譚 陽,遲毅林,黃亞宇,姚廷強

(昆明理工大學機電工程學院，云南 昆明 650500)

考慮微觀結(jié)構(gòu)特征長度演化的內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型*

譚 陽,遲毅林,黃亞宇,姚廷強

(昆明理工大學機電工程學院，云南 昆明 650500)

在金屬晶體材料高應變率大應變變形過程中，存在強烈的位錯胞尺寸等微觀結(jié)構(gòu)特征長度細化現(xiàn)象，勢必對材料加工硬化、宏觀塑性流動應力產(chǎn)生重要影響。基于宏觀塑性流動應力與位錯胞尺寸成反比關(guān)系，提出了一種新型的BCJ本構(gòu)模型。利用位錯胞尺寸參數(shù)，修正了BCJ模型的流動法則、內(nèi)變量演化方程，引入了考慮應變率和溫度相關(guān)性的位錯胞尺寸演化方程，建立了綜合考慮微觀結(jié)構(gòu)特征長度演化、位錯累積與湮滅的內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型。應用本文模型，對OFHC銅應變率在10-4～103s-1、溫度在298～542 K、應變在0～1的實驗應力-應變數(shù)據(jù)進行了預測。結(jié)果表明：在較寬應變率、溫度和應變范圍內(nèi)，本文模型的預測數(shù)據(jù)與實驗吻合很好；與BCJ模型相比，對不同加載條件下實驗數(shù)據(jù)的預測精度均有較大程度的提高，最大平均相對誤差從9.939%減小為5.525%。

固體力學；新型內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型；位錯胞尺寸；高應變率大應變變形；微觀結(jié)構(gòu)特征長度

準確的塑性本構(gòu)模型，是成功預測金屬晶體材料在高應變率大應變變形過程中復雜動態(tài)力學行為的關(guān)鍵[1-2]。沖擊、侵徹、機加工等高應變率大應變變形過程中，應變率從準靜態(tài)變化到動態(tài)，高應變率變形產(chǎn)生絕熱溫升現(xiàn)象，使整個過程涉及的應變率、溫度范圍較寬，產(chǎn)生顯著的應變率、溫度與材料硬化之間的耦合效應和應變率、溫度歷史效應。這些復雜現(xiàn)象，給準確塑性本構(gòu)模型的建立帶來困難。有必要進一步從塑性變形物理機制、熱力載荷對材料微觀結(jié)構(gòu)演化的影響等角度，對本構(gòu)模型的建立進行深入研究，為防撞和防侵徹結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計、機加工過程的機理研究與優(yōu)化，提供可靠的技術(shù)支持。

位錯的增殖和運動、微觀結(jié)構(gòu)的形成和演化，是金屬晶體塑性變形的微觀物理本質(zhì)。長期以來，學者們都試圖基于塑性變形過程的微觀物理機制建立準確的本構(gòu)模型，以描述金屬晶體材料在熱力耦合載荷條件下的復雜動態(tài)力學行為。F.J.Zerilli等[3]基于位錯運動熱激活理論，提出了分別描述FCC和BCC金屬材料的本構(gòu)模型；而該模型不能考慮屈服應力或加工硬化率的應變率、溫度相關(guān)性[4]以及應變率、溫度歷史效應。P.S.Follansbee等[5]結(jié)合位錯運動熱激活理論，提出了以力學閥值應力為內(nèi)變量的物理本構(gòu)模型；應用研究發(fā)現(xiàn)，該模型在應變較大(ε>0.2)時對實驗數(shù)據(jù)的預測精度較差[6]。D.J.Bammann等[7]基于位錯動力學，提出了Bammann-Chiesa-Johnson內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型(BCJ模型)；該模型可對塑性變形過程中位錯硬化、因塑性變形產(chǎn)生的各向異性、回復等多重物理機制進行較準確描述，能較好地考慮應變率、溫度與材料硬化之間的耦合效應和應變率、溫度歷史效應[8]，但該模型未考慮微觀結(jié)構(gòu)的形成和演化及其對位錯組態(tài)的影響。A.Molinari等[9]提出了以微觀結(jié)構(gòu)特征長度為單一演化內(nèi)變量的本構(gòu)模型，模型很好地考慮了應變率、溫度對微觀結(jié)構(gòu)特征長度演化的影響，但該模型未考慮位錯累積和湮滅對宏觀塑性流動應力的影響。

本文中，引入位錯胞尺寸參數(shù)及其演化方程，對BCJ模型中的屈服項、內(nèi)變量演化方程的硬化項進行修正，建立綜合考慮微觀結(jié)構(gòu)特征長度演化、位錯累積與湮滅的內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型，擬用該模型預測OFHC銅在應變率10-4～103s-1、溫度298～542 K、應變0～1范圍內(nèi)的實驗應力-應變數(shù)據(jù)。

