曲線段示意圖

待分析曲線段的具體選取方式為：選定曲線C1上參數(shù)區(qū)間，計算曲線段兩端點至曲線C2的最近距離點，由此得到C2上的參數(shù)區(qū)間。離散化兩個曲線段以計算兩個曲線點集之間的豪斯多夫距離。圖8、圖9分別為兩段曲線d(p,C2)的統(tǒng)計直方圖，統(tǒng)計量為距離落在上一橫坐標(biāo)與所在橫坐標(biāo)值之間的點數(shù)。最后得到的左上曲線段的豪斯多夫距離為1.4 mm，右下曲線段的豪斯多夫距離為1.6 mm。對于點位精度和擬合精度為1.5 mm左右的情況，該計算結(jié)果可認(rèn)為斷面無變形，基本與實際吻合。

圖8　試驗1左上曲線段d(p,C2)統(tǒng)計直方圖

圖9　試驗1右下曲段d(p,C2)統(tǒng)計直方圖

為進(jìn)一步分析B樣條曲線擬合的斷面變形，試驗2在斷面左下方掃描數(shù)據(jù)(前40個掃描點)X方向加入方差為1 mm,均值為3 mm的噪聲，Y方向和其他部位掃描數(shù)據(jù)的X、Y方向加入方差為1 mm的零均值噪聲進(jìn)行擬合，并計算與原始數(shù)據(jù)擬合曲線的豪斯多夫距離。分析曲線段仍選取如圖7所示兩處。計算得到左上曲線段的豪斯多夫距離為1.5 mm，右下曲線段為3.3 mm。

分別統(tǒng)計右下曲線段的d(p,C2)在X、Y方向的分量，結(jié)果為X方向的豪斯多夫距離3.2 mm，Y方向-1.7 mm，計算結(jié)果與實際數(shù)據(jù)吻合。基于本試驗算例可得出如下結(jié)論，對于隧道斷面掃描數(shù)據(jù)可采用兩期擬合曲線的豪斯多夫距離判斷斷面曲線的變形，變形方向由豪斯多夫距離的符號確定。

四、結(jié)束語

針對地鐵隧道斷面變形的需求，結(jié)合隧道斷面掃描數(shù)據(jù)的特點，本文提出了：①適用于隧道斷面數(shù)據(jù)的主點選取方法；②有效的非斷面數(shù)據(jù)剔除方法；③基于B樣條曲線擬合隧道斷面數(shù)據(jù)，并利用豪斯多夫距離進(jìn)行隧道斷面變形分析的方法。最后以某隧道實際掃描數(shù)據(jù)為例，通過加入模擬變形數(shù)據(jù)對斷面進(jìn)行擬合和變形分析。試驗表明，加入零均值噪聲的模擬數(shù)據(jù)擬合的斷面曲線與原始斷面擬合曲線的豪斯多夫距離在1.5 mm左右，在數(shù)據(jù)精度為1.5 mm的情況下可認(rèn)為斷面未發(fā)生變形。在局部X方向加入均值為3 mm的噪聲，模擬數(shù)據(jù)擬合的斷面曲線與原始斷面擬合曲線的豪斯多夫距離在遠(yuǎn)離變形區(qū)域為1.5 mm，局部變形區(qū)域為3.3 mm。計算結(jié)果與模擬變形吻合，由此驗證了本文方法的可行性及有效性。

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中圖分類號：P258

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：0494-0911(2016)02-0103-04

作者簡介：劉冠蘭(1984—)，女，博士，講師，主要研究方向精密工程測量、工業(yè)測量。E-mail: glliu@sgg.whu.edu.cn

基金項目：湖北省自然科學(xué)基金(2015CFB501)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金青年教師資助項目(2042015k0058)

收稿日期：2015-03-27； 修回日期： 2015-10-31

引文格式： 劉冠蘭，徐亞明，柏文峰. 地鐵隧道斷面變形分析方法研究[J].測繪通報，2016(2)：103-106.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0061.