張?zhí)m蘭

一、教學設計

（一）教學背景

“探索規(guī)律”是人教版數(shù)學教材八年級上冊第十五章“數(shù)學活動”的內容，它是在學生學習了“用字母表示數(shù)”和“圖形的認識初步”等知識的基礎上，把“圖形”和“代數(shù)式”有機結合起來，是這兩方面內容的深化和延伸，同時也是歷年來廣東省中考試題的必考題目，因此在教學上可以獨立出來教學，在中考的復習中也是作為獨立的復習內容進行復習。

本課在深澳中學初二（1）班（中學數(shù)學“情境—問題”實驗班）和初二（2）班各上了一節(jié)，因班級的不同，所掌握知識面、知識結構的不同及是否參加情境教學實驗各不相同，所以課后效果不盡相同。

（二）教學設計

本節(jié)課采用“情境——問題”教學模式，“活動一”是讓學生觀察圖形，猜想梯形的個數(shù)與梯形的周長間的關系，并用代數(shù)式把它們表示出來，同時驗證所列代數(shù)式的正確性。

“活動二”是提供一組算式，讓學生根據(jù)算式中所提供的數(shù)字信息提出數(shù)學問題，在解答數(shù)學問題的過程中找出規(guī)律。

“活動三”是提供一個圖形數(shù)據(jù)（此數(shù)表是2011年廣東省初中畢業(yè)生學業(yè)考試的第20題，因為是初二的學生，對題目進行了小的改動），學生要對圖形數(shù)據(jù)進行觀察、猜想、分析，再根據(jù)教師的提問來發(fā)現(xiàn)問題，并解決問題。

這節(jié)課通過三個活動，以開放的課堂形式組織教學，讓學生在數(shù)學情境中提出問題，再解決問題，并學會去運用，改變了過去接受式學習方式，學生不是等待知識的傳遞，而是積極主動地參與到學習活動中，成為學習的主體，通過操作、探索、研究，逐步培養(yǎng)學生處理信息、交流合作和解決問題的能力。

二、教學過程

（一）開門見山，引出課題

小學時我們學過的常見圖形中就有梯形，今天我們利用梯形的相關知識進行數(shù)學的探索規(guī)律。（引出課題）

（二）合作交流，探索規(guī)律

活動一： 探索常見圖形的規(guī)律

師：請大家觀察圖形，下列圖形中梯形的周長隨著梯形個數(shù)的增加，會有什么樣的變化呢？（每位學生桌上都有一份梯形的實物框架、多媒體展示）

圖

師：你有什么表現(xiàn)？

生：[初二（1）]：①第一個梯形的周長是多少？

②拼成的圖形一定是平行四邊形嗎？

③可拼成哪些圖形？

生：[初二（2）]：①拼成的圖形是平行四邊形嗎？

②你這樣問是什么意思？

③可拼成哪些圖形？

師：拼出的梯形個數(shù)與梯形的周長有什么關系？

（通過多媒體展示拼出的梯形圖形，引導學生對數(shù)量關系的分析與發(fā)現(xiàn)）

學生甲：一個梯形的周長為5a，拼成兩個梯形的周長為8a，三個梯形的周長為11a，當n個梯形時，要減去（n-1）個2a，因此周長是5a×n-2a×（n-1）=（3a+2）a

學生乙：可以從5a，8a，11a，14a…這組數(shù)據(jù)的規(guī)律分析，得出是（3a+2）a

老師讓學生討論后，學生都能理解學生甲與學生乙都是正確的。然后引導學生概括“探索規(guī)律”的一般步驟：

①尋求數(shù)量關系

②用代數(shù)式表示規(guī)律

③驗證規(guī)律

多媒體出示：

（2013煙臺）將正方形圖1作如下操作：第1次：分別連接各邊中點如圖2，得到5個正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到9個正方形，以此類推，根據(jù)以上操作，若要得到2013個正方形，則需要操作的次數(shù)是（ ）

A. 502 B. 503 C. 504 D. 505

考點： 規(guī)律型； 分析： 根據(jù)正方形的個數(shù)變化得出第n次得到2013個正方形，則4n+1=2013，求出即可， 解得：n=503.

