王立冬，王 品，羅賢全，梁冠輝

（1. 軍械工程學(xué)院，石家莊 050003；2. 武漢軍械士官學(xué)校，武漢 430075）

陀螺尋北儀中測(cè)量信號(hào)的在線建模與濾波

王立冬1，王 品2，羅賢全1，梁冠輝1

（1. 軍械工程學(xué)院，石家莊 050003；2. 武漢軍械士官學(xué)校，武漢 430075）

針對(duì)光纖陀螺尋北儀中光纖陀螺（FOG）和加速度計(jì)的隨機(jī)誤差，采用改進(jìn)型二階自回歸AR(2)模型，在線建立了光纖陀螺和加速度計(jì)隨機(jī)誤差模型。根據(jù)該模型，建立了FOG陀螺尋北儀的12階Kalman濾波器，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè) FOG和兩個(gè)加速度計(jì)測(cè)量信號(hào)在尋北過程中的實(shí)時(shí)濾波。仿真、Allan方差分析與尋北試驗(yàn)結(jié)果表明：FOG信號(hào)中隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、變化率隨機(jī)游走、變化率斜坡和量化噪聲五項(xiàng)噪聲源誤差系數(shù)都小于濾波前的二分之一；在減小光纖陀螺和加速度計(jì)測(cè)量信號(hào)中的隨機(jī)誤差，提高其精度的同時(shí)，F(xiàn)OG尋北儀的尋北誤差減小了0.3 mil。

光纖陀螺尋北儀；加速度計(jì)；改進(jìn)型AR(2)模型；Kalman濾波

陀螺尋北一般采用陀螺和加速度計(jì)，通過多位置方式靜態(tài)尋北。陀螺儀和加速度計(jì)的誤差可分為確定性誤差和隨機(jī)誤差。確定性誤差可通過多位置轉(zhuǎn)位得到精確測(cè)量與補(bǔ)償，而隨機(jī)誤差便成了影響尋北精度的重要因素。為此，人們采用了多種方法對(duì)該隨機(jī)誤差進(jìn)行了建模和濾波。在陀螺隨機(jī)誤差建模方面：文獻(xiàn)[1]～[7]等采用自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA(n, m))分別建立了光纖陀螺（FOG）和激光陀螺（RLG）的隨機(jī)誤差模型，并根據(jù)該誤差模型建立了Kalman濾波器、擴(kuò)展Kalman濾波器、無跡Ukalman濾波器和自適應(yīng)Kalman濾波器等，對(duì)FOG和RLG誤差進(jìn)行了濾波；文獻(xiàn)[8]等采用小波變換對(duì)FOG隨機(jī)誤差進(jìn)行了建模與濾波；文獻(xiàn)[9][10]等采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)FOG隨機(jī)誤差進(jìn)行了建模。文獻(xiàn)[8]采用Allan方差分析法及其改進(jìn)方法對(duì)建模和濾波前后數(shù)據(jù)的各種噪聲源進(jìn)行了分析，證明了上述方法的有效性。在石英撓性加速度計(jì)誤差建模方面；文獻(xiàn)[11]～[13]采用自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA(n, m))建立了加速度計(jì)隨機(jī)誤差模型，并采用Kalman濾波器對(duì)加速度計(jì)隨機(jī)誤差進(jìn)行了濾波；文獻(xiàn)[14]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)加速度計(jì)隨機(jī)誤差進(jìn)行了建模。本文以采用兩個(gè)FOG和兩個(gè)加速度計(jì)的兩位置尋北儀為例，在上述文獻(xiàn)建模和濾波的基礎(chǔ)上，采用改進(jìn)型二階自回歸模型-AR(2)模型，在線同時(shí)建立了4個(gè)慣性傳感器的隨機(jī)誤差模型，設(shè)計(jì)了4個(gè)慣性傳感器測(cè)量信號(hào)的12階Kalman濾波器，開展了陀螺尋北儀中測(cè)量信號(hào)的在線建模與濾波研究，提高了陀螺尋北儀的尋北精度。

