袁　笛，劉佳琦(哈爾濱商業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 哈爾濱 150028)

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矩陣反可交換的研究

袁笛，劉佳琦(哈爾濱商業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 哈爾濱 150028)

摘要：給出反可交換矩陣的一些性質(zhì)，并給出一些矩陣反可交換的充分必要條件.

關(guān)鍵詞：矩陣；反可交換；可逆矩陣

矩陣?yán)碚摬粏螁问且环N數(shù)學(xué)理論，且在醫(yī)學(xué)、工程等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用.矩陣的運(yùn)算不同于一般數(shù)的運(yùn)算.數(shù)的運(yùn)算滿足的運(yùn)算公式，矩陣運(yùn)算并非成立.在矩陣運(yùn)算中，如果AB=-BA,稱A，B為反可交換矩陣.目前的研究狀況下，對(duì)這類反可交換矩陣研究的相對(duì)較少[1-3]，所以本文基于反可交換的定義[4]，給出一些反可交換矩陣的一些性質(zhì)、定理.以豐富矩陣反可交換理論部分的相關(guān)結(jié)果.本文的矩陣均指n階實(shí)方陣.

定義1[5]：如果n階矩陣A,B滿足AB=-BA，則稱矩陣A與B反可交換.

定理1設(shè)階矩陣A與B反可交換，則：

證明：使用數(shù)學(xué)歸納法證

首先當(dāng)m=1時(shí)，有：

等式成立；

假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)等式成立，即:

下證當(dāng)m=k+1時(shí)等式也成立.

當(dāng)m=k+1時(shí)有：

(AB)k+1=(AB)k(AB)

即當(dāng)m=k+1時(shí)等式仍然成立.

綜上所述，可知定理得證.

證明 由于矩陣A與B反可交換，所以有AB=-BA成立

(AB)m=(AB)(AB)…(AB)(m個(gè)AB)

=(-1)m-1A2B(AB)…(AB)B(m-2個(gè)AB)

=(-1)m-1+m-2A3B(AB)…(AB)B2(m-3個(gè)AB)

……

=(-1)(m-1)+(m-2)+…+AmBm

定理得證.

推論1[1]設(shè)階矩陣A與B反可交換，

n=1,2,…

證明 當(dāng)m=4n-2,m=4n-1時(shí)，

當(dāng)m=4n,m=4n+1時(shí)，

所以有：

n=1,2,……

從而有：

n=1,2,…

故推論得證.

定理3設(shè)n階矩陣A與B反可交換，若A與B均為冪零矩陣，則AB,A+B均為冪零矩陣.[6]

證明 已知n階矩陣A與B反可交換，則AB=-BA顯然成立.若A與B均為冪零矩陣，即?m,n∈N使得Am=0,Bn=0 可以得知(AB)k=(-1)k(k-1)/2AkBk=0,所以當(dāng)m≤k或n≤k或者兩者同時(shí)成立時(shí)，(AB)k=0成立，故AB是冪零矩陣.

由于A,B反可交換，所以AB+BA=0.同時(shí)由

A2B2=AABB=A(-BA)B

=BAAB=BA(-BA)=B2A2

可知A2,B2可交換.于是有：

(A+B)2k=[(A+B)2]k

=(A2+aB+BA+B2)k

=(A2+B2)k

故由Am=0,Bn=0，當(dāng)mn≤k時(shí)，(A+B)2k=0，故A+B也是冪零矩陣，定理得證.

定理4若n階矩陣A與B反可交換，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，|A|=0或者|B|=0.

證明由矩陣A與B反可交換知AB=-BA，

|AB|=|A||B|，

|AB|=(-1)n|BA|=(-1)n|B||A|.

故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有|A||B|=-|B||A|，即|A|=0或者|B|=0，定理得證.

定理5設(shè)矩陣A可逆，若矩陣A與B反可交換等價(jià)于矩陣A*與B反可交換.

同理可證充分性，故定理得證.

下例表明：若矩陣A與B反可交換，則未必有矩陣A*與B反可交換.

例1 設(shè)

下例表明：設(shè)A與B為同階矩陣，若A*與B反可交換，則未必有A與B反可交換.

例2 設(shè)

上面兩個(gè)例子說(shuō)明定理5中矩陣A可逆這個(gè)條件不能去掉.

定理6 設(shè)A,B為同階可逆矩陣，則A,B反可交換的充要條件是(AB)*=-A*B*.

證明必要性：由A,B均為可逆矩陣可以得到均為可逆AB,BA，且(BA)-1=A-1B-1.再由A,B反可交換得：

(AB)-1=(-BA)-1=-A-1B-1,

從而由

得：

所以有(AB)*=-A*B*.

故A,B反可交換.

定理7 設(shè)A,B為同階可逆矩陣，則A,B反可交換的充要條件是A*,B*反可交換.

證明 必要性：由A,B反可交換可得AB=-BA,再由A,B均可逆得A-1B-1=-B-1A-1.

所以A*B*=-B*A*，故A*,B*反可交換.

充分性：由A*,B*反可交換得A*B*=-B*A*.

即A-1B-1=-B-1A-1.

從而得：(A-1B-1)-1=(-B-1A-1)-1,

故有BA=-AB,A,B,反可交換.

