唐文虎

[摘 要]本文指出了流行國(guó)內(nèi)的教科書中有關(guān)球體直觀圖畫法中的錯(cuò)誤并提出了球體直觀圖的正確畫法以及簡(jiǎn)捷畫法，同時(shí)給出了球直觀圖北極點(diǎn)位置定理的證明。

[關(guān)鍵詞]T投影方向 軸向伸縮系數(shù) 北極點(diǎn)位置 尺規(guī)畫法 簡(jiǎn)捷畫法

中圖分類號(hào)：TP391.41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-914X（2016）05-0347-02

現(xiàn)狀：目前流行國(guó)內(nèi)的教科書中有關(guān)球體直觀圖的畫法，普遍存在著嚴(yán)重的失誤，最為典型的如圖1[1]、圖2[2]所示. 此類圖的長(zhǎng)期存在，其背后有著深刻的內(nèi)在原因.

球體是指以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，誠(chéng)然為了圖形具有立體感，把赤道平面畫成橢圓可以理解. 但正是這一點(diǎn)被無(wú)限制的重復(fù)，成為以后球直觀圖畫法的嚴(yán)重障礙.

其實(shí)，按球體的定義，畫出來(lái)的球體直觀圖赤道平面看上去應(yīng)該是一條直線段，北極點(diǎn)在最上面，為了增加立體感，把赤道平面畫成橢圓時(shí)，北極點(diǎn)應(yīng)當(dāng)有一個(gè)下移量. 由于當(dāng)時(shí)下移量難以確定，就造成了目前的局面，就當(dāng)時(shí)來(lái)說(shuō)，問題并不顯得如何嚴(yán)重，但發(fā)展到后來(lái)，居然成為畫球直觀圖的嚴(yán)重障礙.

問題出在哪兒？

1，北極點(diǎn)的位置不正確.其實(shí)，北極點(diǎn)的位置與赤道橢圓的形狀密切相關(guān)，它隨著赤道橢圓離心率的變小而下移，如圖3所示.

2， 軸測(cè)圖關(guān)于“投影線與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行”的規(guī)定，約束了我們的想象力，排除了原始的直接觀察的方向.

為了說(shuō)明問題，我們先回顧一下一些基本概念.

直 觀：由漢字詞義，直觀，就是直接觀察物體對(duì)象.

直觀圖：在二維平面上，畫出的具有立體感的圖形，叫直觀圖.

斜二軸測(cè)圖的形成：選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)男逼叫型队胺较?，可以得到斜二測(cè)直觀圖，. 可以看到，我們得到的斜二測(cè)直觀圖實(shí)際上是一個(gè)物體的斜影，因此，斜二測(cè)直觀圖不是直觀的直觀圖.

軸測(cè)投影是平行投影的一種.將物體放在“三個(gè)座標(biāo)軸和投影線都不平行的”位置，使它的三個(gè)坐標(biāo)面在一個(gè)投影上都能看到，從而具有立體感，稱為“軸測(cè)投影”.這樣繪出的圖形，稱為“軸測(cè)圖”.軸測(cè)投影中投射線與投影面垂直的稱為“正軸測(cè)投影”.

假定我們的視線是平行的，并且視線的方向順著平行投影的方向，這時(shí)我們看到的投影實(shí)際上是幾何體的正投影. 常見的正等測(cè)直觀圖就是這種正投影，這種直觀圖就是直觀的直觀圖. 但是，由于軸測(cè)投影要求投影線與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行，這種規(guī)定，約束了我們的想象力，使得最原始的直接觀察的方向被排除在外.

其實(shí)，有一種平行投影方向雖然不滿足軸測(cè)投影方向的要求，卻是最原始的直觀方向：

T平行投影方向：設(shè)平行投影線與x軸、y軸、z軸的夾角依次為， 90°， 90°-a（a為銳角），則稱這種投影方向?yàn)門平行投影方向.

軸向伸縮系數(shù)：軸測(cè)軸的單位長(zhǎng)度與相應(yīng)直角坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度的比值，叫做軸向伸縮系數(shù). 圖8～圖11展示了軸向伸縮系數(shù)的意義.

不難驗(yàn)證下列結(jié)論.

結(jié)論一：直觀圖上軸測(cè)軸方向的線段長(zhǎng)度（作直觀圖時(shí)量取的長(zhǎng)度）與實(shí)際長(zhǎng)度的比值叫做軸向伸縮系數(shù).

結(jié)論二：在正投影時(shí)，直觀圖上軸測(cè)軸方向的線段長(zhǎng)度也就是我們直接看到的、投影面上的線段長(zhǎng)度. 所以x軸的軸向伸縮系數(shù)=AC/AB=sin？.（AC就是AB在平行投影線法平面上的射影，而AB正是在相應(yīng)直角坐標(biāo)系中占有的計(jì)算長(zhǎng)度）

結(jié)論三：在T平行投影方向下，這三個(gè)座標(biāo)軸的伸縮系數(shù)依次為sin、 sin90°、 sin（90°-a），即sin，1，cos.