1 微觀結(jié)構(gòu)特征長度與加工硬化

圖1 位錯胞亞結(jié)構(gòu)Fig.1 Substructure of dislocation cells

大量實驗觀察表明，F(xiàn)CC(如銅、鋁等)和BCC(如α-鐵、鉻等)金屬材料，在較寬應變率和溫度范圍內(nèi)的變形過程中，主要形成位錯胞亞結(jié)構(gòu)[10]，如圖1所示[11]。特別是高層錯能金屬，變形初期晶粒內(nèi)產(chǎn)生較高位錯增殖率，位錯密度迅速增大；材料達到屈服極限僅發(fā)生較小塑性變形(ε<0.05)時，位錯胞邊界便開始顯現(xiàn)[12]。隨著變形的增加，位錯密度不斷增大，高位錯密度的位錯墻和位錯胞壁將晶粒分割為位錯胞群[13]，位錯胞內(nèi)位錯密度較低；為與塑性變形相協(xié)調(diào)，晶粒內(nèi)的位錯胞數(shù)量不斷增加，位錯胞壁厚度逐漸增大，位錯胞尺寸不斷減小[10]。通常認為，金屬塑性變形由位錯增殖、運動和湮滅等過程控制，加工硬化是因位錯在金屬體內(nèi)的不斷累積及其與運動障礙之間相互作用而產(chǎn)生。而依據(jù)Hall-Petch公式可知，晶粒尺寸對金屬材料初始屈服強度有重要影響。而在金屬塑性變形過程中，晶粒被具有較高位錯密度的位錯墻和胞壁分割成位錯胞，且位錯胞數(shù)量不斷增加、位錯胞尺寸不斷減小，勢必對材料加工硬化、宏觀塑性流動應力產(chǎn)生重要影響。位錯胞尺寸應是塑性變形本構(gòu)建模中需考慮的微觀結(jié)構(gòu)特征長度參數(shù)。

2 考慮微觀結(jié)構(gòu)特征長度演化的內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型

2.1 考慮微觀結(jié)構(gòu)特征長度參數(shù)的內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型

以金屬材料產(chǎn)生變形的體積足夠大、忽略微觀塑性變形不均勻為前提，D.J.Bammann等[7]基于位錯動力學提出了BCJ內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型。在模型中，塑性流動由作用在位錯上的有效應力或凈應力驅(qū)動。有效應力或凈應力為外加應力減去因內(nèi)應力而產(chǎn)生的阻力，內(nèi)應力場由位錯胞壁和位錯胞內(nèi)位錯的累積而產(chǎn)生；在有效應力或凈應力驅(qū)動下，位錯克服晶格摩擦力運動便產(chǎn)生塑性流動，塑性流動方向與有效應力或凈應力偏張量方向相同。據(jù)此，給出如下塑性流動法則[7]：

(1)

式中：Dp表示變形率張量加法分解的塑性流動部分；σ′為柯西應力偏張量，表示外加應力；α′為背應力偏張量，表示因位錯胞內(nèi)位錯塞積等產(chǎn)生的具有方向性的內(nèi)應力張量場；R為各向同性硬化內(nèi)變量，表示因位錯胞壁內(nèi)因位錯等微觀結(jié)構(gòu)不斷累積而產(chǎn)生的標量性內(nèi)應力場。內(nèi)應力場變量α、R采用位錯累積與湮滅進行描述[7]：

(2)

(3)

式(2)～(3)均引入軟化項，用以描述溫度較高或大應變時因位錯攀移或交滑移而產(chǎn)生的靜態(tài)回復(熱回復)或動態(tài)回復現(xiàn)象。式(1)～(3)中，溫度相關(guān)函數(shù)采用Arrhenius型表達式：

(4)

(5)

由于位錯累積速率與微觀結(jié)構(gòu)特征長度也成反比關(guān)系[18]，而回復過程主要由存儲能驅(qū)動[19]，因此，僅對模型中內(nèi)變量演化方程的硬化項進行修正。將式(2)～(3)改寫為：

(6)

(7)

式中：δ為位錯胞尺寸參數(shù)；δ0為塑性變形前位錯胞尺寸，即初始晶粒尺寸。在金屬塑性變形體積不可壓縮假設(shè)下，式(5)～(7)聯(lián)立以下線彈性本構(gòu)關(guān)系，構(gòu)成完整的考慮微觀結(jié)構(gòu)特征長度參數(shù)、位錯累積與湮滅的內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型：