活動二：探索數(shù)學算式的規(guī)律

師：觀察下面這組算式，請你提出相關的數(shù)學問題：（多媒體展示）

算式1：15×15=1×2×100+25=225

算式2：25×25=2×3×100+25=625

算式3：35×35=3×4×100+25=1225

……

生[初二（1）班]：①它們之間有什么規(guī)律？

②它們的相同點、不同點分別是什么？

③如果是45×45，結果是2025，所有式子的結果后面兩位數(shù)是25？

④式子的結果應該可以用某一個含字母的代數(shù)式表示。

生：[初二（2）]：①它們之間有什么規(guī)律？

②老師這樣寫是什么意思？

③它們的相同點、不同點分別是什么？

在教師的引導分析下，解決問題：“它們的相同點、不同點是什么？”及問題：“所有式子的結果后面兩位數(shù)是25？”

再根據(jù)“探索規(guī)律”的一般步驟可找到這組算式的規(guī)律：

（10a+5）×（10a+5）=100a（a+1）+25

多媒體出示：

（2015廣東中考）觀察下列一組數(shù)： 、 、 、 、 …根據(jù)該組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第10個數(shù)是.

教師在學生得出結果后，可引導學生根據(jù)“探索規(guī)律”的一般步驟可找到這組算式的規(guī)律：n/2n+1.

活動三：探索圖形數(shù)據(jù)的規(guī)律

（多媒體展示）如下數(shù)表是由從1 開始的連續(xù)自然數(shù)組成，隨著行數(shù)的增加數(shù)據(jù)會有何變化？第n行的數(shù)有哪些？ 能用代數(shù)式表示出來嗎？

從上面的數(shù)表中，你觀察到了什么？

生甲：我發(fā)現(xiàn)第二行數(shù)比第一行數(shù)左右多一個數(shù)。

生乙：應該是第二行數(shù)比第一行數(shù)共多兩個數(shù)。

生丙：每個數(shù)之間相差是1。

（兩個班的學生都能找出以上三個規(guī)律）

生：[初二（2）]：①第七行數(shù)是哪些？

②隨著行數(shù)的增加，每一行數(shù)比前一行數(shù)應該多前后兩個數(shù)。

③每行數(shù)之間的相同點、不同點分別是什么？

根據(jù)學生提出的問題，教師引導學生逐個解決：

（1）表中第8行的最后一個數(shù)是 64，它是自然數(shù) 8的平方，第8行共有15個數(shù)；

（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個數(shù)是n2-2n+2 ，最后一個數(shù)是n2，第n行共 （2n-1） 個數(shù)；

師：你能發(fā)現(xiàn)其中還有哪些規(guī)律嗎？（下課鈴聲響）請同學們課后思考。

（3）求第n行各數(shù)之和 ×（2n-1）=（n2-n+1）（2n-1）.

小結：

其實在我們的生活中存在著很多的數(shù)學信息，今天我們就利用數(shù)學知識，發(fā)現(xiàn)了很多身邊事物所存在的數(shù)學規(guī)律，希望同學們做生活的有心人，繼續(xù)去探索發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學規(guī)律。

作業(yè)：

觀察生活，編一道探索數(shù)學規(guī)律的題目。

三、教學反思

（一）體現(xiàn)中小學教學“情境—問題”教學特點，凸顯數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基本規(guī)律

