鄭作偉，江衛(wèi)良，郝后堂，顧志飛

(國(guó)電南瑞科技股份有限公司，江蘇南京211106)

頻率偏移時(shí)基波幅值計(jì)算誤差對(duì)保護(hù)的影響及其改進(jìn)算法

鄭作偉，江衛(wèi)良，郝后堂，顧志飛

(國(guó)電南瑞科技股份有限公司，江蘇南京211106)

分析了頻率偏移時(shí)傅里葉算法計(jì)算的基波幅值的誤差；分析了該誤差對(duì)使用基波幅值作為動(dòng)作量的過(guò)量保護(hù)和欠量保護(hù)的影響。通過(guò)分析得出傅里葉算法計(jì)算的基波幅值是頻率為模擬量頻率兩倍的周期函數(shù)，在此基礎(chǔ)上提出了一種頻率偏移時(shí)基波幅值的改進(jìn)算法，該算法通過(guò)把傅里葉算法計(jì)算出來(lái)的基波幅值在一個(gè)周期內(nèi)求平均值再乘以一個(gè)與頻率相關(guān)的系數(shù)來(lái)求取實(shí)際的基波幅值。MATLAB仿真和裝置實(shí)測(cè)結(jié)果顯示，所提出的改進(jìn)算法計(jì)算的基波幅值誤差很小，能夠滿足繼電保護(hù)裝置對(duì)模擬量精度的要求。

頻率偏移；傅里葉算法；基波幅值；MATLAB

0 引言

在繼電保護(hù)裝置中大部分保護(hù)都是使用模擬量的基波幅值作為保護(hù)的動(dòng)作量[1]。如過(guò)流保護(hù)使用相電流的基波幅值作為動(dòng)作量，差動(dòng)保護(hù)使用差電流的基波幅值作為動(dòng)作量。在繼電保護(hù)裝置中，基波幅值一般使用傅里葉算法進(jìn)行計(jì)算。而在進(jìn)行傅里葉計(jì)算時(shí)一般選取系統(tǒng)的額定頻率作為基波頻率。當(dāng)模擬量的頻率為額定頻率時(shí)，使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值是正確的。但是在很多工況下，例如系統(tǒng)震蕩、過(guò)激磁和發(fā)電機(jī)起停機(jī)等過(guò)程中模擬量的頻率將偏移額定頻率，這時(shí)模擬量基波幅值的計(jì)算將有一定的偏差。為了提高在頻率偏移時(shí)模擬量基波幅值的測(cè)量精度，很多文獻(xiàn)在傅里葉算法的基礎(chǔ)上提出了一些改進(jìn)算法[2-9]。這些文獻(xiàn)中的改進(jìn)算法都顯著提高了基波幅值的測(cè)量精度，例如文獻(xiàn)[7]中給出了非同步采樣時(shí)DFT相角計(jì)算結(jié)果的精確誤差表達(dá)式，基于該誤差公式得到精確的幅值計(jì)算公式，具有方法簡(jiǎn)單、計(jì)算精度高等特點(diǎn)，但是計(jì)算精度在一定程度上受到相角測(cè)量精度的影響。文獻(xiàn)[8]中提出了一種以固定高速頻率采樣后重新同步采樣來(lái)計(jì)算有效值的方法，該方法具有較好的精度和速度，但是高速采樣對(duì)硬件的要求相對(duì)較高。文獻(xiàn)[9]中通過(guò)跟蹤電網(wǎng)頻率，根據(jù)頻率動(dòng)態(tài)調(diào)整采樣間隔的方法來(lái)提高模擬量幅值的計(jì)算精度，這種方法在微機(jī)繼電保護(hù)裝置中廣泛應(yīng)用于頻率偏移比較小的場(chǎng)合，但是由于頻率跟蹤算法對(duì)微機(jī)繼電保護(hù)裝置計(jì)時(shí)等模塊可能有一定的影響，因此一般不用在頻率偏移比較大的場(chǎng)合。本文分析了各個(gè)頻率范圍內(nèi)傅里葉算法計(jì)算的基波幅值的誤差及其對(duì)使用基波幅值作為動(dòng)作量的過(guò)量保護(hù)和欠量保護(hù)動(dòng)作行為的影響。在此分析的基礎(chǔ)上本文提出了一種頻率偏移時(shí)基波幅值的改進(jìn)算法。MATLAB仿真和裝置實(shí)測(cè)結(jié)果顯示，本文提出的改進(jìn)算法計(jì)算的基波幅值誤差很小，能夠滿足繼電保護(hù)的要求。使用本文改進(jìn)算法作為基波幅值主要算法的發(fā)電機(jī)起停機(jī)保護(hù)已經(jīng)應(yīng)用于實(shí)際工程。