1 FOG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出信號(hào)的在線建模與濾波

ARMA(n, m)模型要求信號(hào)必須為平穩(wěn)、正態(tài)分布和零均值時(shí)間序列。理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)證明[1-7,11-13]，F(xiàn)OG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)基本上可以看作平穩(wěn)、正態(tài)時(shí)間序列。但是，由于地速和FOG零偏以及重力加速度和加速度計(jì)零偏的存在，F(xiàn)OG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)不滿足零均值的條件。為了可以實(shí)現(xiàn)FOG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出信號(hào)的在線建模及其隨機(jī)誤差的實(shí)時(shí)濾波，本文采用了改進(jìn)型ARMA(n, m)模型；由文獻(xiàn)[1]～[7]得，AR(2)模型可以作為FOG隨機(jī)誤差的最佳模型。由文獻(xiàn)[11]～[13]得，AR(2)模型不是加速度計(jì)隨機(jī)誤差的最佳模型，但考慮到AR(2)的模型誤差比較小，F(xiàn)OG和加速度計(jì)模型誤差的一致性以及陀螺尋北儀的卡爾曼濾波器的階數(shù)和計(jì)算量，本文將FOG和加速度計(jì)的隨機(jī)誤差模型統(tǒng)一選為改進(jìn)型二階自回歸模型-AR(2)模型，其在線建型和實(shí)時(shí)濾波過程如下：

設(shè)平穩(wěn)、正態(tài)和零均值時(shí)間序列為 x1、x2、x3、…xk-2、xk-1、xk、…，則AR(2)模型可以表示為

式中：φ1和φ2為待估計(jì)的模型參數(shù)；αk為零均值、方差為σ的白噪聲，即αk～ (0，σ)。

設(shè) FOG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)為y1、y2、y3、…yk-2、yk-1、yk、…。該序列可以看作平穩(wěn)、正態(tài)的時(shí)間序列，只有進(jìn)行零均值處理后，才能應(yīng)用式(1)建模。由于FOG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)理想值都是常數(shù)，因此可以設(shè)其平均值為y，則平穩(wěn)、正態(tài)、零均值時(shí)間序列可以表示為

將式(2)代入式(1)得：

由于 FOG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)的平均值y可以看作常數(shù)，待估計(jì)模型參數(shù)φ1和φ2也是固定數(shù)，因此可以設(shè)如下常數(shù)：

則方程(3)變?yōu)?/p>

式(4)就是FOG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)的改進(jìn)型二階自回歸模型-AR(2)模型。根據(jù)FOG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)的時(shí)間序列，由最小二乘法，可以實(shí)時(shí)估計(jì)模型參數(shù)φ1和φ2以及常數(shù)c，從而在線確定該模型，以便在陀螺尋北儀中對(duì)FOG和加速度計(jì)的靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差進(jìn)行濾波。

2 光纖陀螺尋北儀的Kalman濾波器

光纖陀螺尋北儀主要包括兩個(gè) FOG和兩個(gè)加速度計(jì)，采用兩位置尋北方案。因此，可以采集得到 4組數(shù)據(jù)，需要建立4個(gè)改進(jìn)型二階自回歸模型-AR(2)模型。根據(jù)式(4)可得：

其中，g1、g2、a1和a2分別代表FOG1、FOG2、加速度計(jì)1和加速度計(jì)2。

將常數(shù) cg1、cg2、ca1和ca2也當(dāng)作狀態(tài)變量，系統(tǒng)狀態(tài)方程可以表示為

式中：狀態(tài)變量

過程噪聲

Wk、Vk的統(tǒng)計(jì)特性滿足以下條件：均值E（Wk）＝E（Vk）＝0；自相關(guān)函數(shù)為φWW＝Qδkj，φVV＝Rδkj；互相關(guān)函數(shù)φVW(k,j)＝0。

對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)方程(5)和量測(cè)方程(6)，其離散卡爾曼濾波方程為

狀態(tài)變量初始值X(0)選為測(cè)量值初值；系統(tǒng)量測(cè)噪聲方差R取為FOG和加速度計(jì)的零偏穩(wěn)定性的平方；

3 仿真與試驗(yàn)結(jié)果

以我們自行研制的光纖陀螺尋北儀為例，陀螺為北京航空航天大學(xué)生產(chǎn)的高精度FOG，加速度計(jì)為石英撓性加速度計(jì)；FOGx和加速度計(jì)x采集的數(shù)據(jù)如圖1和2所示；采用第1節(jié)中的改進(jìn)型AR(2)模型，根據(jù)前30 s的數(shù)據(jù)，分別對(duì)兩個(gè)FOG與兩個(gè)加速度計(jì)的靜態(tài)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行在線建模；采用第2節(jié)中的12階Kalman濾波器，對(duì)兩個(gè)FOG與兩個(gè)加速度計(jì)的靜態(tài)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)濾波；濾波后，F(xiàn)OGx和加速度計(jì)x的輸出數(shù)據(jù)如圖3和圖4所示；采用Allan方差分析法，計(jì)算 FOG數(shù)據(jù)在濾波前后的誤差系數(shù)，如表 1所示；分別利用建模與濾波前后的數(shù)據(jù)進(jìn)行兩位置尋北，試驗(yàn)結(jié)果如表2所示。由此可得結(jié)論：

