王玉卿，王夢溪，杜金雁

地震概率安全分析中地震易損度不確定性分布的研究

王玉卿，王夢溪，杜金雁

（中國核電工程有限公司，北京100840）

核電廠地震概率安全分析（PSA）中，構筑物和設備的地震易損度是在給定地面運動強度條件下的條件失效概率。地震易損度的不確定性分布較為復雜，在地震PSA定量化過程中難于處理。本文針對地震易損度的數學模型進行研究，采用數值方法求解地震易損度的均值和方差。在均值和方差相等的條件下，以幾種常見的不確定性分布類型近似地震易損度的不確定性分布。通過比較可以看出，Beta分布可以較為準確地描述地震易損度的不確定性分布。

地震概率安全分析；地震易損度；不確定性分布；Beta分布

地震概率安全分析（Probabilistic Safety Assessment，PSA）是一種全面、綜合評估核電廠地震風險的方法，其三個基本組成要素包括地震危險性分析、地震易損度分析和電廠響應分析［1-2］。

地震易損度分析通過對地震條件下核電廠的構筑物、系統(tǒng)和設備（Structure System or Component，SSC）的地震反應及抗震能力的最佳估計，評價核電廠SSC在給定地震地面運動強度條件下的條件失效概率［2］，即SSC的地震易損度。在地震PSA最終的定量化分析中，要綜合地震危險性分析和地震易損度分析的結果，對通過電廠響應分析建立的地震PSA模型進行定量化計算。地震易損度具有較為復雜的不確定性分布，在地震PSA的定量化過程中較難處理。

本文對地震PSA中地震易損度的數學模型進行研究，采用數值方法求解地震易損度均值和方差。在基本保證均值和方差相等的條件下，以幾種常見的分布類型近似地震易損度的不確定性分布，并通過概率密度函數曲線的比較，確定能夠近似地震易損度的不確定性分布的類型。

1 地震易損度的數學模型

根據參考文獻［2］和［3］中的分析，假定SSC所能承受的地面運動加速度能力A是一個隨機變量，服從如下雙對數正態(tài)分布［2-3］：

式中：Am——地面運動加速度能力的中值；

eR——隨機性不確定度，服從中值為1的對數正態(tài)分布，其對數標準偏差為βR；eU——認知性不確定度，服從中值為1的對數正態(tài)分布，其對數標準偏差為βU。

SSC的地震易損度就由Am、βR和βU三個參數確定。

當地震產生的地面運動加速度a超過了SSC的地面運動加速度能力A時，即認為SSC將由于受地震影響而失效。因此可由（1）式進行推導［3］，得出給定的地面運動加速度a下SSC的條件失效概率P，即地震易損度，可以表示為：

式中：Φ——標準正態(tài)分布的累積分布函數；

Q——條件失效概率值小于P（a，Q）的概率（置信度）。

根據Q的定義，可以得到地面運動加速度a條件下地震易損度的累積分布函數和概率密度函數如下：

由以上兩式可以看出，在給定地面運動加速度a條件下，地震易損度的累積分布函數和概率密度函數解析式非常復雜，并不符合常見的分布類型。以設備的地震易損度參數Am＝0．87 g，βR＝0．25，βU＝0．35為例，可作出設備的地震易損度曲線、不同加速度下地震易損度的累積分布函數和概率密度函數的示意圖，分別如圖1至圖3所示。

圖1 地震易損度曲線Fig．1 Seismic Fragility Curves

2 地震易損度分布類型的近似

地震易損度的不確定性分布非常復雜，只能以常見的分布類型進行近似，在近似時要基本保證地震易損度的均值（或數學期望）和方差相等。

圖3 概率密度函數示意圖Fig．3 Figure of Probability Density Function

在地震PSA中，地震風險貢獻最為重要的地面運動加速度區(qū)間為0．2 g至1．0 g的范圍。因為，震級更低的地震不足以對核電廠的安全運行造成威脅，而對于震級更高的地震，通?？烧J為將引起核電廠大范圍的嚴重破壞，直接導致堆芯損壞和放射性釋放，但由于此類地震發(fā)生頻率非常低，因此其風險貢獻也可以忽略［5］。所以，在0．2 g至1．0 g的加速度區(qū)間內，比較分布類型近似的準確程度更為有意義。

2.1 地震易損度的均值和方差

根據隨機變量的均值和方差的定義［4］，可以得到給定地面運動加速度a下，地震易損度的均值E（a）和方差Var（a）的表達式：

本文以抗震能力不同的三個設備（見表1）為例，對0．2 g至1．0g區(qū)間內5個加速度值下的地震易損度的不確定性分布進行近似。根據式（5）、式（6）兩式的數值積分［6］，可得不同加速度下三個示例設備的地震易損度均值和方差，見表1。

表1 地震易損度的均值和方差Table1 The Mean Values and Variance of Seismic Fragility of Example Components