1 算法推導(dǎo)

1.1 傅里葉算法計(jì)算的幅值

目前繼電保護(hù)中對(duì)模擬量x(t)基波幅值的計(jì)算一般使用傅里葉算法，首先使用式(1)計(jì)算基波的實(shí)虛部，然后再使用計(jì)算出來(lái)的實(shí)虛部計(jì)算基波幅值。

(1)

式中：f0為傅里葉算法選取的基波頻率；t為時(shí)間。設(shè)模擬量x(t)的表達(dá)式為：

x(t)=Msin(2πft+2πfa)

(2)

式中：M為模擬量的基波幅值；2πfa為模擬量x(t)的初相角；f≠f0為模擬量的實(shí)際頻率，把式(2)代入式(1)，然后對(duì)式(1)求幅值可以得到模擬量x(t)基波幅值的表達(dá)式為：

(3)

其中：

(4)

傅里葉算法計(jì)算的基波幅值與實(shí)際的基波幅值的比值為：

(5)

從式(5)可以看出，傅里葉算法計(jì)算的基波幅值與實(shí)際的基波幅值相差了一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的系數(shù)Ab(f,t)。因此當(dāng)模擬量的頻率偏移傅里葉算法選取的基波頻率時(shí)，使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值將與實(shí)際不符。

1.2 基波幅值對(duì)過(guò)量和欠量保護(hù)的影響

對(duì)于式(5)，如果：f>f0，那么：

(6)

如果：f

(7)

綜上，對(duì)于f≠f0的信號(hào)，傅里葉算法計(jì)算的基波幅值與實(shí)際基波幅值比值的最大值為：

max(Ab(f,t))=kmax(f,f0)

(8)

同理，傅里葉算法計(jì)算的基波幅值與實(shí)際基波幅值比值的最小值為：

min(Ab(f,t))=kmin(f,f0)

(9)

我國(guó)電力系統(tǒng)的額定頻率為50 Hz，因此f0=50。在(0～100)Hz的頻率范圍內(nèi)，以0.01 Hz為間隔對(duì)比值的最大值和最小值進(jìn)行離散化求解。對(duì)求解的結(jié)果分析如表1所示。

表1 各頻率范圍內(nèi)基波幅值比值最大值和最小值的范圍

從表(1)中可以看出，當(dāng)頻率落入(46.11～54.10)Hz這個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值的最大值和最小值都落在(0.95～1.05)倍實(shí)際基波幅值之間，計(jì)算誤差在5%以內(nèi)。繼電保護(hù)對(duì)保護(hù)動(dòng)作量相對(duì)誤差的要求一般是5%，因此，在這個(gè)頻率范圍內(nèi)，基波幅值的計(jì)算誤差對(duì)過(guò)量保護(hù)和欠量保護(hù)不會(huì)造成太大的影響。

當(dāng)頻率落入(00.00～30.24)Hz和(66.37～99.99)Hz這兩個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值的最大值和最小值都落在0.95倍實(shí)際基波幅值以下，特別是最小值落在0.715 6倍實(shí)際基波幅值以下。如果實(shí)際的基波幅值與保護(hù)定值一樣，由于計(jì)算的基波幅值較小過(guò)量保護(hù)將拒動(dòng)，而欠量保護(hù)將誤動(dòng)。

當(dāng)頻率落入(30.25～46.10)Hz和(54.11～66.36)Hz這兩個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值的最大值與實(shí)際基波幅值的誤差在5%以內(nèi)，而最小值比實(shí)際基波幅值小5%以上，最小的僅達(dá)到0.574 8倍實(shí)際基波幅值。在實(shí)際的基波幅值與保護(hù)定值一樣的前提下，如果保護(hù)整定的延時(shí)較小，那么對(duì)于過(guò)量保護(hù)當(dāng)基波幅值在最大值附近達(dá)到整定時(shí)間時(shí)保護(hù)才有可能動(dòng)作，對(duì)于欠量保護(hù)當(dāng)基波幅值在最小值附近達(dá)到整定時(shí)間時(shí)保護(hù)將誤動(dòng)。如果保護(hù)整定的延時(shí)較長(zhǎng)，過(guò)量保護(hù)和欠量保護(hù)將有可能處于交替的啟動(dòng)和返回狀態(tài)。

