周　強(qiáng)，李傳珍，閆再友

(南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，南京 210016)

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快速邊界元方法模擬勻速運(yùn)動聲源聲場的研究

周強(qiáng)，李傳珍，閆再友

(南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，南京 210016)

摘要:用預(yù)修正快速傅里葉變換邊界元方法計(jì)算亞聲速勻速運(yùn)動聲源聲場。先將亞聲速勻速流動時(shí)聲場的控制方程，通過普朗特-葛勞渥變換到無流動時(shí)聲場的控制方程，再利用預(yù)修正快速傅里葉變換邊界元方法，模擬已知變換域結(jié)構(gòu)表面振動速度的結(jié)構(gòu)聲輻射問題。數(shù)值解和解析解的對比證明了本研究提出的快速邊界元方法之算法和程序的正確性。

關(guān)鍵詞:預(yù)修正快速傅里葉變換；邊界元法；普朗特-葛勞渥變換；聲場

飛機(jī)以勻速飛行或潛艇以勻速航行時(shí)的聲傳播都可以歸結(jié)為勻速運(yùn)動物體或聲源的聲場。這類問題屬于最簡單的氣動聲學(xué)問題。通過普朗特-葛勞渥(Prandtl-Glauert)變換,可以把問題的控制方程變換為經(jīng)典聲學(xué)波動方程。

邊界元非常適合求解頻域聲學(xué)波動方程,其顯著的優(yōu)點(diǎn)是對于無界外問題可以自動滿足無窮遠(yuǎn)處的邊界條件。1994年,Wu等[1]用邊界元方法模擬了亞聲速勻速運(yùn)動聲源的聲場。近些年來，快速邊界元方法的建立極大地提升和擴(kuò)大了邊界元方法的應(yīng)用范圍。

本研究用快速傅里葉變換邊界元方法[2-3]模擬勻速運(yùn)動聲源的聲場，其主要特點(diǎn)是積分核函數(shù)對算法影響不大，即對不同問題而言，計(jì)算程序所做的修改量不大。

1聲學(xué)邊界元方法

1.1聲學(xué)亥姆霍茲邊界積分方程

對于三維無界外域聲學(xué)問題，邊界元方法都能自動滿足無窮遠(yuǎn)處的Sommerfeld輻射條件。聲學(xué)亥姆霍茲邊界積分方程(HIE)為

(1)

三維聲學(xué)問題的基本解為

(2)

1.2復(fù)合亥姆霍茲積分方程

亥姆霍茲邊界積分方程(1)在求解無界聲學(xué)外問題時(shí),在某些特征頻率下存在解的不唯一性。而Burton和Miller已經(jīng)證明了當(dāng)系數(shù)α取為純虛數(shù)時(shí)，復(fù)合亥姆霍茲積分方程(CHIE)(3)對任意頻率均有唯一解[4]：

(3)

2預(yù)修正快速傅里葉變換邊界元方法

首先，把一個(gè)三維問題的表面離散成n個(gè)三角形常量單元；然后，用一個(gè)長方體來包圍該問題的整個(gè)表面。該長方體被劃分為k×l×m個(gè)大小相同的小立方體,這樣,每個(gè)小立方體里只包含一些單元。小立方體上均勻分布著柵格點(diǎn)，所有柵格點(diǎn)所構(gòu)成的網(wǎng)格稱為柵格。利用這些小立方體可以定義任意單元的近場和遠(yuǎn)場[5-6]。

單元上的聲壓或者振動速度可以等效地映射到包含該單元的小立方體的各個(gè)節(jié)點(diǎn)上去。這樣，小立方體各節(jié)點(diǎn)上映射的聲壓或振動速度與原單元上的聲壓或振動速度就可以產(chǎn)生等效的聲場，使原來在單元上的邊界積分轉(zhuǎn)換成在所有小立方體的所有離散柵格點(diǎn)上的求和。該求和過程形成了關(guān)于小立方體的節(jié)點(diǎn)標(biāo)號的離散卷積形式，所以，它可以通過快速傅里葉變換和逆變換計(jì)算。求出小立方體各柵格點(diǎn)上對應(yīng)的邊界積分后，再把這些節(jié)點(diǎn)上的計(jì)算值映射回到各個(gè)單元上去，從而求出各個(gè)單元上的邊界積分。而由于在近場，邊界積分用各柵格點(diǎn)上的求和方式所計(jì)算出的結(jié)果精度比較低，所以，為了保證計(jì)算精度，將用快速傅里葉變換方法所計(jì)算的近場值剔除，而代之以近場的直接積分值。因此，該邊界元方法被稱為預(yù)修正快速傅里葉變換邊界元方法。

關(guān)于亥姆霍茲邊界積分方程(1)和復(fù)合亥姆霍茲邊界積分方程(3)的預(yù)修正快速傅里葉變換邊界元方法可分別參考文獻(xiàn)[5]和[6]。

3亞聲速勻速定常流場中的聲場理論

當(dāng)有流場存在時(shí)，聲場已經(jīng)屬于氣動聲學(xué)范疇。但是，對于亞聲速勻速定常流中的聲場可以通過普朗特-葛勞渥變換將聲場變成經(jīng)典聲學(xué)的聲場。這樣,亞聲速勻速定常流中的聲學(xué)問題就可以通過預(yù)修正快速傅里葉變換聲學(xué)邊界元方法進(jìn)行數(shù)值模擬。

3.1亞聲速勻速定常流場中的聲波控制方程

在亞聲速勻速定常流場中，頻域擾動速度位所滿足的控制方程為

。

(4)

(5)

并且，令

(6)

則控制方程(4)被變換為變換域內(nèi)的亥姆霍茲波動方程

(7)

這樣，方程(7)可以通過基本解和格林第二恒等式而轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔绶e分方程(1)，

