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小物和小理的物理對話錄(34)———光的折射定律

◇北京劉亞英蔣煒波孟衛(wèi)東(特級教師)

前言:小物和小理是2名普通的高中生,他們酷愛物理,在學(xué)習(xí)高中物理的過程中,小物經(jīng)常向小理提出許多刁鉆而有趣的物理問題,了解他們的故事也能讓你的物理達(dá)到新的高度．

1對話錄

小物:終于開始光學(xué)部分知識的學(xué)習(xí)了,感覺好親切啊.初中的光學(xué)知識立馬浮現(xiàn)在了我的腦海中,不過隨著學(xué)習(xí)的深入,一些以前沒有思考過的問題也顯現(xiàn)了．

小理:哦,你又有什么地方感覺不對勁了?

小物:也不是什么大問題,這不是學(xué)習(xí)到折射定律了嘛,感覺折射定律的發(fā)現(xiàn)還真夠曲折的,經(jīng)歷了上千年才研究清楚,教材上還給出了折射率這一用來描述介質(zhì)對光的偏折本領(lǐng)強(qiáng)弱的物理量,還給出了折射率和傳播速度的關(guān)系．

小理:這不是很好嘛,一切都很清楚啊,沒什么問題．

小物:不,問題就在這了,折射率和光速的關(guān)系公式是怎么得出來的呢?憑什么光就非得按照這樣的折射率偏轉(zhuǎn)呢?

小理:這個教材上也沒有解釋,我覺得應(yīng)該是實驗發(fā)現(xiàn)光的傳播就是符合這個規(guī)律,再通過實驗驗證,就像牛頓第二定律一樣是實驗驗證的結(jié)論．

小物:不,不對,牛頓第二定律當(dāng)時建立的時候已經(jīng)有了速度變化快慢(加速度)的概念,并且加速度、慣性(質(zhì)量)和相互作用(力)的邏輯關(guān)系是比較清楚的,因此某種程度上講牛頓第二定律是可以在慣性定律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)延伸出來的.慣性定律說力是改變物體運(yùn)動的原因,牛頓第二定律則詳細(xì)闡述了力如何改變物體運(yùn)動狀態(tài),因此牛頓第二定律并不能歸結(jié)于實驗驗證的規(guī)律．可是折射定律感覺沒有任何的邏輯推導(dǎo),直接實驗驗證,總覺得缺了些什么.

小理:你是說折射定律的邏輯解釋?這個我也說不好,光為什么按照這樣的路徑傳播,好像光就是這樣的吧?嗯……

2小理的思考

經(jīng)典力學(xué)作為物理學(xué)的基礎(chǔ),對我們的影響是非常深遠(yuǎn)的,尤其是力學(xué)中建立起來的邏輯思維方式，已經(jīng)深深地印刻在了我們的頭腦中,對邏輯完美的追求也是物理的一部分,物理也因為這一點(diǎn)而充滿魅力．

光的傳播路徑的確符合反射和折射定律,但是背后的邏輯原因教材上并沒有詳細(xì)解釋,歷史上關(guān)于這一問題也有很多科學(xué)家研究過,比如傳播路徑最短原理、傳播時間最短原理,或許這些科學(xué)家的研究能夠幫助我們認(rèn)識得更加清楚一些．

2.1光的反射定律

圖1

光的反射定律可以和數(shù)學(xué)上的一類經(jīng)典問題相對應(yīng),即“將軍飲馬”問題．據(jù)說,在古希臘有一位聰明過人的學(xué)者,名叫海倫,有一天,一位將軍向他請教了一個問題:如圖1所示，從A地出發(fā)到河邊飲馬,然后再去B地,走什么樣的路線最短?如何確定飲馬的地點(diǎn)?

圖2

解決的方法我們都知道,即作A關(guān)于河的對稱點(diǎn)A′,然后連接A′B,A′B與河的交點(diǎn)C就是馬飲水的最佳地點(diǎn),這樣最短的行進(jìn)路線就是ACB了,AC和BC是對稱分布的，如圖2所示．

圖3

這一問題和光的反射定律如出一轍.事實上，想讓光線經(jīng)過A點(diǎn)到界面反射后再經(jīng)過B點(diǎn),那么光的傳播路徑是唯一確定的,也是一條和ACB相同的路徑,且AC和BC是對稱分布的,如圖3所示，光路ACB就是由光的反射定律決定的路徑,這條路徑是路線最短并且時間最短的路徑．

2.2光的折射定律

折射規(guī)律也對應(yīng)著一類數(shù)學(xué)問題,即“海灘救人”問題．某人在海岸邊A處看到海里B處有人遇險需要立即去營救.已知人在陸地上的運(yùn)動速度v大于在海水中游泳速度v′,那么該如何選擇營救行進(jìn)路線呢?