1）由圖1、圖2、圖3和圖4可以看出，建模、濾波前后，F(xiàn)OG和加速度計(jì)輸出信號(hào)曲線的變化規(guī)律沒有改變，但是建模濾波后的信號(hào)噪聲明顯減??；

2）由表1可以看出，根據(jù)Allan方差分析法得到的 FOG建模濾波前后數(shù)據(jù)的五項(xiàng)誤差系數(shù)的變化情況：FOG輸出數(shù)據(jù)經(jīng)過上述建模與濾波后，隨機(jī)游走、偏差不穩(wěn)定性、變化率隨機(jī)游走、變化率斜坡和量化噪聲五項(xiàng)噪聲源誤差系數(shù)都小于濾波前的1/2，如FOG的零偏穩(wěn)定性由原來的0.0196 (°/h)減小為0.0091 (°/h)。由此可得，上述在線模型和濾波有效減小了FOG測(cè)量信號(hào)的隨機(jī)誤差，提高了其精度。

圖1 FOGx靜態(tài)輸出曲線Fig.1 Curves of FOGx data in static state

圖2 加速度計(jì)x靜態(tài)輸出曲線Fig.2 Curves of accelerometer-x data in static state

3）由表2可得，建模與濾波后，尋北誤差顯著減小，由1.8405 mil減小為1.5160 mil，從而證明了第1節(jié)中的AR(2)模型及其在線建模以及第2節(jié)中的12階Kalman濾波器的可行性與有效性。

圖3 FOGx靜態(tài)輸出經(jīng)濾波后的曲線Fig.3 Curve of FOGx’s static data after filtering

圖4 加速度計(jì)x靜態(tài)輸出經(jīng)濾波后的曲線Fig.4 Curve of accelerometer static data after filtering

表1 FOGx輸出數(shù)據(jù)濾波前后的誤差系數(shù)比較Tab.1 Comparison on noise source’s error coefficients

表2 FOG尋北儀在線建模與實(shí)時(shí)濾波前后的尋北結(jié)果比較Tab.2 North-seeking results before and after modeling and filtering the north-seeker in real time

4 結(jié) 論

經(jīng)過對(duì)多個(gè)FOG和加速度計(jì)進(jìn)行上述建模、濾波以及重復(fù)性尋北實(shí)驗(yàn)，都得到了相同的結(jié)論，即采用本文中的改進(jìn)型二階自回歸AR(2)模型，可以直接利用FOG和加速度計(jì)輸出的靜態(tài)數(shù)據(jù)，在線建立FOG和加速度計(jì)輸出信號(hào)模型；根據(jù)該模型，采用卡爾曼濾波器可以對(duì)FOG和加速度計(jì)的隨機(jī)誤差實(shí)時(shí)濾波，可有效減小FOG和加速度計(jì)隨機(jī)誤差，提高FOG和加速度計(jì)精度；采用AR(2)模型在線建模，建立FOG尋北儀的12階Kalman濾波器，在減小兩個(gè)FOG和兩個(gè)加速度計(jì)隨機(jī)誤差的同時(shí)，可以提高FOG尋北儀的尋北精度。仿真與試驗(yàn)結(jié)果證明了上述建模和濾波方法的可行性與有效性。

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On-line modeling and filtering of measured signals in FOG north-seeker

WANG Li-dong1, WANG Pin2, LUO Xian-quan1, LIANG Guan-hui1
(1. Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China; 2. Wuhan Mechanical Technology College, Wuhan 430075, China)

Aiming at the random errors of FOG and accelerometer in the FOG north-seeker, an improved AR(2) model is designed, and by which the random error models of FOG and accelerometer are built in real time. Based on the models, a 12-order Kalman filter is set up, and the random errors of two FOGs and two accelerometers are filtered in the FOG north-seeker’s north-seeking process. The results of simulations, Allan variance analysis and north-seeking experiments show that these error coefficients, including the random walk, the bias instability, the change rate’s random walk, the change rate’s ramp and the quantification noise in the output signals of FOG, are about one-half as less as those when the random errors of FOGs and accelerometers are not filtered. In addition, the random errors of FOGs and accelerometers are reduced and their precisions are effectively improved by this modeling and filtering method, and the north-seeking error of the FOG north-seeker is reduced by 0.3 mil.

FOG north-seeker; accelerometer; AR(2) model; Kalman filter

U666.1

：A

2016-07-27；

：2016-11-04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（60671045）

王立冬（1965—），男，副教授，研究方向?yàn)楣饫w慣導(dǎo)技術(shù)。E-mail: wlddoctor@163.com

1005-6734(2016)06-0706-04

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.06.002