文獻(xiàn)[10]指出，電力系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)允許的頻率偏移為(±0.2～±0.5)Hz，因此在正常運(yùn)行時(shí)頻率都能夠落在(46.11～54.10)Hz這個(gè)范圍內(nèi)，此時(shí)使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值對(duì)過(guò)量保護(hù)和欠量保護(hù)不會(huì)造成太大的影響。在繼電保護(hù)裝置實(shí)際處理中，當(dāng)頻率偏移50 Hz不多時(shí)(例如在(45～55)Hz范圍內(nèi))一般使用頻率跟蹤算法來(lái)提高模擬量基波幅值的計(jì)算精度[9]，但是由于頻率跟蹤算法對(duì)繼電保護(hù)裝置計(jì)時(shí)等模塊可能有一定的影響，因此一般不用在頻率偏移額定頻率比較多的情況。對(duì)于頻率偏移額定頻率較多的情況(例如發(fā)電機(jī)起停機(jī)過(guò)程)下需要投入的過(guò)量保護(hù)或者欠量保護(hù)來(lái)說(shuō)，需要探討一種能夠準(zhǔn)確反映實(shí)際基波幅值的計(jì)算方法。

1.3 基波幅值的改進(jìn)算法

A(f,t)和Ab(f,t) 都是周期函數(shù)，推導(dǎo)如下：

(10)

同理有：

(11)

即：對(duì)于頻率為f的模擬量，使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值以及計(jì)算的基波幅值與實(shí)際基波幅值的比值都是頻率為2f的周期信號(hào)，其頻率為模擬量頻率的兩倍。

對(duì)于周期信號(hào)，任何起點(diǎn)開始的一個(gè)周期的平均值是恒定不變的。設(shè)A(f,t)和Ab(f,t)在(t-1/2f,t)這個(gè)周期內(nèi)的平均值分別為Ae(f,t)和Abe(f,t)，可以證明Ae(f,t)=MAbe(f,t)，從而得到實(shí)際基波幅值的計(jì)算公式為：

(12)

基于此特征，可以使用以下步驟計(jì)算模擬量的基波幅值：

Step1.測(cè)量模擬量的頻率f，計(jì)算其基波幅值A(chǔ)(f,t)在(t-1/2f,t)這個(gè)周期內(nèi)的平均值A(chǔ)e(f,t)。

Step2.計(jì)算比值A(chǔ)b(f,t)在(t-1/2f,t)這個(gè)周期內(nèi)的平均值A(chǔ)be(f,t)。

Step3.使用式(12)計(jì)算模擬量的實(shí)際基波幅值。

使用傅里葉算法計(jì)算基波幅值需要的時(shí)間為1/f0,計(jì)算模擬量在其基波幅值一個(gè)周期內(nèi)的平均值需要的時(shí)間為1/2f，因此使用本文改進(jìn)算法計(jì)算基波幅值的時(shí)間窗為1/f0+1/2f。

在微機(jī)繼電保護(hù)裝置中，數(shù)據(jù)采集和處理都是離散的，上述的各個(gè)計(jì)算過(guò)程在繼電保護(hù)裝置中都使用離散的方法進(jìn)行處理。因此繼電保護(hù)裝置中對(duì)模擬量基波幅值的計(jì)算步驟如下：

Step1.在需要計(jì)算的頻率范圍內(nèi)對(duì)頻率進(jìn)行離散化，事先求取各個(gè)離散頻率處的Abe(f)(對(duì)于固定的f，Abe(f,t)是一個(gè)固定值，記為Abe(f))的倒數(shù)并存在一個(gè)數(shù)據(jù)表格里面。

Step2.使用離散傅里葉變換實(shí)時(shí)計(jì)算模擬量的基波幅值A(chǔ)(f,n) (n為各個(gè)采樣點(diǎn)序號(hào))。

Step3.使用測(cè)頻算法測(cè)量模擬量的頻率f。

Step4.求取A(f,n)在當(dāng)前點(diǎn)往前1/2f時(shí)間內(nèi)的平均值A(chǔ)e(f,n)。

Step5.根據(jù)頻率f在Step1計(jì)算出來(lái)的表格中查詢對(duì)應(yīng)的Abe(f,n) (此時(shí)的f可能是變化的，Abe(f)在不同采樣點(diǎn)可能不是一個(gè)固定值，采樣點(diǎn)n的Abe(f)記為Abe(f,n))的倒數(shù)。

Step6.使用式(12)求取模擬量的實(shí)際基波幅值。

2 仿真分析

使用MATLAB對(duì)本文中的改進(jìn)算法進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真時(shí)對(duì)模擬量的采樣頻率為每秒2 000點(diǎn)，頻率測(cè)量使用文獻(xiàn)[11]中的測(cè)頻算法。