在此只研究第二類邊界條件問題。根據(jù)方程(6)可以得到邊界條件的變換式為

(8)

3.2亞聲速勻速定常流場中聲波控制方程的基本解

控制方程(4)的基本解G[1]的表達(dá)式為

(9)

該基本解的物理意義是：有x方向勻速流動存在時(shí),位于點(diǎn)P=(xP,yP,zP)處強(qiáng)度為1的點(diǎn)聲源的解。

4算法的數(shù)值驗(yàn)證

現(xiàn)對由基本解方程(9)所形成的有定常勻速流動的聲輻射問題進(jìn)行數(shù)值模擬。雖然問題簡單，但是足以證明算法和程序的正確性和計(jì)算效率，可為進(jìn)一步深入研究指明方向。

4.1亞聲速勻速流動繞振動橢球的聲場的數(shù)學(xué)模型

(10)

圖1　勻速流動繞振動橢球的聲輻射模型Fig.1　Acoustic radiation model of a uniform stream past a spheroid

(11)

4.2亞聲速勻速流動繞振動橢球的聲場的數(shù)值模擬

在數(shù)值模擬中采用了亥姆霍茲邊界積分方程(HIE)和復(fù)合亥姆霍茲邊界積分方程(CHIE)。變換域圓球表面被細(xì)劃為19 200個(gè)三角形常量元，如圖2所示。

圖3給出了波數(shù)k為0.45~13 m-1時(shí)，用亥姆霍茲邊界積分方程和復(fù)合亥姆霍茲邊界積分方程模擬所得到的振動橢球表面上(0,0,1)點(diǎn)的擾動速度位幅值與由方程(10)給出的解析解之間的對比。該圖清晰地顯示了亥姆霍茲邊界積分方程在某些特征頻率下解的不唯一現(xiàn)象，而復(fù)合亥姆霍茲邊界積分方程確實(shí)對任意計(jì)算頻率都是有效的。

圖2　變換域邊界劃分Fig.2　Discretization of boundary of transformed domain

圖3　在點(diǎn)(0,0,1)處的擾動速度位幅值隨波數(shù)的變化Fig.3　Perturbed velocity potential changing with wave number at point (0,0,1)

5結(jié)語

筆者基于三角形常量元,研究了預(yù)修正快速傅里葉變換邊界元方法模擬亞聲速勻速運(yùn)動聲源的聲場的可行性。先將有亞聲速勻速流動時(shí)結(jié)構(gòu)的聲輻射問題變換到無流動時(shí)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)聲輻射問題；再利用預(yù)修正快速傅里葉變換邊界元方法，模擬已知變換域結(jié)構(gòu)表面振動速度的有亞聲速勻速流動的結(jié)構(gòu)聲輻射問題。數(shù)值結(jié)果與對應(yīng)的解析解驗(yàn)證了算法的正確性。需說明的是，這里所進(jìn)行的數(shù)值模擬是在假設(shè)變換域結(jié)構(gòu)表面振動速度已知的情形下完成的。若模擬實(shí)際問題，需要建立基于高階單元的預(yù)修正快速傅里葉變換邊界元方法。

參考文獻(xiàn):

[1]WU T W, LEE L．A direct boundary integral formulation for acoustic radiation in a subsonic uniform flow [J]．Journal of Sound and Vibration, 1994, 175(1): 52-53．

[2]PHILLIPS J R．Rapid solution potential integral equations in complicated 3-dimensional geometries [D]．Boston: Massachusetts Institute of Technology, 1997:133．

[3]YAN Z Y, ZHANG J, YE W．Rapid solution of 3-D oscillatory elastodynamics using the pFFT accelerated BEM [J]．Engineering Analysis with Boundary Elements, 2010, 34(11): 956．

[4]BURTON A J, MILLER G F．The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary value problems [J]．Proceeding of the Royal Society A, 1971, 323(1553): 206．

[5]YAN Z Y．Simulation of acoustics scattering by the fast BEM approach [J]. Journal of Hydrodynamics,2010, 22(5): 948．

[6]YAN Z Y, GAN X W．The development of the pFFT accelerated BEM for 3-D acoustic scattering problems based on the Burton and Miller’s integral formulation [J]．Engineering Analysis with Boundary Elements, 2013, 37(2):412．

Simulation of acoustic field of sound source moving with constant speed by fast BEM

ZHOU Qiang，LI Chuanzhen，YAN Zaiyou

(College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronuatics and Astronautics，Nanjing 210016, China)

Abstract:Simulation of acoustic radiation problems in a subsonic uniform stream using the pre-corrected fast Fourier transformation (FFT) boundary element method (pFFT-BEM) is investigated. The governing equation for acoustic radiation in a subsonic uniform flow is transformed into the corresponding governing equation in the classical acoustic problems by the Prandtl-Glauert transformation. Then the acoustic radiation problem in a subsonic uniform stream is simulated by using the pFFT-BEM. Comparison of the numerical results with the corresponding analytical solutions show the correctness and accuracy of the proposed method.

Keywords:pre-corrected FFT; boundary element method; Prandtl-Glauert transformation; acoustic field

中圖分類號:O422.2；O242.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1671-8798(2016)01-0019-05

通信作者:閆再友，副教授，博士，主要從事邊界元方法與氣動聲學(xué)研究。

作者簡介:周強(qiáng)(1990—)，男，湖北省棗陽人，碩士研究生，研究方向?yàn)橛?jì)算流體力學(xué)。

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11172132)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目(蘇政辦發(fā)[2011]6號)

收稿日期:2015-07-04

doi:10.3969/j.issn.1671-8798.2016.01.004

浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào),第28卷第1期,2016年2月

Journal of Zhejiang University of Science and Technology

Vol.28 No.1, Feb. 2016