從軸向伸縮系數(shù)的定義及其得出的結(jié)論可以看出，畫直觀圖時(shí)軸向的線段長(zhǎng)度可由軸向伸縮系數(shù)確定. 在正投影時(shí)，這個(gè)長(zhǎng)度既是畫圖的線段長(zhǎng)度，也是眼睛看到的（假設(shè)視線與平行投影方向一致）、因而也是直觀的、在投影面上的那一部分影像. 因此，幾何體在視線法平面上的射影就是幾何體的直觀圖.

球體直觀圖北極點(diǎn)的位置定理

在T平行投影方向下，設(shè)球的半徑為1，以球心O為圓心，赤道橢圓的半短軸為半徑畫圓，交赤道橢圓長(zhǎng)軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交球輪廓圓于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作AO的平行線，與球體南北極所在的直線得到交點(diǎn)C，點(diǎn)C就是球體直觀圖的北極點(diǎn)，如圖9所示.

用同樣的方法，可以找到南極點(diǎn)的位置.

證明：

在T平行投影方向下，圖10中的橢圓，在xOy平面中是一個(gè)圓. 所以在二維平面上畫球的直觀圖時(shí)，赤道橢圓的短、長(zhǎng)軸之比，就是x軸的軸向伸縮系數(shù)（見圖11）.

下設(shè)球半徑為1， 平行投影線與x軸、y軸、z軸的夾角依次為a， 90°， 90°-a（為銳角）.

如圖12，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫圓交ON于點(diǎn)A1， 過點(diǎn)A1作ON的垂線交球輪廓大圓于點(diǎn)B1，過點(diǎn)B1作ON的平行線交z軸于點(diǎn)C.

由結(jié)論三，cos？就是z軸的軸向伸縮系數(shù)，因此，點(diǎn)C就是北極點(diǎn). 證畢.

球體直觀圖的尺規(guī)作法

已知橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，可由同心圓法或四心法作出橢圓.因此，在以下的作法中，一旦橢圓的長(zhǎng)軸和短軸被作出，就認(rèn)為該橢圓能用尺規(guī)作出.

一、根據(jù)赤道橢圓，確定北極點(diǎn)N以及南極點(diǎn)，如圖13所示.

二、作過極點(diǎn)的經(jīng)線大圓

1，過球心作任意經(jīng)線大圓的長(zhǎng)軸AB，見圖14；

2，經(jīng)線過南北極，逆向操作找出經(jīng)線橢圓半短軸長(zhǎng)度，如圖15（1），過北極點(diǎn)N作長(zhǎng)軸AB的垂線交球輪廓于點(diǎn)C；連接OC，過北極點(diǎn)N作長(zhǎng)軸的平行線交OC于點(diǎn)D，OD就是所求橢圓的半短軸，見圖15（2）.

確定了橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，便可用尺規(guī)作出該橢圓，如圖16.

類似地，可以作出過兩極點(diǎn)的其它經(jīng)線大圓，效果如圖17所示.

四、作過極點(diǎn)的緯線定位大圓

南北極之間的距離就是緯線定位大圓的短軸，故可畫出緯線定位大圓，如圖18.

五、作平行于赤道大圓的緯線小圓

平行于赤道大圓的緯線小圓與赤道大圓具有相同的離心率，所以緯線小圓與赤道大圓的短軸、長(zhǎng)軸之比相等. 根據(jù)緯線定位大圓確定緯線小圓的長(zhǎng)軸PQ，再根據(jù)比例作圖作出緯線小圓的短軸. 求出了緯線小圓的長(zhǎng)軸和短軸，可由同心圓法或四心畫法畫出緯線小圓.

結(jié)束語(yǔ)

支撐球體直觀圖尺規(guī)畫法的核心依據(jù)是“T平行投影方向”和“球體直觀圖北極點(diǎn)的位置定理”. T平行投影方向擺脫了傳統(tǒng)軸測(cè)圖思維的束搏，回歸到直接觀察的原始方向，從而為找到北極點(diǎn)位置掃清了障礙.

后記

上面雖然從理論上闡述了球體直觀圖尺規(guī)畫法的可行性，但實(shí)際操作很麻煩. 根據(jù)上述原理，我們可以設(shè)計(jì)兩塊模板，達(dá)到非常方便地畫出球體直觀圖的目的. 該模板可提供常用的若干種赤道橢圓，由“球體直觀圖北極點(diǎn)的位置定理”，找到南、北極點(diǎn)，然后用經(jīng)線模板作出需要的經(jīng)線大圓；另外，作出緯線定位大圓后，再用緯線模板畫出需要的緯線小圓. 使用在“球體直觀圖的尺規(guī)劃法”原理基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的球體直觀圖模板畫出的球體直觀圖效果. 我們希望它能在修正教材相關(guān)內(nèi)容中起到些許作用.