曹雪琴 胡思苗 馬 婧

（重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院 重慶 400074）

雙時(shí)滯影響下的橋梁減震半主動(dòng)控制系統(tǒng)研究

曹雪琴 胡思苗 馬 婧

（重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院 重慶 400074）

迄今為止，橋梁減震裝置的發(fā)展已較為成熟，但在考慮時(shí)間滯后的復(fù)雜性上還存在一定局限。本文對(duì)連續(xù)梁橋和減震系統(tǒng)進(jìn)行建模分析，利用線性增益矩陣構(gòu)建出帶有雙時(shí)滯的橋梁結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)控制方程；探討橋梁減震半主動(dòng)控制系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性；并以某座大跨連續(xù)梁橋?yàn)楣こ虒?shí)例，進(jìn)行半主動(dòng)控制地震反應(yīng)的數(shù)值仿真分析。結(jié)果表明，在一定條件下，雙時(shí)滯補(bǔ)償可以取得較好的減震控制效果。

橋梁減震；半主動(dòng)控制；時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)；局部穩(wěn)定性；增益矩陣

0 引言

近年來(lái)諸多關(guān)乎橋梁穩(wěn)定的問(wèn)題也開(kāi)始涌現(xiàn)出來(lái)。橋梁所處的外部環(huán)境不斷變化，當(dāng)其無(wú)法適應(yīng)外部環(huán)境的動(dòng)荷載作用（如地震及風(fēng)震作用）時(shí)，我們需要將橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)成為一種能夠抵抗外部動(dòng)力荷載的被動(dòng)型結(jié)構(gòu)。同時(shí)由于減震系統(tǒng)在工作時(shí)不可避免的會(huì)在信號(hào)傳輸、計(jì)算、執(zhí)行等過(guò)程中消耗一定的時(shí)間，因此時(shí)滯對(duì)于減震中的影響不容忽視。本文主要針對(duì)帶有雙時(shí)滯因素的橋梁減震半主動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行研究。

1 控制方法概述

1.1 主動(dòng)控制

結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制是利用外部能量，在結(jié)構(gòu)受激勵(lì)振動(dòng)過(guò)程中，對(duì)其施加控制力或改變動(dòng)力特性，從而有效地減小結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。目的是使主動(dòng)控制系統(tǒng)在滿足相應(yīng)的狀態(tài)方程和各種約束條件下，選擇合適的增益矩陣與最優(yōu)的控制參數(shù)，使系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到較優(yōu)的狀態(tài)。

1.2 半主動(dòng)控制

半主動(dòng)控制屬于參數(shù)控制，其控制過(guò)程依賴于結(jié)構(gòu)反應(yīng)及外部激勵(lì)信息，通過(guò)少量能量而實(shí)時(shí)改變結(jié)構(gòu)的剛度或阻尼等參數(shù)，達(dá)到降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)的目的。與主動(dòng)控制相比，半主動(dòng)控制不需要大量外部能量的輸入，只用少量的能量調(diào)節(jié)就能夠主動(dòng)地利用結(jié)構(gòu)振動(dòng)往復(fù)相對(duì)變形或速度，從而實(shí)現(xiàn)半主動(dòng)最優(yōu)控制。

2 半主動(dòng)控制計(jì)算

2.1 連續(xù)梁橋有限元模型

本研究對(duì)象是一座全長(zhǎng)350m的3跨預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁橋，墩高68m，跨徑布置為:78m+136m+78m。主梁截面形式為單箱單室截面，支座采用盆式橡膠支座。

圖1 連續(xù)梁橋有限元模型

2.2 連續(xù)梁橋力學(xué)模型

本文以連續(xù)梁橋?yàn)榛狙芯繉?duì)象，圖 2表示的是在總體坐標(biāo)系下，具有n個(gè)自由度的縱向振動(dòng)連續(xù)梁模型，它用來(lái)模擬連續(xù)梁的動(dòng)力行為。

規(guī)定：m為質(zhì)量，k為剛度，c為阻尼參數(shù)，ρ為密度，A為橫截面面積，l為自由端長(zhǎng)度，E為彈性模量，P為比例反饋增益矩陣。