圖4

很明顯直線前進(jìn)是路徑最短的,但是時間卻不是最短的.這里救人首先要考慮的是時間最短,因此實際上應(yīng)該在陸地上多走一段,在水中少走一段,以期達(dá)到時間最短,即真實的救人路徑如圖4所示.

圖5

可是如何確定路徑ACB的時間最短呢?這就需要用到數(shù)學(xué)工具了,如圖5所示，A和B到海岸的距離分別為a和b,AB沿海岸距離為l,假設(shè)救人的時候入海點(diǎn)為C,CB沿海岸距離為x,則AC沿海岸的距離為l-x,人在陸地上的速度為v,在海中游泳速度為v′．

那么救人的總時間t為:

利用數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)方法求解時間的最小值,即先求出時間t關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)t′=0,即

sinθ1/sinθ2=v/v′.

圖6

這就是教材上關(guān)于折射率和光速的關(guān)系公式,可見時間最短原理是能夠解釋光的傳播路徑偏折現(xiàn)象的,從這個角度能夠推導(dǎo)出折射的規(guī)律,因此時間最短原理成為了幾何光學(xué)的基礎(chǔ)原理．

2.3惠更斯原理

時間最短原理能夠解釋和推導(dǎo)出折射率,但該理論解釋在物理上面臨一個棘手的難題:光是如何知道哪條路徑時間最短的呢?光有自主選擇的意識嗎?

很顯然光是沒有自主意識的.關(guān)于光的本質(zhì)歷史上爭論幾百年了,但是從來沒人認(rèn)為光有自主意識，能夠選擇時間最短的路徑,因此時間最短原理解釋折射率在數(shù)學(xué)上行得通,但在物理上存在困難．針對這一點(diǎn),物理學(xué)家在光是一種波的本質(zhì)假設(shè)之下,利用波的惠更斯原理圓滿地解釋了光的折射率．

我們知道波的傳播是依靠前一質(zhì)點(diǎn)的振動帶動后一質(zhì)點(diǎn)的振動,這樣波源的振動就逐漸傳播出去了(圖7)．惠更斯原理認(rèn)為,每一振動的質(zhì)點(diǎn)都可認(rèn)為是產(chǎn)生球面次波的一個點(diǎn)波源,而以后任何時刻的波陣面(波傳播最前沿的質(zhì)點(diǎn)的集合)則可看作是這些次波的包絡(luò)面,波陣面和波的傳播速度垂直(圖8)!

圖7　平面波　　　　　　圖8　球面波

圖9

下面我們嘗試使用惠更斯原理來推導(dǎo)解釋折射率．

如圖9所示，光從真空射向玻璃介質(zhì),真空中的速度為c,介質(zhì)中的速度為v,以帶箭頭的直線代表光的傳播路徑(如AO、BC等),與路徑垂直的虛線代表波陣面,圖中NN′為法線,入射角為∠i．光線AO在O點(diǎn)進(jìn)入玻璃介質(zhì),傳播速度發(fā)生變化,光線BC在O′進(jìn)入玻璃介質(zhì),傳播速度發(fā)生變化．由于玻璃中光的傳播速度小于真空中的速度,因此AO光線在介質(zhì)中傳播的距離小于同時間BC光線在真空中的傳播距離．

假設(shè)t時間后,BC光線到達(dá)O′點(diǎn),此時AO光線在玻璃介質(zhì)中的傳播距離較小,但是并不知道光線的傳播方向,因此作了一個以O(shè)為圓心的虛線圓,如圖9所示,根據(jù)波陣面的定義,過O′作虛線圓的切線O′D,則O′D為光波的最前沿,即為新的波陣面．可見波陣面方向發(fā)生變化,代表光的傳播方向發(fā)生了變化,∠r即為折射角．

由運(yùn)動關(guān)系可知CO′=ct,OD=vt, 因此,

這就是折射率與光速的關(guān)系式,折射定律得到了證明．惠更斯原理在物理上能夠很好地解釋光的折射現(xiàn)象,并且得到了和時間最短原理相同的結(jié)果,但是比時間最短原理更有說服力,數(shù)學(xué)和物理的關(guān)聯(lián)再一次得到印證,是不是很神奇呢?

要完整地解釋折射現(xiàn)象,需要考慮到光的本質(zhì)——電磁波,用電磁場的知識才能完成,但是這種方式太過煩瑣,實際上我們更常使用惠更斯原理．

故事到了最后,小物又給小理提出了一個問題,能夠用惠更斯原理證明反射定律中反射角和入射角的關(guān)系嗎?

(作者單位：清華大學(xué)附屬中學(xué))