馮天維

（蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅　蘭州　730070）

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一類中立型泛函微分方程的測度偽概自守解

馮天維

（蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅蘭州730070）

摘要：討論了Banach空間中的一類抽象中立型泛函微分方程的測度偽概自守解。在利普希茨條件下，建立了μ測度偽概自守函數(shù)對時間變元γi（t）擾動不變性的一個充分性條件,并且對一些復合定理進行了推廣和改進，同時，借助于測度偽概自守函數(shù)合適的組合定理結(jié)合算子半群理論和不動點定理,建立了此方程測度偽概自守解的存在性和唯一性。

關鍵詞：測度偽概自守函數(shù)；抽象中立型泛函微分方程；不動點定理

DOI10.3969/j.issn.1672-6375.2016.01.022

0　引言

在20世紀中期，Bochner首次提出了概自守函數(shù)概念,它是概周期函數(shù)的一個自然推廣[1]。其后,許多數(shù)學工作者對Banach空間上發(fā)展方程的概自守性質(zhì)進行了廣泛而深入研究。N'Guerekata提出了漸近概自守函數(shù)的概念[7]。Liang等人[9]介紹了關于偽概自守函數(shù)的概念。N'Guerekata和Pankov引入了Stepanov概自守函數(shù)的概念并詳細論證了函數(shù)空間的完備性和組合定理[8]。Blot等人[2]給出了Banach空間中的加權(quán)偽概自守函數(shù)的定義。Chang等人[10]建立了Stepanov加權(quán)偽概自守函數(shù)的性質(zhì)和新組合定理,并對帶有加權(quán)偽概自守系數(shù)的一類非線性方程,研究了它們的加權(quán)偽概自守解的存在性。最近,Blot等人[3]應用測度理論定義了遍歷函數(shù),并且給出了測度偽概自守函數(shù)的概念和相關定理。Luo在文獻[4,5]中分別討論了一類中立型微分方程和一類半線性積分方程測度偽概自守解的存在性。

本論述主要在文獻[6]的基礎上，討論了如下抽象中立型泛函偏微分方程測度偽概自守解的存在性和唯一性：

1　預備知識

定義1.1[3]設連續(xù)函數(shù)稱為是概自守的,如果對任意的實數(shù)序列都存在一個子序列使得

對任意的t∈R是可以明確定義的,并且有

記這類函數(shù)構(gòu)成的集合為AA（R，X）。

定義1.2[3]設B?X是任意一個有界集合,連續(xù)函數(shù)稱為是概自守的,如果對于任意的t∈R有f（t，x）是概自守的,對所有x∈B是一致成立的,記這類函數(shù)組成的集合為AA（R×X，X）。

定義1.3[3]設μ∈M,有界連續(xù)函數(shù)稱為μ-遍歷,如果f滿足下式

將這類函數(shù)空間記為ε（R，X，μ）。

注1.1[4]設μ∈M,則具有一致收斂拓撲性的空間ε（R，X，μ）和ε（R×X，X，μ）是Banach空間。

定義1.4[4]設μ∈M,連續(xù)函數(shù)稱為是μ-偽概自守的,如果f可以分解為其中，將這類函數(shù)記為,因此，可得。

引理1.1[3]設μ∈M，τ∈R對于上的正測度μτ定義為

對μ∈M,本論述總是假定以下條件成立:

