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借助導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的關(guān)系巧解題

◇遼寧范琦亮

導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)問題的有力工具,利用導(dǎo)函數(shù)的正、負(fù),可簡潔判斷原函數(shù)的增減,進(jìn)而求函數(shù)的極值、最值等．其中判斷導(dǎo)函數(shù)的正、負(fù)是問題求解的關(guān)系步驟,具體應(yīng)用時可借助導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系．下面舉例說明．

1根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析原函數(shù)的圖象

圖1

當(dāng)x∈(-1,0)時,f′(x)單調(diào)遞增,則f(x)圖象的增長趨勢由緩到快.當(dāng)x∈(0,1)時f′(x)單調(diào)遞減,則f(x)的圖象增長趨勢由快到緩,故選B.

2根據(jù)函數(shù)的圖象特征求解析式

圖2

A y=1125x3-35x; B y=2125x3-45x;

3根據(jù)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)系巧解題

4由導(dǎo)函數(shù)圖象分析原函數(shù)拐點和極值點

圖3

Af(b)>f(c)>f(d);

Bf(b)>f(a)>f(e);

Cf(c)>f(b)>f(a);

Df(c)>f(e)>f(d)

又af(b)>f(a),選C.

5借助圖象 簡潔求原函數(shù)最值

(1) 求f(x)在點(0,f(0))處的切線方程.

(2) 求證:當(dāng)x∈(0, 1)時,f(x)>2(x+x3/3).

(3) 設(shè)實數(shù)k使得f(x)>k(x+x3/3)對x∈(0, 1)恒成立,求k的最大值.

當(dāng)k∈[0,2]時,F′(x)≥0,函數(shù)在(0,1)內(nèi)為增函數(shù),F(x)>F(0)=0,符合題意,此時k的最大值為2.

x(0,x0)x0(x0,1)F'(x)-0+F(x)↘極小值↗

所以在區(qū)間(0,1)內(nèi)Fmin(x)=F(x0)．

解題至此,部分同學(xué)欲求F(x0),陷入誤區(qū)．此時可借助圖象,轉(zhuǎn)換方向去求F(0),而F(0)=0,故F(x0)<0,所以F(x)>0不成立．

綜上所述,可知k的最大值為2.

綜上,求解導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的交會問題,其關(guān)鍵在于熟練掌握導(dǎo)數(shù)這一有力工具,以“數(shù)形結(jié)合法”的方式去分析、解決問題.

(作者單位：遼寧省普蘭店市大連海灣高級中學(xué))