劉薇

【摘要】幾何直觀是2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準提出的十個核心概念之一。小學(xué)生的思維特點決定了他們在理解抽象概念、進行邏輯思維時，需要借助幾何直觀。本文針對調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)的問題，從教學(xué)的角度提出了培養(yǎng)小學(xué)生幾何直觀能力的策略：第一建立數(shù)與形的聯(lián)系；第二借助圖形描述問題；第三利用圖形揭示數(shù)量關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 圖形

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0137-02

TIMSS 2007四年級數(shù)學(xué)測試中的一道題目引起了我的興趣。在對小學(xué)四年級近100名學(xué)生進行測試后，發(fā)現(xiàn)這道題的正確率明顯低于相同考點的其他類型題目（題目如下）。

使用下面的信息，在地圖上加上公園、圖書館和學(xué)校。

（1）公園離湖200米，這樣人們就可以釣魚和游泳了。在地圖上用“×”標記你設(shè)計的公園的位置，并在“×”下面標記“公園”。

（2）圖書館離市政廳至少300米但又不能超過400米。在地圖上用“×”標記你設(shè)計的圖書館的位置，并在“×”下面標記“圖書館”。

（3）學(xué)校要在公園和圖書館中間。在地圖上用“×”標記你設(shè)計的學(xué)校的位置，并在“×”下面標記“學(xué)?！薄?/p>

（注：學(xué)校、公園、圖書館不必在一條直線上。）

按照傳統(tǒng)的觀點，這道題目正確率低會被歸結(jié)為：閱讀能力差不理解題目的意思或者開放性題目的解題技巧欠缺。這道題目主要考查學(xué)生對“距離和位置”相關(guān)知識的理解以及在實際中的應(yīng)用。學(xué)生完成這道題目至少需要經(jīng)歷以下幾個過程：首先學(xué)生要能夠理解題目中“公園離湖200米”、“圖書館離市政廳至少300米但又不能超過400米”以及“學(xué)校要在公園和圖書館中間”的意思，清楚“圖上1cm表示100m”的含義。其次要能夠根據(jù)這些信息提取相關(guān)的知識，最后再利用這些知識解決問題。這些與2011版課標中提出的核心詞幾何直觀不謀而合。

一、搭建抽象與具象的橋梁

對題目中已知數(shù)據(jù)的直觀感知是解題的基礎(chǔ)。如何建立起數(shù)與形的聯(lián)系，這是概念教學(xué)時首先要考慮的問題。當學(xué)生把數(shù)的認識與圖形建立起了聯(lián)系的時候，他們的認識就不再孤立，而是連結(jié)在一起的。以認數(shù)的教學(xué)為例，這樣的聯(lián)系就無處不在（如圖1）。通過豐富的表象來加強學(xué)生對數(shù)的認識和理解。不僅在認數(shù)的時候借助小棒、計數(shù)器、圖形等建立數(shù)與形的聯(lián)系，甚至在計算的教學(xué)中也可以看到。例如加法運算的意義、減法運算的意義，分數(shù)加法運算方法以及分數(shù)乘法運算方法都可以借助圖形來進行表征（如圖2）。

當我們把數(shù)與形建立起了聯(lián)系之后，復(fù)雜的問題瞬間變得直觀明了。乘法分配率用圖3的方式表示出來之后，他就變成了計算小正方形個數(shù)的兩種不同的計算方法。三角形的分類用圖4來表示顯得一目了然，學(xué)生對三角形的分類也有了更加直觀的認識。其實，這樣的例子在概念教學(xué)中隨處可見。在TIMSS測試中也經(jīng)常出現(xiàn)類似的題目（如圖5）。由此可見，建立數(shù)與形的聯(lián)系，豐富學(xué)生對知識的直觀感知是幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑。加強數(shù)學(xué)概念幾何意義的闡釋，有利于學(xué)生形成概念表象，促進對數(shù)學(xué)知識的理解和記憶，積累表象構(gòu)建的經(jīng)驗同時也為問題解決過程中的表象遷移提供了潛在的可能。