2.1 頻率不變時(shí)的仿真結(jié)果

表2 模擬理想波形時(shí)幅值的計(jì)算誤差

表3 模擬實(shí)際波形時(shí)幅值的計(jì)算誤差

從表2和表3可以看出，使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值的誤差非常大；當(dāng)模擬量為理想波形時(shí)，使用本文改進(jìn)算法計(jì)算的基波幅值精度非常高，在所仿真的幾個(gè)頻率內(nèi)，最大誤差小于0.3%，驗(yàn)證了本文算法的正確性；當(dāng)模擬量模擬實(shí)際波形時(shí)，使用本文改進(jìn)算法計(jì)算的基波幅值在所仿真的幾個(gè)頻率內(nèi)，平均誤差最大的小于0.6%，最大誤差也只有2.41%，能夠滿足繼電保護(hù)對(duì)模擬量精度5%誤差的要求。

2.2 頻率變化時(shí)的仿真結(jié)果

圖1 頻率變化時(shí)幅值的仿真結(jié)果

在10～90 Hz這個(gè)范圍內(nèi)使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值的最大相對(duì)誤差Errmax1以及平均相對(duì)誤差Errmean1，使用本文改進(jìn)算法計(jì)算的基波幅值的最大相對(duì)誤差Errmax2以及平均相對(duì)誤差Errmean2如表4所示。

表4 頻率變化時(shí)幅值的計(jì)算誤差

從圖1和表4可以看出，當(dāng)頻率在10～90 Hz這個(gè)頻率范圍緩慢變化時(shí)，使用傅里葉算法計(jì)算的基波幅值的最大誤差達(dá)到92.28%，平均誤差也有28.64%，誤差非常大。使用改進(jìn)算法計(jì)算的基波幅值的最大誤差僅有3.97%，平均誤差僅有0.23%。說(shuō)明在頻率緩慢變化時(shí)改進(jìn)算法的計(jì)算精度依然很高，能夠滿足繼電保護(hù)對(duì)模擬量精度5%誤差的要求。

3 裝置實(shí)測(cè)分析

本文的改進(jìn)算法已經(jīng)在發(fā)變組保護(hù)裝置中用于發(fā)電機(jī)起停機(jī)保護(hù)幅值的計(jì)算，保護(hù)裝置對(duì)模擬量的采樣頻率為每秒2000點(diǎn)，頻率測(cè)量使用文獻(xiàn)[11]中的測(cè)頻算法。由于裝置界面上顯示的模擬量幅值刷新速度較慢，為便于分析，裝置實(shí)測(cè)時(shí)加入了調(diào)試程序，把傅里葉算法和改進(jìn)算法計(jì)算出來(lái)的基波幅值都寫入錄波文件，通過(guò)錄波文件可以分析每個(gè)采樣點(diǎn)得到的基波幅值。

表5 裝置實(shí)測(cè)時(shí)幅值的計(jì)算誤差

從表5可以看出，裝置實(shí)測(cè)結(jié)果與仿真分析的結(jié)果一致，使用本文改進(jìn)算法計(jì)算的幅值精度有了顯著的改善，計(jì)算誤差最大值僅有0.96%，能夠滿足繼電保護(hù)對(duì)模擬量精度5%誤差的要求。

4 結(jié)論

本文分析了傅里葉算法選取的基波頻率與需要計(jì)算的模擬量的基波頻率不一致時(shí)，傅里葉算法計(jì)算的基波幅值對(duì)使用基波幅值作為動(dòng)作量的過(guò)量保護(hù)和欠量保護(hù)的影響，提出了一種基波幅值的改進(jìn)算法，該改進(jìn)算法在頻率偏移時(shí)能夠正確計(jì)算模擬量的基波幅值，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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Effects of the Fundamental Amplitude’s Calculational Errors when Frequency Offset on Protections and Its Improved Algorithm

ZHENG Zuowei，JIANG Weiliang，HAO Houtang，GU Zhifei

(NARI Technology Development Co., Ltd.,Nanjing 211106,China)

In this paper, analyses of the fundamental amplitude errors calculated by DFT when frequency offsets and effects of the errors on over protections and less protections which use the fundamental amplitude as action values are conducted. The facts that fundamental amplitude calculated by DFT is a periodic function and its period is twice of the input signal can be found. Hence an improved algorithm to calculate the fundamental amplitude when frequency offsets is putted forward based on the above facts, which calculates the fundamental amplitude by the product of the average value of the fundamental amplitudes calculated by DFT in one cycle and a coefficient related to the frequency. MATLAB simulation and test on practical device shows that, the errors of fundamental amplitude calculated by the improved algorithm when frequency offsets are very small, thus the errors can meet the requirements of the analog accuracy for power relay equipments.

frequency offset; FT; fundamental amplitude; MATLAB

2015-12-21。

鄭作偉(1984-)，男，工程師，主要研究方向?yàn)槲C(jī)保護(hù)和變電站綜合自動(dòng)化，E-mail：zhengzuoweiwork@163.com。

TM77

A

10.3969/j.issn.1672-0792.2016.03.004