中小學數(shù)學“情境—問題”教學模式的基本思想是讓學生通過對數(shù)學情境的觀察與分析，形成并提出自己的數(shù)學問題，通過獨立思考與合作交流來解決問題，進而把獲得的知識與方法，應用到解決新的問題中去。通過這種教學過程來激發(fā)學生的內在學習動機，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新意識與能力。在這節(jié)課中，通過三種不同背景的情境問題（梯形的周長問題、數(shù)學算式和圖形數(shù)據(jù)問題）組織學生進行實驗、觀察、大膽提出問題，并且積極探索規(guī)律（猜想）培養(yǎng)學生合情推理（證實與反駁）的能力。這三個問題情境適合學生的生活背景和數(shù)學現(xiàn)實，而且是相當開放的，并有豐富的數(shù)學探索內涵。這樣的數(shù)學情境，為開放式的數(shù)學探索提供了基本平臺和豐富的資源。此外，課的最后，讓學生去編制問題，帶著問題離開課堂，將數(shù)學學習延伸到課外。整堂課展示了實驗，觀察，猜想，驗證等數(shù)學活動過程，體現(xiàn)了數(shù)學新課的教學理念。

（二）數(shù)學探索的開放性與教師的適時介入

在教學過程中，教師通過提出開放性問題來引導學生積極思考，多角度分析，提出豐富的問題，這是十分必要的。但是，如果學生的思維過于發(fā)散，有時甚至偏離數(shù)學教學的目標，這樣便會影響教學的有效組織以及有價值的數(shù)學問題的探究。所以，教師的適當介入不僅不會影響學生的自主學習也是進行探究式學習的所必須的，比如，在課的一開始，當教師布置了第一個探究活動，教師問學生“你有什么發(fā)現(xiàn)”，于是一位學生說了“第一個梯形的周長是5a”，另一個學生說了“拼成的圖形是平行四邊形”。教師進一步提問“隨著拼出的梯形個數(shù)的增加，拼出的梯形個數(shù)與梯形的周長有什么關系”進一步，通過多媒體演示梯形個數(shù)增加的動態(tài)過程，以引導學生對數(shù)量關系的分析與發(fā)現(xiàn)。應該說，教師的這種適時介入與輔助是必須的。

（三）關注“數(shù)學化”過程

在初中階段，學生還處在具體運算向符號運算發(fā)展的過程中，讓學生體會：具體操作、形象操作、符號操作的轉化過程是符合數(shù)學學習規(guī)律的。在教學過程中，教師充分體現(xiàn)了這一規(guī)律。比如，在“用梯形的框架進行觀察”，然后，用多媒體展示隨著梯形個數(shù)的增加的直觀過程，最后，對梯形的個數(shù)與周長之間的數(shù)量關系進行探索：從具體數(shù)字的觀察分析，到一般代數(shù)表達式的猜想與證實。這一過程體現(xiàn)數(shù)學概念形成或發(fā)現(xiàn)的基本規(guī)律。

（四）關注學生問題意識的培養(yǎng)

數(shù)學“情境—問題”的教學中，無論是引導學生探究或是教師的講授，或引導學生提出問題進行討論，都要不斷激發(fā)、喚起學生的好奇心的質疑、批判意識。尤其是關注用學生提出的問題恰當引導思考、討論與交流，以問題驅動教學，培養(yǎng)學生的問題意識，使學生在掌握適量的數(shù)學知識的同時，有提出問題與解決問題的能力。比如三個活動中，教師都設計了相應的問題，要學生在觀察的過程中進行適當?shù)奶釂?，教師再針對學生的提問，引導學生對自己的猜想進行交流、分析，最后解決問題。

此外，通過本次課的教學我感到參加中小學“情境—問題”教學實驗的班級由于受到過教學訓練，對給出的數(shù)學情境更加敏感一些，所提出的問題更加貼近數(shù)學。

參考文獻：

[1]義務教育課程標準實驗教科書，數(shù)學八年級上冊，2012.7

[2]呂傳漢、汪秉彝，中小學數(shù)學情境與提出問題教學研究，貴州人民出版社，2006.4

[3]羅增儒，中學數(shù)學課例分析研究，陜西師范大學出版社，2003.2

[4]張廣祥，數(shù)學中的問題按探究，華東師范大學出版社，2003.5