(8)

(9)

式中：ρ為材料密度，cp為比熱容，η表示Taylor-Quinney系數(shù)。

2.2 微觀結(jié)構(gòu)特征長度的演化

為更準確反映位錯胞尺寸對宏觀塑性流動應力的重要影響，必須考慮位錯胞尺寸在塑性變形中的不斷細化，建立位錯胞尺寸演化方程。

J.G.Sevillano等[10]對多種FCC和BCC金屬材料在變形中位錯胞尺寸變化的實驗數(shù)據(jù)進行了對比分析，發(fā)現(xiàn)位錯胞尺寸演化基本遵循同一規(guī)律：在小塑性應變區(qū)域，位錯胞尺寸隨著應變的增大急劇減??；隨著應變的進一步增大，這個趨勢有所減緩；應變足夠大時，位錯胞尺寸接近飽和，幾乎不發(fā)生變化。由此，對位錯胞尺寸的演化進行描述[9]：

(10)

應變率和溫度是直接影響塑性變形過程中位錯胞尺寸演化的重要因素。因此，δr、δs采用依賴于應變率和溫度的函數(shù)[9]：

(11)

3 模型驗證

3.1 模型參數(shù)識別

利用具有FCC晶體結(jié)構(gòu)的高導無氧銅(OFHC銅)在應變率10-4～103s-1、溫度298～542 K、應變0～1范圍內(nèi)的實驗應力-應變數(shù)據(jù)，對本文模型中的材料參數(shù)進行識別，以檢驗模型對材料動態(tài)力學行為的表征情況。用于參數(shù)識別的實驗數(shù)據(jù)[8]，見表1。本文模型中，考慮了應變率、溫度與材料硬化之間的耦合效應和應變率、溫度歷史效應以及材料微觀結(jié)構(gòu)演化，共包含27個材料參數(shù)。為了提高模型參數(shù)識別結(jié)果的置信度，基于對模型中材料參數(shù)物理涵義的界定：首先，對模型中各材料參數(shù)進行解耦與分離，獲得材料參數(shù)的估計公式，估計合理的參數(shù)取值范圍；其次，運用Matlab編制了用于本文模型應力積分的徑向返回算法以及微粒群優(yōu)化算法的計算程序，應用重新計及模型中耦合效應和歷史效應的反分析方法，在估計的參數(shù)取值范圍內(nèi)對材料參數(shù)進行了優(yōu)化識別。模型中，材料參數(shù)C1～C18取值范圍的確定方法以及參數(shù)識別的具體步驟可參見文獻[21]，而微觀結(jié)構(gòu)特征長度演化方程中材料參數(shù)依據(jù)文獻[9]確定取值范圍。最終，確定的參數(shù)取值范圍和優(yōu)化識別的材料參數(shù)，見表2。

3.2 結(jié)果分析與討論

圖2為本構(gòu)模型預測結(jié)果與實驗結(jié)果對比圖。圖中，空心符號表示實驗結(jié)果，實線表示本文模型的預測結(jié)果，虛線表示BCJ模型的預測結(jié)果。從圖中可知，BCJ模型在溫度542 K、應變率1和5 200 s-1兩種加載條件下的預測曲線發(fā)生了重合，而本文模型不僅能很好地預測上述兩種工況下的實驗應力-應變數(shù)據(jù)，而且對在不同加載條件下實驗數(shù)據(jù)的預測結(jié)果明顯好于原BCJ模型；即使應變接近于1時，仍能獲得很好的預測結(jié)果。表3給出了本構(gòu)模型預測數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)的平均相對誤差。從表3可以看出，與BCJ模型相比，本文模型在不同加載條件下的預測精度均有較大提高，且最大相對誤差僅為5.525%。

圖3為反映應變率歷史效應的應變率跳躍實驗應力-應變數(shù)據(jù)[8]。應變率從6 000 s-1降到0.000 4 s-1并重新加載時，應力水平位于兩恒定應變率下的應力-應變曲線之間，隨著應變的增加，逐漸接近準靜態(tài)加載條件下的應力-應變曲線。從圖3可以看出，本文模型對后續(xù)準靜態(tài)加載段的預測應力值偏高。經(jīng)分析，可能是文獻[8]在使用經(jīng)SHPB實驗加載后的試件制作(陶瓷膠水黏接)準靜態(tài)加載試樣時，試件內(nèi)部微觀組織與結(jié)構(gòu)發(fā)生了微小的變化所致。將高應變率加載后計算得到的硬化變量α、R減小為原來的0.98倍、而將計算得到的位錯胞尺寸δ增大為原來的1.16倍，以此作為初值對后續(xù)準靜態(tài)加載段應力響應進行預測，可得到與實驗數(shù)據(jù)吻合很好的預測結(jié)果。而BCJ模型對高應變率、準靜態(tài)加載段應力響應的預測精度均較差。