2.2 分布參數的計算

表2列出了可靠性分析中幾種常見的不確定性分布類型、分布參數及其概率密度函數［7-8］。

表2 幾種常見的不確定性分布類型Table2 Several Common Uncertainty Distribution Types

根據地震易損度累積分布函數和概率密度函數的表達式及示意圖，可以判斷表2中的正態(tài)分布和均勻分布都不符合地震易損度的分布類型。因此這里僅討論以Lognormal分布、Beta分布和Gamma分布近似地震易損度數據的合理性。表3給出了由地震易損度的均值和方差求解上述幾種分布類型的分布參數的公式［7-8］。

根據表3的公式可求得對應表1中三個示例設備不同加速度下的Lognormal分布、Beta分布、Gamma分布的分布參數，見表4。

表3 分布參數計算公式Table3 Formulation for Distribution Parameters

表4 示例設備的分布參數Table4 Distribution Parameters of Example Components

續(xù)表

3 結果比較

根據上述結果，做出不同加速度下三個示例設備的地震易損度的概率密度函數曲線，見圖4至圖6，圖中只給出0．2 g，0．6 g和1．0 g加速度下的曲線比較結果。

圖4 示例設備A的結果比較Fig．4 Results of Example Component A（a）地面運動加速度a＝0．2 g；（b）地面運動加速度a＝0．6 g；（c）地面運動加速度a＝1．0 g

圖5 示例設備B的結果比較Fig．5 Results of Example Component B（a）地面運動加速度a＝0．2 g；（b）地面運動加速度a＝0．6 g；（c）地面運動加速度a＝1．0 g

圖6 示例設備C的結果比較Fig．6 Results of Example Component C（a）地面運動加速度a＝0．2 g；（b）地面運動加速度a＝0．6 g；（c）地面運動加速度a＝1．0 g

通過比較幾組結果可以看出：Lognormal分布無法近似地震易損度的真實分布；當地面運動加速度接近或超過設備地震易損度參數Am時，Gamma分布與真實分布出現(xiàn)較大偏離，例如圖4-b、圖4-c和圖5-c，尤其是對于圖4-c，由于Gamma分布的分布參數太大，其概率密度函數已無法計算，此時已無法用Gamma函數進行近似。而Beta分布在不同情況下都能夠較為合理地描述地震易損度數據的分布。

4 結論

地震易損度的定義是核電廠SSC在給定地震地面運動強度條件下的條件失效概率。本文通過對地震PSA中地震易損度的數學模型進行研究，由地震易損度的表達式，推導出地震易損度的累積分布函數和概率密度函數的解析式，由其解析式及函數曲線可以看出地震易損度具有較為復雜的不確定性分布。

地震PSA中，地震風險貢獻最為重要的地面運動加速度區(qū)間為0．2～1．0 g，因此應在此地震加速度區(qū)間內對地震易損度的分布類型進行近似。

本文采用數值積分求解地震易損度均值和方差的方法，并在地震易損度均值和方差相等的條件下，用幾種常見的分布類型對地震易損度的不確定性分布進行近似。通過比較分析可以看出，在0．2～1．0 g加速度區(qū)間內，Beta分布可以較為合理的近似地震易損度不確定性分布。

［1］ ASME／ANS-RA-Sa-2009．“Standard for Level 1／Large Early Release Frequency Probabilistic Risk Assessment for Nuclear Power Plant Applications”．2009．

［2］ EPRI．Seismic probabilistic risk assessment implementation guide［R］．EPRI：EPRI 1002989，2003．

［3］ EPRI．Methodology for Developing Seismic Fragilities［R］．EPRI TR-103959，1994．

［4］ 盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數理統(tǒng)計［M］．北京：高等教育出版社，2001．

［5］ 張曉明，楊志超，肖軍．地震PSA方法研究．2012核能概率安全分析（PSA）研討會會議文集［C］．上海，2012：429-434．

［6］ 李慶楊，王能超，易大義．數值分析［M］．北京：清華大學出版社，2008．

［7］ 賀國芳，許海寶，瞿榮貞．可靠性數據的收集與分析［M］．北京：國防工業(yè)出版社，1995．

［8］ O．Nusbaumer．Analytic solution of seismic probabilistic risk assessment［R］．In．Proc．ESREL Conference．2005．

Study on the uncertainty distribution of seismic fragility in seismic PSA

WANG Yu-qing，WANG Meng-xi，Du Jin-yan

（China Nuclear Power Engineering Co．，Ltd．，Beijing 100840，China）

In seismic PSA for nuclear power plant，the fragility of a structure or equipment is defined as the conditional probability of its failure at a given ground motion level．The complicated uncertainty distribution of seismic fragility makes it difficult to complete the quantification in seismic PSA．This paper studies the mathematical model of seismic fragility，and then calculates the mean value and the variance of fragility by numerical method．Several common uncertainty distribution types are used to approximate the distribution of seismic fragility，with the same mean value and the variance．The results show that Beta distribution can be used to approximate the seismic fragility distribution with a high level of accuracy．

Seismic PSA；Seismic Fragility；Uncertainty Distribution；Beta Distribution

TL732＋．5

A

0258-0918（2016）01-0109-07

2015-12-21

王玉卿（1988—），男，山東濰坊人，碩士研究生，主要從事核電廠地震概率安全分析方面的研究