（H0）對任意τ∈R，存在α＞0和一個有界區(qū)間I使得

注1.2[3]設μ∈M且滿足（H0）,則ε（R，X，μ）是平移不變的,同時PAA（R，X，μ）也具有平移不變性,且是Banach空間。

1.3[10]設μ∈M且滿足（H0），f∈PAA（R，X，μ），則函數(shù)分解為是唯一的，其中。

下面給出本論述所需要的基本假設條件：

2　主要結(jié)果

定義2.1對于任意t∈R,連續(xù)函數(shù)u∈BC（R，X）稱為中立型系統(tǒng)（1）適度解,若在（-∞，t）上是可積的且

定理2.1設μ∈R，γ1和γ2滿足條件（H3）。若

證明令μ＝μ1＋μ2∈PAA（R，X，μ），其中μ1∈AA （X）,μ2∈ε（R，X，μ），由（H3）的假設,γi可逆且。另一方面對于r＞0,有

注意到條件（H3）中的假設

引理2.1[4]設μ∈M，f=g+h∈PAA（R×X，X，μ）若條件（Ⅰ）和（Ⅱ）成立：

（Ⅰ）對于任意的x∈X和t∈R，f（t，x）在有界子集Q?X上是一致連續(xù)的；

（Ⅱ）對于任意的x∈X和t∈R，g（t，x）在有界子集Q?X上是一致連續(xù)的。

定理2.2設μ∈M,μ∈PAA（R，X，μ）,假設條件（H1）成立,若函數(shù)ν滿足,那么對于任意的t∈R,有ν∈PAA（R，X，μ）。

證明因μ∈PAA（R，X，μ）有μ＝μ1＋μ2∈PAA（R，X，μ）,且μ1∈AA（R，X），μ2∈ε（R，X，μ）,使得

上式由μ2∈ε（R，X，μ）和勒貝格控制收斂定理亦可得。

定理2.3設μ∈M，μ∈PAA（R，X，μ）,若函數(shù)ω滿足，那么對于任意的t∈R,有 ω∈PAA（R，X，μ）。

定理2.4設μ∈M，條件（H1）-（H3）成立。若

那么方程（1）有唯一的μ測度偽概自守適度解。

證明設Γ：PAA（R，X，μ）→PAA（R，X，μ）是非線性算子滿足

又

進而從定理2.2和定理2.3可得

其次證明Γ有唯一的不動點。

由θ＜0知Γ在PAA（R，X，μ）有唯一不動點,即方程（1）有μ測度偽概自守適度解。

參考文獻：

［1］S.Bochner.Continuous mappings of almost automorphic and almost periodic functions,Proc.Natl.Acad.Sci.USA，52 （1964）：907-910.

［2］J.Blot,G.M.Mophou,G.M.N’Guerekata,D.Pennequin. Weighted pseudo almost automorphic functions and applications to abstract dierential equations［J］.Nonlinear Anal，71 （2009）：903-909.

［3］J.Blot,P.Cleutat,K.Ezzinbi.Measure theory and pseudo almost automorphic functions:New developments and aplications［J］.Nonlinear Anal，75（2012）：2426-2447.

［4］Yong-Kui Chang,Xiao-Xia Luo.Existence of μ-pseudo almost automorphic solutions to a neutral dierential equation by interpolation theory［J］.Filomat，28（3）（2014）：603-614.

［5］Yong-Kui Chang,Xiao-Xia Luo,G.M.N’Guerekata. Asymptotically typed solutions to a semilinear integral equation［J］.Integral Equations Appl，26（3）（2014）：323-343.

［6］T.Diagana,E.M.Hernandez.Existence and uniqueness of pseudo almost periodic solutions to some abstract partial neutral functional-dierential equations and applications［J］. Math.Anal.Appl.327（2007）：776-791.

［7］G.M.N’Guerekata.Sue les solutions presqu’automorphes dequations dierentielles abstraites［J］,annales des scinence Mathematqiues du Qu ebec,51（1981）：69-79.

［8］G.M.N’Guerekata,A.Pankov.Stepanov-like almost automorphic functions and monotone evolution equations,Nonlinear Anal，68（2008）：2658-2667.

［9］J.Liang,J.Zhang,T.J.Xiao.Composition of pseudo almost automorphic and asymptotically almost automorphic functions ［J］.Math.Anal.Appl.340（2008）：1493-1499.

［10］R.Zhang,Y.K.Chang,G.M.N’Guerekata.Weighted pseudo almost automorphic mild solutions to semi-linear integral equations with Sp-weighted pseudo almost automorphic coecients［J］.Discrete contin.Dyn.Syst-A 33 （2013）：5525-5537.

作者簡介：馮天維（1989-），男,甘肅武威人,研究生在讀,主要研究方向：中立型泛函微分方程的測度偽概自守解。

收稿日期：2015-12-10

中圖分類號：O175

文獻標識碼：A