表1 參數(shù)識別的實驗數(shù)據(jù)Table 1 Experimental data for parameters identification

表2 參數(shù)取值范圍和優(yōu)化識別的材料參數(shù)Table 2 Value domains and identified material parameters

圖2 OFHC銅的應力-應變數(shù)據(jù)Fig.2 The stress-strain data for OFHC Cu

表3 模型預測數(shù)據(jù)的平均相對誤差Table 3 Relative error of constitutive model predictions

圖4為在不同加載條件下本文模型預測的位錯胞尺寸演化曲線。從圖中可以看出：不同加載條件下，位錯胞尺寸均隨應變增大而不斷減小，在應變較大時，逐漸趨于飽和；應變率越高，位錯胞尺寸初始減小速率越大；在相同應變下，應變率越高，位錯胞尺寸越小，此結(jié)果與文獻[15,20]的實驗結(jié)論一致。

圖3 應變率跳躍實驗的應力-應變曲線Fig.3 Stress-strain curves in strain rate jump experiment

圖4 預測的位錯胞尺寸演化曲線Fig.4 Predicted evolution of cell size for different experimental conditions

4 結(jié) 論

考慮位錯的累積與湮滅、同時考慮微觀結(jié)構(gòu)細化現(xiàn)象(如位錯胞細化)的材料本構(gòu)模型，能更準確地描述金屬晶體材料在高應變率大應變變形過程中的復雜動態(tài)力學行為。

引入位錯胞尺寸參數(shù)及其演化方程，對BCJ模型中的屈服項、內(nèi)變量演化方程的硬化項進行修正，建立了綜合考慮微觀結(jié)構(gòu)特征長度演化、位錯累積與湮滅的內(nèi)變量黏塑性本構(gòu)模型。本文模型能很好地預測OFHC銅在應變率10-4～103s-1、溫度298～542 K、應變0～1較寬范圍內(nèi)的實驗應力-應變數(shù)據(jù)。即使應變接近于1時，仍能獲得精度較高的預測結(jié)果。與僅考慮位錯累積與湮滅的BCJ模型相比，本文模型在預測精度上有較大程度的提高，最大平均相對誤差從9.939%減小至5.525%。需要注意的是，本文模型將位錯胞尺寸作為表征微觀結(jié)構(gòu)特征長度的參數(shù)引入本構(gòu)模型中，因此，本文模型主要適用于在塑性變形過程中以形成位錯胞亞結(jié)構(gòu)為主的金屬晶體材料。

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(責任編輯 丁 峰)

An internal state variable viscoplastic constitutive model considering the evolution of microstructural characteristic length

Tan Yang, Chi Yilin, Huang Yayu, Yao Tingqiang

(FacultyofMechanicalandElectricalEngineering,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650500,Yunnan,China)

During high strain rate and large strain deformation of crystalline metals, there exist phenomena of continuous refinement of microstructural characteristic length, like the size of dislocation cells, which occurs intensively and would have significant influence on the work hardening and macroscopic flow stress. In this work, based on the inverse relation between macroscopic flow stress and and the cell size, a new type of BCJ constitutive model was proposed. The flow rule and evolution equations for internal state variables in BCJ model were modified by involving the cell size parameter; the evolution equation for the cell size considering the dependence of the strain rate and the temperature was introduced into the model; and an internal state variable viscoplastic constitutive model that considers the evolution of microstructural characteristic length, accumulation and annihilation of dislocations was then established. The new constitutive model was illustrated by predicting the experimental stress-strain data of OFHC Cu over a wide range of strain rates (10-4-103s-1), temperatures (298-542 K) and strains (0-1). The results show that the predicted data agree very well with the experimental data. Compared with the BCJ model, the predictive accuracies of the proposed model in various loading conditions are obviously improved, the maximum average relative error is reduced from 9.939% to 5.525%.

solid mechanics; new viscoplastic constitutive model; cell size; high strain rate and large strain deformation; microstructural characteristic length

10.11883/1001-1455(2016)06-0869-07

2015-04-09； < class="emphasis_bold">修回日期：2016-10-08

2016-10-08

國家自然科學基金項目(11462008)

譚 陽(1981— )，男，博士研究生,t_y2004@126.com。

O344.4 <國標學科代碼：1301520 class="emphasis_bold"> 國標學科代碼：1301520 文獻標志碼：A國標學科代碼：1301520

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