以上述梁為基準(zhǔn)，在荷載F作用下（其中F為外部因素），連續(xù)梁產(chǎn)生的總位移為f，兩者之間的關(guān)系式為：

圖2 帶有時(shí)滯τ且具有n個(gè)自由度的連續(xù)梁橋模型

同理，在n個(gè)自由度的力學(xué)模型中有：

故剛度k可表示為：

此處我們只考慮單自由度的情況，即n=1，盡量使參數(shù)m與此離散模型的固有頻率值相匹配。

減震器中的阻尼c則被視為內(nèi)部因素，其值與成比例變化：

I為n×n階矩陣。

圖3 時(shí)滯關(guān)系圖（τ1=1.2s）

圖4 時(shí)滯關(guān)系圖（τ1=1.3s ）

圖5 時(shí)滯關(guān)系圖（τ1=1.4s

圖6 時(shí)滯關(guān)系圖（τ1=1.315s）

2.3 單自由度橋梁模型穩(wěn)定性分析

前文詳細(xì)介紹了單自由度的穩(wěn)定性域的推導(dǎo)過(guò)程。由于穩(wěn)定性域構(gòu)建于系統(tǒng)的控制參數(shù)平面，而橋梁減震裝置中的機(jī)械和幾何參數(shù)則被認(rèn)為是固定的，故得到常比例增益矩陣P和時(shí)滯τ。

對(duì)于單自由度的情況，方程（7）可簡(jiǎn)化為：

這種方法可以用來(lái)計(jì)算二維曲線的穩(wěn)定性邊界，從而得知雙時(shí)滯調(diào)和振蕩器經(jīng)歷了Hopf分岔。更確切地說(shuō)，特征值是穿過(guò)虛軸的。所以當(dāng)λ=iω時(shí)，特征方程被分為實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，故有：

由于特征方程是滯函數(shù)，故特征方程的根也是時(shí)滯函數(shù)。眾所周知，當(dāng)系統(tǒng)有零特征值或者一個(gè)純虛根時(shí)，穩(wěn)定性會(huì)變化。當(dāng)時(shí)滯長(zhǎng)度變化時(shí)，常數(shù)解的穩(wěn)定性也可能變化。

以上方程可以用來(lái)求解常比例增益矩陣P和時(shí)滯τ，具體求解方法如下：

為了確定特征值在關(guān)鍵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，需要根據(jù)參數(shù)求得特征方程D()λ的偏導(dǎo)數(shù)。因?yàn)樘卣髦档奶摂?shù)部分對(duì)其穩(wěn)定性無(wú)影響，所以只有實(shí)數(shù)部分才是有意義的。因此，通過(guò)隱函數(shù)可計(jì)算得到：

表1列出了一部分二維曲線的偏導(dǎo)數(shù)值。其中所有的上下標(biāo)注都是有意義的，且所有的分母都為正。

表1 偏導(dǎo)數(shù)和的實(shí)數(shù)部分

表1 偏導(dǎo)數(shù)和的實(shí)數(shù)部分

偏導(dǎo)數(shù)PD??Re ?τ?DRe 0 2 4 2 4τω τ ωnnPP0 1 2 4 4 2 3 4τ+4πτnnPωPω2 4 4 2 2 2 2Pωτ+4ππnnPω2 4 4 2 2 2-8Pτ π ω+ 16πnnPωΛ 2 2 4 4 2 3 4τ+16πτnnPω PωΛ Λ n 2 4 4 2 3 4τ+2πτn)PωPωnn（2 4 4 2 2 2 2 1 (-τ+2ππωn)Pω2nPnnn-）（1

圖7 不動(dòng)點(diǎn)的局部穩(wěn)定性域（ζ1=0）

上圖表示為增益矩陣P和延遲時(shí)間τ的函數(shù)關(guān)系，近似曲線即穩(wěn)定性域的邊界。在此邊界上，半主動(dòng)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡呈周期性變化，即臨界穩(wěn)定狀態(tài)；在近似曲線之內(nèi)的區(qū)域，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡趨于不動(dòng)點(diǎn)；在近似曲線之外的部分，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)散，處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

3 研究結(jié)果

計(jì)算結(jié)果表明，在一定條件下，雙時(shí)滯補(bǔ)償可以取得較好的減震控制效果。時(shí)間滯后對(duì)橋梁半主動(dòng)控制的影響非常顯著,且時(shí)滯使得半主動(dòng)控制系統(tǒng)對(duì)地震反應(yīng)的減震效果降低，減震效果隨著時(shí)滯常數(shù)的增大而變差。

4 結(jié)論

(1)通過(guò)對(duì)理想控制系統(tǒng)的線性反饋增益矩陣進(jìn)行簡(jiǎn)單的修改，實(shí)現(xiàn)了一種解決時(shí)滯效應(yīng)的反饋補(bǔ)償方案。

(2)在模擬過(guò)程中，假設(shè)結(jié)構(gòu)性能不隨時(shí)間而改變，但在嚴(yán)重地震時(shí)的元素經(jīng)常處于在彈塑性或塑性階段，在這種情況下，當(dāng)前的控制算法是不足的，與其同步進(jìn)行的工作是：在開(kāi)發(fā)過(guò)程中，將考慮了線性增益矩陣的變化視為一種模型結(jié)構(gòu)性質(zhì)變化的已知功能。

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