不妨假設(shè)矩陣A,B為同階矩陣，顯然(AB)T=(-BA)T是A,B反可交換的充要條件，當(dāng)A,B均可逆時(shí)，(AB)-1=(-BA)-1是A,B反可交換的充要條件.下面討論(AB)*=(-BA)*是否也為矩陣A,B反可交換的充要條件.

必要性顯然成立.下面討論充分性是否成立：

例3設(shè)矩陣

則(AB)*=(-BA)*，但是矩陣A,B不是反可交換的.因此，(AB)*=(-BA)*不是矩陣A,B反可交換的充分條件.

上例中A,B均不可逆，下例表明當(dāng)矩陣A,B中有一個(gè)為可逆陣，另一個(gè)為不可逆陣時(shí)，(AB)*=(-BA)*也不是矩陣A,B反可交換的充分條件.

例4 設(shè)矩陣

則有(AB)*=(-BA)*，但是矩陣A,B不是反可交換的.

下面考慮矩陣A,B均可逆時(shí)的情形.

例5 設(shè)矩陣

這說(shuō)明當(dāng)矩陣A,B均為可逆矩陣的時(shí)候，(AB)*=(-BA)*不是矩陣A,B反可交換的充分條件，但是當(dāng)矩陣A,B均可逆且為偶數(shù)階時(shí)，(AB)*=(-BA)*是矩陣A,B反可交換的充分條件：

定理8 設(shè)A,B為同階可逆矩陣且階數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則A,B反可交換的充要條件是(AB)*=(-BA)*.

證明必要性顯然,下證充分性.

充分性：由矩陣A,B為同階可逆矩陣，并且階數(shù)為偶數(shù)時(shí)有|AB|=|-BA|≠0，且有，

于是由(AB)*=(-BA)*有：

故有：

所以AB=-BA,即矩陣A,B為反可交換矩陣.

設(shè)A,B為n階矩陣，可知：

(A-B)(A+B)=A2+2AB-B2A2-2BA-B2

或(A±B)2=A2+B2等均為A,B反可交換的充要條件.下面我們考慮(AB)2=-A2B2或(AB)2=(BA)2時(shí)，矩陣A,B是否反可交換問(wèn)題.

顯然A,B反可交換時(shí)有(AB)2=-A2B2，(AB)2=(BA)2，下面例子表明它們均不是A,B反可交換的充分條件.

例6 設(shè)

則AB=B,BA=0.

從而(AB)2=B2=O=-A2B2，

(AB)2=B2=O=(-BA)2.

而AB≠-BA，故有：

(AB)2=-A2B2,(AB)2=(BA)2，

但A,B不可反交換. 顯然上述例子中矩陣A,B均不可逆.

下面考慮矩陣A,B恰有一個(gè)為可逆矩陣.

例7 設(shè)

則有：

(AB)2=-A2B2=O,(AB)2=(BA)2=O

而AB≠-BA.這表明設(shè)A,B為同階矩陣且恰有一個(gè)為可逆矩陣，則(AB)2=-A2B2不是A,B反可交換的充分條件，(AB)2=(BA)2也不是A,B反可交換的充分條件.

當(dāng)A,B為同階可逆矩陣時(shí)，若(AB)2=-A2B2，則有A-1(AB)2B-1=A-1(-A2B2)B-1,從而有BA=-AB，于是這時(shí)(AB)2=-A2B2是A,B反可交換的充分條件，于是有：

定理9 設(shè)A,B為同階可逆矩陣，則反A,B可交換的充分必要條件是(AB)2=-A2B2.

例8 設(shè)

則A,B均可逆，且有：

(AB)2=(BA)2=-E，

AB=-BA，A,B反可交換.

例9 設(shè)

則A,B均可逆，且有(AB)2=(BA)2，但是AB=BA≠-BA，所以A,B不反可交換.

上例表明，當(dāng)A,B均可逆時(shí)，(AB)2=(BA)2也不是A,B反可交換的充分條件.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡曉靜. 矩陣反可交換的條件及性質(zhì)[J]. 高師理科學(xué)刊, 2012, 32(4): 22-24.

[2]戴立輝, 顏七笙, 劉龍章. 矩陣可交換的條件及可交換矩陣的性質(zhì)[J]. 華東地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào), 2002, 04: 353-355.

[3]唐建國(guó). 與A可換矩陣空間的維數(shù)[J]. 河北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 1997, 21(1): 23-25.

[4]張禾瑞, 郝邴新. 高等代數(shù)[M].3版.北京: 高等教育出版社, 1983.

[5]唐建國(guó), 楊振新. 與A反可換矩陣空間的維數(shù)[J]. 甘肅科學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 18 (1): 14-16.

Research on skew commutative matrix

YUAN Di, LIU Jia-qi

(School of Basic Science, Harbin University of Commerce, Harbin 150028, China)

Abstract：Some nature of the skew commutative matrix was given in this paper. And some necessary and sufficient conditions about some skew commutative matrixes were given.

Key words：matrix; skew commutative; invertible matrix

中圖分類號(hào)：O211

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-0946(2016)01-0091-04

作者簡(jiǎn)介：袁笛(1991-)，男，碩士，研究方向：微分方程反問(wèn)題.

收稿日期：2015-06-14.