二、做一場數(shù)形轉(zhuǎn)換的游戲

題目中隱藏的“圖上1cm表示100m”是解題的關(guān)鍵。這正與上面提到的數(shù)的多樣表征方式相聯(lián)系。100既可以用計數(shù)器百位上的一顆算珠來表示，也可以是1大捆小棒，或者100個（10×10）小正方體組成的長方體，當然也可以是題中的1cm的線段。只有學(xué)生積累了豐富的數(shù)的直觀感知，才有可能做到直觀洞察并借助圖形來描述問題?！肮珗@離湖200米”可以用2cm的線段來表示公園與湖之間的距離，“圖書館離市政廳至少300米但又不能超過400米”就可以用比3cm長比4cm短的線段來表示。借助圖形來描述問題是我們解決問題的第一步。如果說這里借助圖形來描述問題的作用還不太明顯的話，我們嘗試再舉下面兩個例子來進行說明。

蘇教版五年級上冊解決問題策略的例題2，題目如下：南山中心小學(xué)舉行小學(xué)生足球賽，有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？這道題目我們?nèi)绻盐淖洲D(zhuǎn)譯為圖形，答案就會呼之欲出。我們用點表示4支足球隊，用線表示兩支球隊進行一場比賽，然后每兩個點用一條線連起來，一共要比賽6場就躍然圖上了（如圖6）。人教版六年級上冊的數(shù)學(xué)廣角，題目如下：小林、小強、小芳、小兵和小剛5人進行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小林已經(jīng)下了4盤，小強下了3盤，小芳下了2盤，小兵下了1盤。請問：小剛一共下了幾盤？分別和誰下的？這道題目的信息比較多，借助圖形來描述一下題目（如圖7）“小剛一共下了幾盤？分別和誰下的？”答案一目了然。借助幾何圖形描述數(shù)學(xué)問題，能加強學(xué)生對問題情境信息及其關(guān)系的理解，幫助學(xué)生從整體上把握問題，提示問題的轉(zhuǎn)化方法從而獲得正確的解題思路。

三、走進數(shù)學(xué)模型的宮殿

“學(xué)校要在公園和圖書館中間”，解決這個問題需要借助圖形來描述位置關(guān)系。因為“學(xué)校、公園、圖書館不必在一條直線上”，所以這種關(guān)系是靈活多樣的。借助恰當?shù)膱D形、直觀的模型，思維更容易向更高級、更抽象的形式轉(zhuǎn)換。只有具備把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成可借用的幾何直觀問題，學(xué)生才有可能展開想象和創(chuàng)造性的探求活動，使學(xué)生能夠創(chuàng)造性的解決問題。

例如，蘇教版教材五年級下冊《解決問題的策略》單元的例2：“計算1/2+1/4+1/8+1/16”和練習(xí)十九第7題：“有16支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制進行。一共要進行多少場比賽后才能產(chǎn)生冠軍？”看起來并沒有什么直接的聯(lián)系，而實際上它們是可以用相同的幾何模型來表達的。

根據(jù)例2中算式的特點，可以用一個正方形表示“1”，在正方形中可以分別表示出 1/2、1/4、1/8和1/16（如圖8），容易看出，求“1/2+1/4+1/8+1/16”的和可以直接用“1-1/16”來計算。而且足球比賽問題中比賽是以單場淘汰制進行的，每一輪比賽要淘汰掉 1/2 的球隊，如果用一個正方形來表示參加比賽的 16 支球隊，再分別表示出每輪比賽淘汰掉的球隊，直至剩下 1 支球隊（如圖 9），進而得到，求一共要進行多少場比賽可以用 16-1 來計算。這兩個問題如果沒有圖形直觀，學(xué)生很難體會到它們之間的聯(lián)系的?？梢?，幾何直觀在提示解題思路、激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識等方面，都有著十分重要的作用。

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性成為阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的樊籬，幾何直觀思維能力的培養(yǎng)是突破這道難關(guān)的利劍。通過對學(xué)生識圖和畫題能力的培養(yǎng)，借助幾何直觀聯(lián)想找到數(shù)學(xué)概念、結(jié)論背后的具體形象或模型，使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解變得簡單，從而提高學(xué)生探索、分析、思考、解決數(shù)學(xué)問題的能力。

參考文獻：

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